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1、差分方程模型西北大学数学系一 差分方程1 差分：设函数 ，记为 ，当 t 取遍非负整数时，函数值可以排成一个数列，则差 称为函数 的差分，也称一阶差分，记为 ，即西北大学数学系二阶差分同理，可定义三阶差分等。二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。差分的性质：西北大学数学系2 差分方程：含有未知函数及表示未知函数的几个时期值的符号的方程。如3 差分方程的阶方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数。不同形式的方程可互相转化。西北大学数学系4 差分方程的解如果一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为该方程的解。例一阶线性方程有解类似于微分方程可定义初值条件，特解等。西北大学数学系二 差分方程
2、平衡点的稳定性1 对于一阶线性常系数差分方程满足方程的解，称为上方程的平衡点。即平衡点为西北大学数学系西北大学数学系由于方程（1）平衡点的稳定性问题可转化为下面 方程零点的稳定性。方程（2）的解可表示为可得到下面的稳定性结论。西北大学数学系当且仅当时，方程（2）的平衡点（零点）是稳定的，从而方程（1）的平衡点稳定。对于n维向量 常数矩阵A构成的方程组称其为一阶常系数线性齐次差分方程组。结论1西北大学数学系若 r(A) 1，则其平衡点是不稳定的；若 r(A)=1，稳定性不确定。A的特征根的集合称为矩阵A的谱，称为矩阵A的谱半径。西北大学数学系2 对于二阶线性常系数差分方程平衡点为为了得到（4）零
3、点的稳定性我们求解方程（4）。写出特征方程解出特征值通解为其中常数 由初值条件 确定。西北大学数学系当且仅当时，方程（4）的平衡点是稳定的。结论2l非齐次线性方程（5）的稳定性可转化为齐次方程（4）来研究。l对于n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征根西北大学数学系3 一阶非线性差分方程平衡点 通过求解方程而得到。l研究稳定性的方法之一是研究其对应的线性部 分的稳定性。l将方程（6）的右端在 点作泰勒展开只取 一次项， （6）近似为也是（7）平衡点。西北大学数学系当结论3时，方程（6）与（7）平衡点的稳定性相同。结论4当时，方程（7）平衡点是稳定的；当时，方程（7）平衡点是不稳定的。西北大学数学系
4、三 常微分方程向差分方程转化（数值解）1 Euler 方法求初值问题的近似解。只要给定 就可求得先把自变量所在的区间 n 等分；西北大学数学系例1 从 出发并取 ，求下列初值问题的近似解。 解西北大学数学系继续下去，自变量使用等间隔值，并生成其 n 个 值，令步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。优点：容易编程计算。西北大学数学系例2 从 出发并取 ，求下列初值问题的近似解。 解西北大学数学系解Malthus 模型 的离散形式西北大学数学系例3 对于方程组的情形，Euler 方法同样可用。先把自变量所在的区间 n 等分；步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。西北大学数学系对捕食模型用Eul
5、er法求出前三次逼近，初始条件为解第一组点：西北大学数学系第一组点：第二组点：西北大学数学系第三组点：继续下去，就可生成数值解 表。如果方程组为自治系统，在相平面上就可得到近似的轨线图 。西北大学数学系上机练习1：对捕食模型用Euler法，在相平面上画出轨线的近似图， 观察其变化情况。西北大学数学系2 Runge-kutta型方法也是用来求初值问题的近似解，但比Euler 方法 收敛更快。先把自变量所在的区间 n 等分；西北大学数学系Euler 方法常取 单步方法。西北大学数学系四 差分方程模型举例 1 差分形式Logistic 模型离散化变形令 b= r + 1西北大学数学系1）平衡点及其稳
6、定性求平衡点：平衡点为根据稳定的条件 当 b3 时， 是不稳定的平衡点。西北大学数学系2）数值计算（上机练习2）初值取b =1.7，2.6，3.3，3.45，3.55，3.57k = 1,2,100观察 的变化趋势。出现倍周期收敛现象。一般地，一阶自治的非线性差分方程西北大学数学系3）混沌与分岔若 x*满足则称 x* 为不动点，1-周期点。若 x*满足则称 x* 为2-周期点。4-周期点，8-周期点等，倍周期分岔。西北大学数学系练习：竞争猎兽模型斑点猫头鹰和红隼在其栖息地为生存而斗争。假定没有其他种群存在的情况下，每个单种群都可以无限地增长，即在一个时间区间里（如一天）其种群量的变化与该时间区
7、间开始时的种群量成正比。而第二种群的存在降低了另一种群的增长率。假定这种增长率的减少与两种群的数量之积成正比。 试建立数学模型考察两种群的演化规律。西北大学数学系一 建立模型根据题意，建立差分方程组西北大学数学系二 模型求解求平衡点在平衡点处两种群的种群量不会发生变化。即如果一开始它们数量为150和200时，那么每天数量都保持不变。西北大学数学系数值计算在平衡点附近的情形猫头鹰头鹰隼 情形1151199 情形2149201 情形31010xyxyxy 115119911157.31188.4821221.05113.18 2151.15198.6012159.12185.7322240.259
8、7.03 3151.36198.1413161.40182.3423264.9779.57 4151.64197.6014164.25178.1824296.8861.27 5152.00196.9615167.83173.1025338.0643.27 6152.49196.1716172.34166.9326391.0527.00 7152.05195.2017178.04159.4727458.7013.98 8153.79194.0018185.26150.5328544.035.35 9154.71192.5319194.42139.9129649.911.13 10155.8719
9、0.7220106.11127.4830779.170.00情形1西北大学数学系xyxyxy 114920111142.87212.002192.88325.63 2148.85201.4012141.16215.022281.21326.83 3148.64201.8613139.04218.822367.98412.75 4148.37202.4114136.42223.622453.52480.45 5148.01203.0715133.20229.692538.51573.16 6147.55203.8816129.24237.412624.14700.97 7146.98204.88
10、17124.41247.272712.05877.41 8146.26206.1218118.53259.93283.871119.5 9145.37207.6619111.42276.29290.311446.6 10144.25209.5720102.92297.6130-0.081879.7情形2西北大学数学系xyxyxy 110101145.7595.942128.61565.92 211.912.81250.51115.942218.14703.32 314.1316.341354.75139.01239.01888.80 416.7220.771458.09165.49242.80
11、1139.4 519.7226.311560.10195.91250.171474.9 623.1433.171660.34231.1426-0.041916.8 727.0141.581758.47272.5827 831.2851.811854.22322.4928 935.9264.111947.58384.2629 1040.8078.742038.81462.9730情形3西北大学数学系三 结论对初始点极其 敏感，这样的 平衡点是不稳 定的。栖息地共有350头猫头鹰和隼。1）如果有150头猫头鹰，那么我们预测猫头鹰永远停留在这个数量上。2）如果从栖息地移走一头猫头鹰，那么我们预测猫头鹰将会灭绝。3）如果在栖息地安置151头猫头鹰，那么我们预测猫头鹰将会无限增长而隼将会灭绝。4）如果开始在栖息地安置少量的头猫头鹰和隼，那么我们预测猫头鹰将会灭绝而隼将会无限增长，即对猫头鹰的生存不利。问题1： 如果开始两种 群的数量都多 于它们的平衡 点的数值，情 况又如何？问题2： 系数变化怎样 影响它们的演 化规律？西北大学数学系提示：
