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1、2.2 运动学方程2.2.1 引言 2.2.8 T6的确定 2.2.2 姿态描述 2.2.9 各种A矩阵的确定 2.2.3 欧拉角 2.2.10 根据A矩阵来确定T6 2.2.4 摇摆、俯仰和偏转 2.2.11 斯坦福机械手的运动方程2.2.5 位置的确定2.2.6 圆柱坐标 2.2.7 球坐标*12.2.1 引言 ( Introduction )本章，我们采用齐次变换来描述在各种坐标系中机械手的位置与方向。首先介绍各种正交坐标系的齐次变换。然后介绍在非正交关节坐标系中描述机械手末端的齐次变换 。注意，对任何数目关节的各种机械手均可以这样进行。描述一个连杆与下一个连杆之间关系的齐次变换称A矩阵
2、。A矩阵是描述连杆坐标系之间的相对平移和旋转的齐次变换。连续变换的若干A矩阵的积称为T矩阵，对于一个六连杆（六自由度）机械手有T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 （3.1）六连杆的机械手有六个自由度，其中三个自由度用来确定位置，三个自由度用来确定方向。表示机械手在基坐标中的位置与方向。则变换矩阵有下列元素nx ox ax pxny oy ay py T6 = nz oz az pz （3.2）0 0 0 1Date2如图3.1所示，机器人的末端执行器（手爪）的姿态（方向）由 n、o、a 三个旋转矢量描述，其坐标位置由平移矢量 p 描述，这就构成了式（3.2）中的变换矩阵 T。由于 n
3、、o、a 三个旋转矢量是正交矢量，所以有n = oa图3.1 末端执行器的描述 Date32.2.2 姿态描述 ( Specification of Orientation )对式（3.2）中16个元素一一赋值就可确定T6。假定机械手可以到达要求 的位置，而单位旋转矢量o和a正交，即oo 1 （3.3 ）aa 1 （3.4）oa 0 （3.5） a形成单位向量aa （3.6） | a |构成与o和a正交的nn oa （3.7） 在o和a形成的平面上旋转o，使得o与n和a正交o an （3.8）单位向量o是 oo （3.9）| o |根据第二章给出的一般性的旋转矩阵ot (k ,)，它把机械手末
4、端的姿态 规定为绕k轴旋转角。Date42.2.3 欧拉角 ( Euler Angles )姿态变更常用绕x,y或z轴的一系列旋转来确定。欧拉角描述方法是：先绕z轴旋转，然后绕新的y(即y/)轴 旋转，最后绕更新的x(x/)轴旋转。欧拉变换 Euler(,)可以通过连乘三个旋转矩阵来求得Euler(,) ot(z,)ot(y,)ot(x,) （3.10）Date52.2.4 摇摆、俯仰和偏转 ( Roll, Pitch and Yaw ) 摇摆、俯仰和偏转为另一种旋转。如图3.4所示，就像水中航行的一条小船一 样，绕着它前进的方向（z轴）旋转 称为摇摆，绕着它的横向中轴（y轴）旋转 称为俯仰，
5、绕着它甲板的垂直向上的方向（x轴）旋转 称为偏转。借助于这 种旋转来描述机械手的末端执行器如图3.5所示。规定旋转的次序为绕x轴旋转， 接着绕y轴旋转，最后绕z轴旋转 ，这个变换如下RPY(,)ot(z,)ot(y,)ot(x,) （3.12）cos 0 sin 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 cos sin 0RPY(,) = ot(z,) sin 0 cos 0 0 sin cos 0 （3.13）0 0 0 1 0 0 0 1 cos sin 0 0 cos sinsin sincos 0 sin cos 0 0 0 cos sin 0RPY(,) = 0 0 1 0 -sin
6、cossin coscos 0 （3.14）0 0 0 1 0 0 0 1Date6RPY(，) =cos cos cos sinsin sin cos cos sincos + sin sin 0 sin cos sin sinsin + cos cos sin sincoscos sin 0 -sin cossin coscos 0 0 0 0 1 （3.15）Date7图3.4 摇摆、俯仰和偏 转角图3.5 机械手的末端执行器的摇摆、俯仰和偏 转Date82.2.5 位置的确定 ( Specification of Position ) 一旦方向被确定之后，用一个相应的p向量的位移变换可
7、得 到机器人末端执行器在基坐标中的位置：1 0 0 px0 1 0 py T6 = 0 0 1 pz （3.16）0 0 0 1旋转变换矩阵Date92.2.6 圆柱坐标 ( Cylindrical Coordinates ) 如图3.6所示，在圆柱坐标中确定机械手的位置是沿x轴平移r，接着绕z轴旋转，最后沿着z轴平移z。Cyl(z, ,r) = Trans(0,0,z)Rot(z, ) Trans(r,0,0)cos -sin 0 0 1 0 0 rsin cos 0 0 0 1 0 0 Cyl(z, ,r) = Trans(0,0,z) 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0
8、 0 1（3.17）1 0 0 0 cos -sin 0 rcos 0 1 0 0 sin cos 0 rsin Cyl(z, ,r) = 0 0 1 z 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 （3.18）zaCzyxBAorn图3.6 圆柱坐标注意：圆柱坐标只能绕 z 轴旋转Date10cos -sin 0 rcossin cos 0 rsinCyl(z,r) = 0 0 1 z （3.19）0 0 0 1如用一个绕z轴旋转-的变换矩阵右乘式（3.19）,结果如下cos -sin 0 rcos cos(-) -sin(-) 0 0sin cos 0 rsin sin(-) cos(-) 0 0 Cyl(z,r) = 0 0 1 z 0 0 1 0 （3.20）0 0 1 1 0 0 0 1cos -sin 0 rcos cos sin 0 0sin cos 0 rsin -sin cos 0 0 Cyl(z,r) = 0 0 1 z 0 0 1 0 （3.21） 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0 r cos0 1 0 r sinCyl(z,r) = 0 0 1 z （3.22）0 0 0 1上式表明平移矢量未变，旋转矩阵为单位阵，此时末端坐标的姿态未变，而只是改变
