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1、例谈反比例函数图象的旋转变换及其应用苏州市田家炳实验高级中学 王 耀 ( 邮编:215007)近来, 笔者读到文1 , 作者提供了一种采用旋转变换解决问题的方法.首先, 结合苏教版教材设计以及平时的教学思考, 笔者认为坐标旋转或者图象旋转这个知识点出现在理科的选修部分.这种先旋转再计算的解法对文科生而言, 在不做相关知识补充的前提下, 可能有失公允.那么, 能否降低思维起点障碍, 即不从旋转的角度出发, 从学生的思维认知层次出发, 得出其他更加自然的解法?再者, 文1采用的先旋转的方法, 将反比例函数变换成标准双曲线方程, 再联立方程组得到一元二次方程的做法, 可以作为方法补充.然而,就本题而
2、言, 通过比较, 本质上没有发现采用这种等价旋转变换的优点.这就引申出一个新的问题, 即何时需要将反比例函数旋转成关于坐标轴对称的双曲线呢?1 问题呈现( 江苏省南通市2013届高三数学第二次调研试题第14题)在平面直角坐标系xOy中, 设A(-1,1) ,B、C是函数y=1 x(x 0) 图象上的两点, 且ABC为正三角形,则ABC的高为 .2 试题分析本题是一道基于反比例函数的图象研究三角形中的线段位置、 数量关系的调研试题.试题设计独具匠心, 问题由浅入深, 层次分明.通过考试后, 从搜集到的师生反馈的信息来看, 这道试题作为填空题的最后一题, 得分率较低.其主要原因在于: (1)学生缺
3、乏合理的理性思维分析, 综合应用数学知识的能力不够; (2)学生缺乏应有的计算基本技能, 在有限时间内进行数学演算的成功率较低.本题的研究基石是反比例函数的图象, 可利用它的“ 二重性” , 既用“ 数”的一面, 也利用“ 形”的一面.因此, 在做常规分析的时候, 应先形后数, 先想再算, 充分利用图象的信息进行“ 自然”转化, 可从如下几种不同的角度进行解法探究,仅供参考.3 解法探究首先, 题目信息很简明, 面对题设, 师生往往倾向于直接假设点的坐标, 而非首先想到旋转成关于坐标轴对称的标准双曲线方程.由于在反比例函数上, 因此只用2个未知数就可以表示点B、C的坐标.然后再寻找ABC为正三
4、角形时未知数所满足的方程, 即只要确定2个不同的方程就可以求解得到满足条件的正ABC.解法1 设点B(a,1 a) ,C(b,1 b) , 则BC中点Da+b 2,a+b 2ab .在 正ABC中,有ADBC= 0,则a+b 2+ 1,a+b 2ab- 1 b-a,1 b-1 a = 0,即有a+b=2ab 1 -ab.又BC=(a-b)21 +1 (ab)2 ,h=AD=a+b 2+ 1 2 +a+b 2ab- 1 2 .令t=ab, 则h2=1 +t21 -t()2,BC2=(a+b)2-4ab (1 +1 a2b2)=742014年第2期中学数学教学2t 1 -t 2 -4t 1 +1
5、t2 =4(1 +t2)t(t- 1).由h=3 2BC, 代入化简得到t2+ 1 =8 3t.因此(1 -t)2=1 +t2- 2t=2 3t, 则h2=4,h=2.然而, 如果换个角度来审视问题, 易知B、C两点在双曲线上, 并且它们两点还在ABC的BC边上.所以B、C即为第一象限内的一支双曲线与直线BC的交点, 即只要联立方程组寻找关系式.这种由点到线, 再由线还原到点的方法, 在一定程度上体现了基于微观( 点)和宏观( 线)的全面分析问题的方法.解法2 若直线BC的斜率不存在, 则与B、C两点在双曲线y=1 x上矛盾, 因此, 可设BC的直线方程为y=kx+b.联立方程组y=kx+b,
6、y=1 x,得到一元二次方程kx2+bx- 1 =0.设点B(x1,y1) ,C(x2,y2) , 由韦达定理有:x1+x2=-b k,x1x2=1 k.又BC的中点D(-b 2k,b 2).在正ABC中, 有ADBC, 因此由kADkBC=-1, 得到b=2k 1 +k.那么正ABC的边长a=BC=(1 +k2)|x1-x2|2=(1 +k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1 +k2)4 (1 +k)2+4 k .同时ABC的高h=AD=1 -b 2k 2 +b 2- 1 2=1 -1 1 +k 2 +k 1 +k- 1 2=1 +k2(1 +k)2由h=3 2a, 则1 +k2(1 +k
7、)2=3 4(1 +k2)4 (1 +k)2+4 k ,化简得2k (1 +k)2=-3由两式,h2+2k (1 +k)2=1 +k2(1 +k)2+2k (1 +k)2=1,即h2=4,h=2.4 解法拓展文1中提供解法思路: 将反比例函数y=1 x的图象绕原点顺时针旋转45, 变换成标准双曲线方程x2-y2=2, 同时点A(-1,1) 也变换为A (0,2) , 由此类似解法2, 通过假设直线BC的方程y=kx+b与双曲线x2-y2=2联立方程组来解决问题, 此处不再赘述该解法.本质上看, 此法在分析这个问题时, 体现不出采用旋转变换所带来的“ 精妙之处” , 但是可以作为一个解法去展示给
8、学生, 以备不时之需.巧合的是, 在刚刚结束的2013年江苏高考试卷中, 填空题的第13题就是基于反比例函数y=1 x(x 0)展开研究的问题, 试题如下:试题 (2013年江苏卷13) 在平面直角坐标系xOy中, 设定点A(a,a) ,P是函数y=1 x(x 0)图象上一动点, 若点P、A之间的最短距离为22, 则 满 足 条 件 的 实 数a的 所 有 值为 .分析 此题主要考查学生基本的数学解题思维, 条件为反比例函数y=1 x(x 0)图象上84中学数学教学2014年第2期的一动点P与另一定点A之间的距离是定值.笔者在高二数学复习中将其作为精选例题.首先, 很欣慰的是, 绝大部分学生画
9、出函数图象, 并能很熟练的发现定点A(a,a)在双曲线对称轴直线y=x上.很顺利地找到当a=-1时,|PA|min=2 2, 此时P(1,1).接下来, 笔者发现有些同学不假思索地得到a=3时, 同样满足条件.果真如此吗? 笔者“ 分享”了这一成果, 立即招来了“ 弹劾”.学生1: “ 老师, 当点A在第一象限时,a肯定要大于3, 因为双曲线上点(3,13)与A(3,3)的距离等于8 3, 大约是2. 67, 比2 2小.”大家验证了他的想法, 充分肯定.“ 那么这种情形下,a到底比3大多少呢? 怎么样再进一步分析? ”学生2: “ 其实只要利用两点间距离公式, 设P(t,1 t) , 则PA
10、=(t-a)2+(1 t-a)2 , 化简得到:PA=t2+1 t2- 2a(t+1 t)+ 2a2, 再令s=t+1 t(t 2) ,PA=(s-a)2+a2- 2, 因此有a2- 2 =2 2, 即a=10 .”这样一来, 问题转化为求函数最值, “ 以形助数” , 让代数与几何融为一体, 一气呵成.然而, 就在笔者想结束此题时, 笔者发现一位基础中等的同学在使用圆规画圆, 当时笔者想, 能不能尝试这位学生的思路, 从几何图形上去得到解法? 于是, 让这位学生分析了他画圆的原因.学生3: “ 这里如果考虑临界情况, 当|PA| =2 2时, 动点P到定点A的距离等于定长2 2, 就是圆的定
11、义.那么动点P还在以A为圆心,2 2为半径的圆A上, 则P为圆A与函数y=1 x图象的交点.在第一象限内, 通过圆规画图发现当圆A和双曲线交点个数不大于2时, 刚好满足条件.如果双曲线和圆相切的话, 那么相切时就是临界情况.”从它们位置关系上看有点“ 内切”的味道; 那么考虑联立方程组, 但是化简后发现是个一元四次方程, 被迫暂停, 怎么办呢? 联立方程组时, 如果是两个一次或二次的方程的话, 可得一元二次方程.下面, 笔者尝试引导学生回忆关于反比例函数y=1 x的图象和性质, 首先它是“ 等轴双曲线” , 对称轴为第一和第三象限角平分线y=x,那么能否将其转化为双曲线的标准方程呢?这时, 有
12、些学生则想到了旋转反比例函数图象的方法: “ 即将双曲线绕坐标原点顺时针旋转45, 等价于等轴双曲线x2-y2=2, 并且点A(a,a)旋转到点A (2a,0).于是联立方程组(x- 2a)2+y2=8,x2-y2=2,有x2- 2ax+a2- 5 =0,当=2a2-4(a2- 5)=0,a=10”.5 题后反思此题作为高考题, 以函数与几何的相关知识点作为载体, 考查了学生分析、 解决数学问题的能力, 看似容易上手, 其实不尽然; 本质上着重考查了学生的数形结合的数学转化思维, 可分别从数和形的角度分析问题, 代数运算中涉及到整体换元转化的思想方法, 过程清晰自然; 但是, 若采用几何法, 则离不开图象旋转变换的技巧, 转化为圆锥曲线的位置关系问题.因此, 善于整合教材基础知识、 解题基本方法、 转化基本策略, 并能把未知问题与已知问题相联系, 才能有效构建生态课堂.参考文献1 石鑫.一道双曲线问题的解法及推广J.中学数学教学参考: 上旬,2013(6)( 收稿日期:2014 - 01 - 07)942014年第2期中学数学教学
