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1、毕毕 业业 论论 文文题题 目目 广义逆矩阵及其在线性方程组中的应用 摘 要线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。关键词：广义逆矩阵；
2、Moore-Penrose 方程；线性方程组；满秩分解ABSTRACTThe method to solve linear equations using the inverse matrix is only feasible when the coefficient matrix is reversible. But for the general system of linear equations, the coefficient matrix may be a irreversible matrix or a rectangular matrix, in this case, we c
3、an not use this method to solve the system of linear equations. In order to find solutions of this system, we promote the inverse matrix to generalized inverse matrix, and than use the generalized inverse matrix to solve the system of linear equations.The generalized inverse matrix is important in m
4、any area, such as Data analysis, Multivariate analysis, Signal processing, System theory, Modern control theory, Network theory and so on. This paper studies the definition, properties, calculation of the generalized inverse matrix , and the applications in soluting the system of linear equations. U
5、tilizing the generalized inverse matrix, we study the soluting of the general system of linear equations and the minimum norm solution.Key words: generalized inverse matrix; Moore-Penrose eqations; linear equations; full rank decomposition目 录摘要 ABSTRACT 第 1 章 前言 1第 2 章 广义逆矩阵 22.1 广义逆矩阵的定义 22.2 广义逆矩阵
6、的性质 3第 3 章 广义逆矩阵的计算123.1 一般广义逆求解123.2 Moore-Penrose 广义逆19第 4 章 广义逆矩阵在线性方程组中的应用244.1 相容方程组的求解254.2 不相容方程组的极值问题解28结论33参考文献34致谢35第 1 章 前言逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。19
7、03 年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904 年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在 1920 年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯诺伊曼及其弟子默里分别在 1933 年和 1936 年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951 年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955 年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)
8、以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为 Moore-Penrose 广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。第 2 章 广义逆矩阵2.1 广义逆矩阵的定义1、Penrose 广义逆矩阵的定义为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的 Moore-Penrose 定义。定义定义 2.1 设矩阵，若矩阵满足如下四个 Penrose 方程nm
9、CAmnCX（）AAXA（）XXAX （）AXAXH)(（）XAXAH)(中的一部分或全部方程，则称为的一个广义逆矩阵。XA若只满足（）式，则成为的一个-逆，可记为，所有满足-逆XXA1 1A1的构成的集合记为。若满足四个方程中的第个方程，则称为X1AXkji,X的一个-逆，记为，所有满足-逆的构成的集合记为Akji,kjiA, kji,X。kjiA,2、常见广义逆定义按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有=15 类，其中常见的有，。4 43 42 41 4CCCC1A 2 , 1A 3 , 1A 4 , 1A4 , 3 , 2 , 1A定定义义 2.2 设有复矩
10、阵。若有一个复矩阵存在，使下式成立，则nmCAmnX称为的减号逆：XA(2.1)AAXA当存在时，显然满足上式，可见减号逆是普通逆矩阵的推广；另1A1AX1A外，由得AAXA，HHAAXA)(即HHHHAAXA可见，当为的一个减号逆时，就是的一个减号逆。XAHXHA定义定义 2.32.3 设复矩阵，若有一个矩阵，满足：nmCAmnX且AAXAXXAX 称为的一个自反逆矩阵，记作为，满足 Penrose 方程的（） ， （）式，XA rA rA所以。2 , 1AAr显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵是矩阵的-逆，即, XA11AX 若矩阵也是矩阵的-逆，即， 则为的一个自反逆矩阵。AX11X
11、AXA定义定义 2.42.4 设复矩阵，若有一个矩阵，满足：nmCAmnX及 ，AAXAAXAXH)(则称为的最小二乘广义逆，记作 ，满足 Penrose 方程的（） ， （）式，XA lA lA所以。3 , 1AAm最小二乘广义逆是用条件对减号逆进行约束后所得到的子集。AXAXH)(定义定义 2.52.5 设复矩阵，若有一个矩阵，满足：nmCAmnX及 ，AAXAXAXAH)(则称为的最小范数广义逆，记作 ，满足 Penrose 方程的（） ， （）式，XA mA mA所以。4 , 1AAl显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。若满足全部四个方程，则称为的 Moore-Penrose 广义逆
12、矩阵，记为。XXAA2.2 广义逆矩阵的性质将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。定义定义 2.62.6 设矩阵（r0） ，如果存在一个列满秩矩阵与一个行nm rCArm rCF满秩矩阵使得nr rCG，FGA 则称上式为的一个满秩分解。A定理定理 2.12.112 对任意矩阵（r0） ，必存在着矩阵和使nm rCArm rCFnr rCG。FGA 证明：证明： 由，对进行若干次初等行变换后，可将化为行阶梯矩阵rrankAAA，B， 0GB其中。故存在若干个阶初等矩阵的乘积，使得rrankG mP，
13、BPA 即，BPA1将分块为,，1PMFP,1rm rCF)(rmmCM便有。FGGMFA 0,因是可逆矩阵的前 列，所以是一个列满秩矩阵，是行满F1PrFrmGnr秩矩阵，故是的一个满秩分解。FGA A上式是的一个满秩分解，但是的满秩分解并不是唯一的。任意取一FGA AA个 阶非奇异矩阵,若是一个满秩分解，则显然也是的一rBFGA GBFBA1A个满秩分解。一、1-逆的性质定理定理 2.22.21 设，则的 Moore-Penrose 逆存在且唯一。nmCAA证证 设 .若 r=0，则是零矩阵，可以验证零矩阵满足四个rrankAAnmmnPenrose 方程。若 r0，则有满秩分解分解,AF
14、GA 取，则满足 4 个 Penrose 方程，所以，是 HHHHFFFGGGX11XXMoore-Penrose 广义逆矩阵。设，均满足四个 Penrose 方程，则XY YYYAYYAYYAXAXAYAYAXXAYAXXAYAXXAXXAXXXHHHHHHHHHHHHHHHH综上所诉，存在且唯一。A满足四个 Penrose 方程的所有方程，所以，属于 15 类广义逆矩阵中的任AA意一类。上面我们证明了的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。A对任意的，定义为C（2.4） 00, 0,1下面给出1-逆的一些性质。定理定理 2.32.31 设，则nmCAnmCBC（1）；1)()1(HHAA（2）；1)()1(AA（3）若 S 和 T 非奇异，则；1)(1)1(1SATSAT（4）； rankArankA1（5）和均为幂等矩阵且与 A 同秩； 1AA AA1（6）；)()(),()(),()()1()1()1(HHARAARANAANA
