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1、20102010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子 邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关 的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其 他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在 正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/
2、B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：20102010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的
3、变位识别与罐容表标定摘摘 要要本文旨在对储油罐的变位情况进行分析，并建立体积积分模型对罐容表的 标定值进行求解计算。 根据题意要求对发生变位，即纵倾与横滚情况下的储油罐罐容表进行正确 的标定定位，需要标定的油罐分为两种，通过分析我们考虑到，对于椭圆柱体 油罐和实际油罐其初步的分析情况是一致的，都需求解出两侧的面积，并在此 基础上对圆柱的变化情况进行积分，并根据其特有的结构进行一定的近似积分 求解。本题所涉及到主要工作有体积积分模型体积积分模型的建立，数据的拟合数据的拟合，误差的分误差的分 析析以及罐容表的标定罐容表的标定。 对于第一问，要求对椭圆型的储油罐进行罐容表标定，由于椭圆油罐的倾 斜角
4、是已知的，故我们可以根据正切关系求解出测量高度下的左侧面的液面高 度，为了积分求解的方便，我们建立椭圆曲线方程式，并移动坐标轴至椭圆低 端，进一步在转化为极坐标极坐标的情况下，对相应液面高度的椭圆面积进行积分， 从而得到左侧液面高度的面积值。通过分析我们考虑到，由于液面是按一定的 规律从左至右倾斜而下，以及考虑到斜液面的积分分为三段高度三段高度，故我们在求 解出左侧面积的基础上对斜率变化下的椭圆面积进行分段积分，由此得到椭圆 柱体储油罐相应高度的体积情况，通过对原始数据的比较，发现有一定的误差， 并按油面的高度成二次曲线二次曲线的关系，最后我们根据体积积分模型以及结合误差 关系曲线得出了 12
5、0 个间隔为 1cm 高度的椭圆柱油罐体体积。 对于第二问，要求对实际的球冠柱体的储油罐进行罐容表的标定，由于题 中所给的纵倾角和横滚角是未知的，故我们需要在建立模型的基础上用最小二最小二 乘法拟合乘法拟合得到角度的参数。通过分析我们考虑到附件 2 中的油量累加体积数据 可能存有很大的误差，而两个时间点下少量的出油体积数据出油体积数据是准确无误的，故 拟合参数时，必须要把前一个高度下计算得出的体积量减去下一个的体积量。 在建立模型时，我们使用了坐标变换坐标变换的方法并结合使用两个切面的二重积分方二重积分方 法法得出了中间圆柱体的体积，进一步的我们对两个球冠头依次按照横切和纵切 的一重积分法得出
6、其相应体积，由于切割面积是建立在相对于油罐的水平情况 下，而液面的高度是水平于地平线的，故还存有一个小切块体积，我们同样使 用三角形近似切割积分法三角形近似切割积分法对两个球冠头下剩余的切块体积进行求解。综合以上 三个积分体积之和以及在考虑到液面的分段情况下，我们使用逐步搜索法对角 度参数进行精度搜索并结合最小二乘法得出了的值为。最后、2.114.31和 我们根据得出的角度值计算出了 30 个间隔为 10cm 高度的储油罐体积值。 本文最后对模型的优缺点进行了分析，并对在相互变化的情况下进行、 了灵敏度分析灵敏度分析。文章中我们使用了大量的图表使抽象的理论情况更为形象化。关键词：关键词：最小二
7、乘拟合 体积积分 纵倾横滚 坐标变换 逐步搜索法1 问题重述问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度 等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行 实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发 生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。 按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对
8、罐容表的影响，利用如图 4 的小椭圆型储油罐 （两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两4.1o 种情况做了实验，实验数据如附件 1 所示。请建立数学模型研究罐体变位后对 罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 （2）对于图 1 所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模 型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件 2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间 隔为 10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件 2
9、中的实际检测数据来分析检验 你们模型的正确性与方法的可靠性。2 问题分析问题分析本文主要是让我们根据小椭圆型模型求得实际罐容与高度的关系式，进而 标定罐容表。对于小椭圆模型，想到应该先求出无变位时的模型，这部分是规 则题，应该能求出具体表达式。在得到无变位模型后，我们分析变位和无变位 之间的区别仅仅在于变位后，罐内油位高度不是定值，而是沿着一个平面线性 变化。这时计算体积，想到只要把每个地方的椭圆面面积都求出来，进而积分 就可以得到。而椭圆面的截面积在无变位模型时已求解出，我们只需将始终的 高度用现在的高度表达式替换即可。 在得到第一问的模型后，分析第二问中实际储油罐与小椭圆储油罐的区别 在于
10、中间部分为圆柱体，两边为球罐体。中间部分与第一问中的椭圆柱体本质 上是一致的，只是加上横向偏转后，实际各点高度与油位计的高度关系更为复 杂。两边的球罐体可以采用分割近似求解来求。3 模型假设模型假设1 假设在理论计算体积时，不考虑罐壁厚度； 2 假设理论值与实际值的误差主要来自于罐体内部结构； 3 假设给出的实验数据与真实值很接近，可以作为检验数据； 4 假设罐体结构不会随温度、储油量或其它环境因素的影响而发生变形。4 符号说明符号说明无变位时油罐体罐容； 变位时油罐体罐容；VV油位计测量罐内油位高度； 截面面积。hS5 小椭圆储油罐罐容标定模型（问题一）小椭圆储油罐罐容标定模型（问题一）为了
11、掌握罐体变位后对罐容表的影响，本节利用小椭圆型储油罐（两端平 头的椭圆柱体）来模拟实际储油罐，分别针对罐体无变位和倾斜角为 =4.100 的纵向变位两种情况建立数学模型，与实验数据进行比对，分析模型的正确性， 并给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 本节内容安排如下： 罐体无变位模型 罐体变位模型 结果与误差分析 罐容表标定5.1 罐体无变位模型罐体无变位模型问题要求我们建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体 变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。考虑到罐体倾斜后，涉及到倾角， 在用几分求体积表达式时比较复杂，为此我们先研究简单情况罐体无变位 时罐容（体
12、积）与油位计测量罐内油位高度的关系式，即为罐体无变位时的数 学模型。下面分析求解过程及计算方法。5.1.1 罐容与油位高度的关系式罐容与油位高度的关系式无变位模型无变位模型为使问题数学化，我们采用解析几何的方法，首先建立如图所示三维直角 坐标系，如图 5.1 所示。1.2m0.4m2.05mh油油位位 探探针针油油浮浮子子注注油油口口出出油油口口xyz1l2llo图 5.1 三维直角坐标系我们要求罐容，也就是图中虚线以下部分体积，与油浮子高度的关系Vh 式，显然需要用到多重积分。 已知三重积分的积分函数时，其在空间有界闭区域上得三重( , , )1f x y z 积分即为有界闭区域的体积，即（
13、5-Vdv1） 根据上述知识，我们只需要确定有界闭区域的空间表达式，即可在上 对函数积分得到的体积。( , , )1f x y z （1）积分空间）积分空间的表达式的表达式图 5.1 给出的是椭圆形储油罐的正面图，我们画出其侧面图（椭圆） ，将其 放在与图 5.1 一致的直角坐标系内，如图 5.2 所示。a=0.89mb=0.6mxzo图 5.2 储油罐侧面图 我们可以清楚地看出侧面是一个椭圆，已知其半长轴和半短轴0.89am ，可以很快写出其表达式如下：0.6bm（5-2222()1xzb ab2） 在确定侧面椭圆表达式后，我们来确定上面表达式，上面应是平行与 平面的平面，其表达式为：xOy
14、（5-zh 3） 在确定这两个面以后，还需知道的范围，从图中可以看出y（5-0yl 4）由此，我们可以得到空间有界闭区域应为曲面，平面2222()1xzb ab，围成的闭区域，即：zh0yl2222()10zhxzb ab yl ：（2）闭区域）闭区域的体积的体积无变位时罐容表达式无变位时罐容表达式三重积分求解过程如下：三重积分求解过程如下：将投影到面上，得投影区域如图 5.3 所示。xOzxzDxzh o图 5.3 投影区域xzD则应有（5- 0xzlDVdvdydxdz5）只需求解双重积分即可得出体积。显然双重积分应为图中阴影部分xzDdxdz的面积，记为。由于满足椭圆关系式，这里采用极坐标计算。S, x z 先进行坐标变换：双重积分 （5- 0( )xzhDSdxdzx z dx6）令 ，cos(1 sin )xazb 由积分限 ，(1 sin )0, zbh得 ，,arcsin(1)2h b 只取到椭圆的右半部分，故（5-arcsin(1)02arcsin(1)arcsin(1)222arcsin(1)22( )2cos(1 sin )2cos(cos21)1( sin2)2(1) 1 (1)arcsin(1)2xzhhbDhh bbh bSdxdzx z dxadbabdabdabhhhabbbb
