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1、1 数学必修数学必修 1 1 函数概念函数概念及性质及性质(义乌学达教育供搞) 义乌学达教育 余老师 （一）函数的有关概念（一）函数的有关概念 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函 数的值域 注意注意： 2 如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义
2、域，则函数的定义域即是指能使这 个式子有意义的实数的集合； 3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式 定义域补充定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域， 求函数的定义域时列不等式组的主要 依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必 须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通 过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指 数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意又注意：求出不等式组的
3、解集即为函数的定义域。) 2 构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： （再注意： （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对 应关系决定的， 所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致， 即称这两个函数相等 （或 为同一函数） （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变 量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本见课本 21 页相关例页相关例 2) 值域补充值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其 定义域
4、. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是 求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方 法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 3. 函数图象知识归纳函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，横坐标，函数值 y 为纵坐标纵坐标 的点 P(x，y)的集合集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C
5、 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只 有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐 标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换2 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 发现解题中的错误。 4快去了
6、解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示 5什么叫做映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的 任意一个任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：AB” 给定一个集合给定一个集合 A 到到 B 的映射，的映射，如果如果 aA,bB.且元素且元素 a 和元素和元素 b 对应，对应，那么，那么，我们把元素我们把元素 b 叫做元素叫做元素 a 的象，元素的象，元素 a 叫做元素叫做
7、元素 b 的原象的原象 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是确定 的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系 一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足： （）集合 A 中的每一个元素，在集 合 B 中都有象，并且象是唯一的； （）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是 同一个； （）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6 常用的函数表示法及各自的优点：常用的函数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判
8、断一个图 形是否是函数图象的依据； 2 解析法：必须注明函数的定义域； 3 图象法：描点法作图要 注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 4 列表法：选取的自变 量要有代表性，应能反映定义域的特征 注意啊：注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 补充一补充一：分段函数 （参见课本 P2425） 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变 量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程， 而就写函数值几种不同 的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况（1）分
9、段函 （1）分段函 数是一个函数，数是一个函数，不要把它误认为是几个函数不要把它误认为是几个函数；（2）；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值 值 域是各段值域的并集 域是各段值域的并集 补充二：复合函数补充二：复合函数 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为 f、g 的复合函数。 例如例如: y=2 sinX y=2cos(X 2 +1) 7函数单调性函数单调性 （1） 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2， 当 x1f( 2 x ) 在区间a,b内， 图像从左到右下降 周期性 对任意的 M x ，如果有非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x) 自变量增加 T 时，图像重复出现 零点 f(x)=0 时 x 的值 图像与 x 轴的交点的横坐标 正值区间 f(x)0 时 x 的取值范围 图像位于 x 轴上方时，x 所在的区 间 负值区间 f(x)0 时 x 的取值范围 图像位于 x 轴下方时，x 所在的区 间 在 y 轴上的截距 f(0)的值 图像与 y 轴的交点的纵坐标5 过定点 与参数无关的（ 0 0 y , x ） 图像上与参数无关的点
