台球常见技巧的力学分析刘喜斌 (中国人民武装警察部队学院基础部,河北廊坊 065000)(收稿日期:1998201217)摘 要 对打台球常见的四种技巧进行了分析,说明了台球在不同条件下的运动规 律.关键词 完全弹性碰撞;回滚;抛物线;马格努斯力DYNAMICAL ANALYSIS ON OFTEN-USED TECHNIQUES IN PLAYING BILLIARDSLiu Xibin(Fundament Department ,Chinese People’s Armed Police ForcesAcademy ,Langfang Hebei 065000, China)Abstract Analysison four kinds of frequently2used techniques in playing billiardsare given, and the kinetic laws of the balls under various conditions are presented .KeyWords perfect elastic collision; reverse roll; parabola ;Magnusforce近年来台球运动日益得到普及,其不仅 娱乐性强,而且技巧性强,在打台球的过程中 每时每刻都蕴藏着丰富的物理原理.对台球 常见的技巧进行分析,不仅饶有趣味,而且非 常有助于对完全弹性碰撞及刚体的平面运动 等问题的深入理解与运用. 台球可以看成是均匀刚性球体,在一组 台球中各个球也可以看作是完全相同的.设 每个台球的质量为m,半径为R.在下文中, 均以圆心为o的球代表码球,圆心为c的球 代表欲被 “吃掉”(即欲被打入网洞内)的球, 而且需要说明,各种技巧的名称均采用俗语, 用词或用字不一定准确.1 码球在碰撞后的运动方向在打台球时,不仅需要判断在碰撞后球c的运动方向以使其入网,而且还要判断球o 的运动方向,以利于下一次击球,尤其要防止球o进入网洞内(按台球规则,此时 “吃掉” 球图1c无效).如图1所示,欲将球打入网洞内,在 碰撞时二球球心o、c及网洞应在一条直线上.令碰前球o的初速度为v0,碰后球o的速 度为v1,球c的速度为v2,且设碰撞是完全弹 性的,则有m v0=m v1+m v2(1.1 )5工科物理1998年第8卷第4期1 2m v2 0=1 2m v2 1+1 2m v2 2(1.2 )(1.1 )式左右平方可得v2 0=v2 1+v2 2+2v1ıv2(1.3 )由(1.2 )式和(1.3 )式可知v1ıv2=0(1.4 ) 即二球在碰后运动方向相垂直.由此可以判 断码球o的运动方向.如果球c的运动方向 与某两个网洞的联线相垂直,则将球c打入 任一网洞内都极有可能使码球o进入另一网洞内,所以有经验的人是不会去 “吃” 球c的.2 “缩杆” 技巧分析如果球o、 球c与网洞在一条直线上,如 图2所示,则只要将球杆平行于oc连线对球o作用即可将球c打入网洞内,但是如果打 击力F在oc上方,则在碰撞前球o沿顺时针 转动,由于二球的碰撞是完全弹性的(即忽略 碰撞期间的摩擦力及摩擦力矩),二球质心交 换速度,角速度不变,从而球o在碰后质心速度为零,转动仍是顺时针的,故桌面施于的摩 擦力方向向前,使球o继续向前运动,很有可 能掉入网洞内.因此,球杆必须在下方对球o 施加作用,此技巧俗称 “缩杆”.图2设力F的作用线在oc联线下方且与oc相距为h,球o质心获得的初速度为v0,角速度为 Ξ0,则由动量定理及动量矩定理可知F∃t=m v0(2.1 )Fh∃t=IΞ0(2.2 )其中 ∃t为力F的作用时间,I=2 5mR2为台球的转动惯量.在球o与球c碰撞之前,影响球o运动的外力就是桌面施于的摩擦力f=Λmg,Λ为摩擦系数.在f的作用下,球o的质心将减速,其加速度a=-f m=-Λg,同时,f也使球o的转动减速,其角加速度 Β=-fR I=-5Λg 2R.令球o与球c质心相距为L,球c质心与网洞相距为l,在碰撞前瞬间球o的质心速度为v,角速度为 Ξ,则v-v0=-Λg t(2.3 )v2-v2 0=-2Λg(L-2R)(2.4 )Ξ-Ξ0=-5Λg 2Rt(2.5 )碰撞后,球c质心获得速度v,其运动过程中加速度也为-Λg,则其要进入网洞中,必须vΕ2Λgl,但若v过大,球c有可能被网洞 外边缘反弹回来,因此最好取v=2Λgl,从而由(213)～(215)式得v0=2Λg(L+l-2R)(2.6 )Ξ=Ξ0-5(v0-v) 2R(2.7 )若在碰后使球o回滚,必须使 Ξ>0,即Ξ0>5(v0-v) 2R(2.8 )由(2.1 )、(2.2 )及(2.8 )式可得h=IΞ0 m v0>R1-v v0将v及v0代入上式得h>R1-l L+l-2R(2.9 )即要 “吃掉” 球c,除使码球o具有一定的初速度外,还必须满足(2.9 )式.当L一定时,l越大,h的可调范围越大,球越好打,反之,l 越小,球越难打.同样,当l一定时,L越大越难打,越小越好打.3 台球的曲线运动规律分析如图3所示,在桌面上有三个球:码球o、球c和球e.由于球e挡住了球o,因此要 “吃掉” 球c,采用普通的打法是不行的.有经验的人会使码球走一弧线(如图中虚线所示)绕 过球e而撞击球c,这是一种高难度的技巧,6工科物理1998年第8卷第4期下面对球的运动规律进行分析.图3当球o受到打击之后,获得一个初速度和一个初角速度,若其作曲线运动,必然是连图4滚带滑的.如图4所示在桌面上取固定坐标系Oxyz,原点位于球起始时与桌面的接触点. 在任一时刻t球质心o的坐标为(x,y,z),绕质心旋转的角速度为 Ξ,球所受的摩擦力为f=fxi+fyj,其大小为f=f2 x+f2 y,方向为与Ox轴夹角为 Η,故有tgΗ=fy fx.由牛顿定律及转动定律知m xβ=fx(3.1 )m yβ=fy(3.2 )IΒx=R fy(3.3 )IΒy=-R fx(3.4 )其中 Βx与 Βy为球o的角加速度 Β在x轴与y轴上的投影.令球与桌面的接触点为P,其速度为vP,则vP=vc+Ξ ×oP→=(xαi+yαj) +(Ξxi+Ξyj+Ξzk)×(-R)k= (xα-RΞy)i+(yα+RΞx)j 从而点P的速度分量vPx=xα-RΞy(3.5 )vPy=yα+RΞx(3.6 ) 对以上二式左右求导,并由(3.3 )及(3.4 )式 知vαPx=xβ-RΒy=fx m+5fx 2m=7fx 2mvαPy=yβ+RΒx=fy m+5fy 2m=7fy 2m从而vαPy vαPx=fy fx另外 fy fx=vPy vPx= tgΗ(因f与vP反向)故vαPy vαPx=vy vx,即dvy vy=dvx vx,解得lnvy=l nvx+l nc 其中c为积分常数,因此有fy fx=tgΗ=vy vx=c=常数(3.7 )即摩擦力f的大小、 方向均为常数,为一常 矢量.所以球o在运动过程中受一常力f的 作用.若将坐标系Oxyz在平面内转一角度 得到坐标系OXYZ,使得OY正向平行于摩 擦力f的负方向,则在新坐标系下,球o质心的运动微分方程为Xβ=0Yβ=-Λg 再由初始条件t=0时,X=0,Y=0可得码球o的质心运动轨迹为X=vX0t(3.8 )Y=-1 2Λg t2+vY0t(3.9 )此为一抛物线方程,其中vX0、vY0为质心的初速度在OX、OY坐标轴上的分量.4 “跳杆” 技巧分析在图3中,如果球o与球e及球e与球c 之间的距离都比较远,则打平面曲线球很难把握准确,一般使用 “跳杆” 技巧,即使球o在7工科物理1998年第8卷第4期讲授电磁波辐射与传播的一种方法康垂令 (江汉石油学院物理教研室,湖北荆州 434102)(收稿日期:1997208220;修回日期:1998202207)摘 要 本文从电流激发的磁场出发,通过变化的磁场激发电场描述了电磁波的发 射与传播,学生易于理解,电磁波的性质也易于说明.关键词 电磁波;电场;磁场图5空中飞行跃过球e而撞击球c.如图5所示, 设码球o受到球杆打击后从桌面跃起,初速 度为v0,角速度为 Ξ0.在飞行过程中,球受 重力、 空气阻力及马格努斯力.马格努斯力 是由于球的旋转,使得空气相对于台球的上 下侧面的流动速度不同,从而产生压力差, 其大小为L=8 3Π Θ ΞR3v=Gv其中 Θ为空气的密度,Ξ 为台球的角速度,v为台球质心的速度,G=8 3Π Θ ΞR3.马格努斯力一直与球的速度方向相垂直,但不对台球产 生阻力矩作用,因此台球飞行过程中角速度不 变,G为常数.由于台球桌面大小有限,台球跳 起的速度不能太大,此时可以忽略空气阻力, 仅考虑由于旋转对台球运动的影响. 对球o列运动微分方程有m vdv ds=-m gsinΗ(4.1 )m v2-dΗ ds=Gv+m gcosΗ(4.2 )由以上二式可得vdΗ dv=Gv+m gcosΗ m gsinΗ 即d(mgvcosΗ)=-Gvdv 积分得m gvcosΗ=-1 2Gv2+C(4.3 )由初始条件v=v0,Η=Η0知C=m gv0cosΗ0+1 2Gv2 0(4.4 )又由于马格努斯力对台球不作功,故球o的 机械能守恒,则球o在高度为h时的速度v=v2 0-2gh(4.5 ) 将(4.3 )、(414)、(4.5 )式代入(412)式得球o的曲率半径为R=-ds dΗ=m v2Gv+m gcosΗ=m(v2 0-2gh)3 2Gv2 0-Ggh+m gv0cosΗ0 由此可以看到,对于确定的高度h,球o旋 转的角速度越大,G值越大,从而使轨道的 曲率半径减小,球下落越快,水平距离越短.参考文献[1] 葛隆祺.弧线球运动规律的探讨.大学物理,1991, (7):26.[2] Robert . Adair. ThePhysicsof Baseball.Physics Today,1995,26.[3] 蔡伯濂.力学.长沙:湖南教育出版社,1985.8工科物理1998年第8卷第4期。