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1、 佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 容斥问题 容斥问题 1、 容斥原理的基本思想 容斥原理类型的题目的难点在于运算的时候，计数的重复、遗漏。容斥原理的基本思想：先不考虑重叠的情先不考虑重叠的情况，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使得计算况，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使得计算的结果既无重复也无遗漏。的结果既无重复也无遗漏。 容斥原理类型题目我们通常通过两种方法去解决，公式法和文氏图。文氏图是通过画图来求解。 公式法： （1） 两个集合的容斥关系
2、（二元） 佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 - 1 -佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 - 2 -左边的一个整圆表示为一个集合 X， 右边的一个整圆表示为一个集合 Y 矩形表示一个整体即所有元素 这个原图的核心部分在于中间的 2 个圆构成的交集，我们知道两个圆相交必然重复算了一次中间部分T:X+Y=(A+T)+(B+T)，要计算实际的 2 个圆中的元素数量，即必须把重复的去掉，即 X+Y-T。 如果要求 A 或者 B
3、是多少，我们只需把对应 X 或 Y 去掉公共部分 T 就可以得到。 如果要求 T 是多少，我们只需把 X+Y-A-B 即可得到重复的部分 T。 佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 两个圆 X 和 Y 构建的不一定是所有元素，这个时候我们一定要想办法把这些不是圆内的元素去掉，否则应用容斥原理就会出现错误，反过来，我们也可以利用这个求所有不参与圆的元素之和。 （2） 三个集合的容斥关系（三元） 首先这里不考虑都不参与的元素 （1）A+B+T=至少参与一项的总人数（无重叠） （2）A2B3T至少包含1种的总人数（含重叠） （3）B3T至少包含 2 种的总
4、人数（含重叠） 佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 - 3 -佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 （4）T=三项都参与的人数，也就是图形中的最中间的部分 T。 （5）A=x+y+z：表示只参加了一个圆圈的人数，在图中反映的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。 （6）B=a+b+c；表示仅参加了两个圆圈的人数，在图中反映的区域就是两两相交的部分总和（不含中间的 T 区域） 。【斜月沉沉-题目一】某代表团有 756 名成员，现要对 A、B 两议案分别分进行表决，且他们只能投赞成票或反对票。已知赞成 A 议案的有
5、 476 人，赞成 B 议案的有 294 人，对 A、B 两议案都反对的有 169 人，则赞成 A 议案且反对 B 议案的有( )。 A、293 B 、182 C 、183 D、 462 【斜月沉沉-正确答案】 【斜月沉沉-思路点拨】 【斜月沉沉-题目二】旅行社对 120 人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为 5：3;喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为 7：5;两种活动都喜欢的有 43 人。对这两种活动都不喜欢的人数是（） 。 A、18 B.27 C.28 D. 32 【斜月沉沉-正确答案】 佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 - 4 -佳
6、远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 【斜月沉沉-思路点拨】 【斜月沉沉-题目三】某单位派 60 名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有 12 人穿白上衣蓝裤子，有 34人穿黑裤子，29 人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？ A、12 B、14 C、15 D、29 【斜月沉沉-正确答案】 【斜月沉沉-思路点拨】 【斜月沉沉-题目四】某公司 100 名员工对甲、乙两名经理进行满意度评议，对甲满意的人数占全体参加评议的 3/5，对乙满意的人数比甲的人数多 6 人，对甲乙都不满意的占满意人数的 1/3 多 2 人，则对
7、甲乙都满意的人数是（） A. 36 B.26 C.48 D.42 【斜月沉沉-正确答案】 【斜月沉沉-思路点拨】 【斜月沉沉-题目五】如图所示，X、Y、Z 分别是面积为 64、180、160 的三个不同形状的纸片， 覆盖住桌面的总面积是 290，其中 X 与 Y、Y 与 Z、佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 - 5 -佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 Z 与 X 重叠部分的面积依次是 24、70、36，那么阴影部分的面积是( )。 A 15 B 16 C14 D 18 【斜月沉沉-正确答案】 【斜月
8、沉沉-思路点拨】 【斜月沉沉-题目六】某市对 52 种建筑防水卷材产品质量抽检，其中有 8 种产品的低温度不合格，10 种产品的可溶物含量不达标，9 种产品的接缝切性能不合格，同时两项不合格的有 7 种，有 1 种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？【11 年国考真题】 A37 B 36 C35 D 34 【斜月沉沉-正确答案】 【斜月沉沉-思路点拨】 佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 - 6 -佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 【斜月沉沉-题目七】甲,乙,丙三个人共解出
9、20 道数学题,每人都解出了其中的 12 道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（ ）题? A6 B 5 C4 D 3 【斜月沉沉-正确答案】 【斜月沉沉-思路点拨】 【斜月沉沉-题目八】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有 100 道题，且小明做对了 68 题，小刚做对了 58 题，小红做对了 78 题。问三人都做对的题目至少有几题？ A4 B 8 C12 D16 3 人都做对的最多有几题？ A68 B58 C68 D以上答案都不正确 【斜月沉沉-正确答案】 【斜月沉沉-思路点拨】 【斜月沉沉-
10、题目九】某班级有 30 人，其中 23 人参加了数学兴趣小组，19 人参加了科技兴趣小组，25 人参加了文艺兴趣小组，每个人至少参加佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 - 7 -佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 佳远公务员助您成绩优佳、情谊久远 网址：http:/ YY 公益频道：29357 - 8 -一个小组，则三个兴趣小组都参加的人数最少是多少人？ A5 B7 C8 D9 【斜月沉沉-正确答案】 【斜月沉沉-思路点拨】 【斜月沉沉-题目十】对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有（ ） 。 A22 人 B28 人 C30 人 D36 人 【斜月沉沉-正确答案】 【斜月沉沉-思路点拨】 思路一：文氏图。 思路二：方程法。
