第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

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1、第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 教学目的：1 掌握拉氏变换及拉氏反变换的定义；2 掌握拉氏变换的基本性质；3 掌握拉氏变换分析法（求解电路问题）；4 掌握系统函数的概念；5 掌握由系统函数分析系统频响特性的方法。教学重点：1 拉氏变换对及其性质；2 系统函数及系统频响特性。4.14.1引言引言FT的优点在于：物理概念清楚 FT不足之处: (1)只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，其分析信号的范围受到限制；(2)在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。拉氏变换法(LT 拉普拉斯Laplace) 优点：1 将微积分方程求解问题转化为代

2、数方程求解。2 进行变换时，初始条件被自动计入，无需计算从0到0状态的跳变。 缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。本章的学习方法：注意与傅氏变换的对比， 便于理解与记忆。 4.2 4.2 拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的定义、收敛域收敛域一. 拉氏变换的定义从傅氏变换到拉氏变换二拉氏变换的收敛域三一些典型信号的拉氏变换一、从傅氏变换到拉氏变换有一些信号不满足狄里 赫利条件，FT不存 在： u(t) 增长信号 周期信号 若乘一衰减因子为任意实数，则收敛， 满足狄里赫利条件乘一衰减因子一拉普拉斯变换定义则1拉普拉斯正变换（LT)2拉氏逆变换(LT1）拉氏变换对双边拉氏变换单边拉氏变换自动包含0条

3、件FT: 实频率 是振荡频率LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减的速度 FT:LT:拉氏变换已考虑了初始条件初值，若有跳变则为 证明：二拉氏变换的收敛域收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域； 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件。数学描述：图形表示：说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。三一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛 3.单位冲激信号4tnu(t)常用信号的拉氏变换 4.3 4.3 拉普拉斯变换的基本拉普拉斯变换的基本 性质性质主要内容线性性质 时域微分时域积分 延时（时域移位）s域平

4、移（频域移位） 尺度变换初值定理 终值定理卷积定理 s域微分s域积分一线性性质已知则同理例题：二时域微分推广：证明：零状态条 件下，时 域微分一 次，频域 乘一个s电感元件的s域模型电感元件的s模型应用时域微分性质设当iL(0）0时，三时域积分证明：零状态条 件下，时 域积分一 次，频域 除一个s电容元件的s域模型电容元件的s模型当vc(0-)=0时，四延时（时域平移）证明：时移特性、例题【例4-1】已知【例4-2】见书例4-5 P185 “连根拔”向u（t）靠拢例 求半波正弦函数的拉氏变换0 T/2 tf1(t) E0 T/2 T tE0 T/2 T tE0 T/2 T tf(t) E？五s

5、域平移(频域移位）证明：例4-3据频域移位性质六尺度变换时移和标度变换都有时:证明：见书P187七初值初值定理证明由原函数微分定理可知八终值证明：根据初值定理证明时得到的公式终值存在的条件:说明例4-4即单位阶跃信号的初始值为1。例4-5九卷积定理（时域、频域）证明：十对s微分拉氏变换的基本性质（1）线性微分积分时移频移拉氏变换的基本性质（2）尺度变换终值 定理卷积 定理初值定理 4.4 4.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换主要内容查表法部分分式展开法留数法两种特殊情况简单函数利用典型信号的变换对及性质查表例1:一、查表法一、查表法例2:求逆变换f(t)：解：得：F(s)的一般形式ai,bi为

6、实数，m,n为正整数。分解零点极点(mn)二、部分分式展开法二、部分分式展开法1.第一种情况：单阶实数极点2. 第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重极点存在共轭极点出现在1. 第一种情况：单阶实数极 点展开：公式推导部分分式展开法 求拉氏逆变换的过程(1)求极点(2)展成部分分式(4)逆变换(3)求系数例：求逆变换解：k2=-5，k3=62. 第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在求f(t)例题求k11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式 公式 推导3. 第三种情况：有重根存在求k12 ?例：求逆变换如何求k2?求逆变换所以：三三F(s)F(s)两种特殊情况两种特殊情况非真分式

7、 化为真分式多项式1.非真分式真分式多项式作长除法2.含e-s的非有理式 4.5 4.5 用用拉普拉斯变换法分析拉普拉斯变换法分析 电路、电路、s s域元件模型域元件模型主要内容用拉氏变换法分析电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型分析电路拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。拉氏变换分析法拉氏分析法一、用拉氏变换法分析电路的步骤 列时域微分方程，用微分性质求拉氏变换； 直接按电路的s域模型建立代数方程。列s域方程（可以从两方面入手

8、），得到时域解答。求解s域方程（代数方程）。(1) 输入信号x(t) 为有始信号二、 拉氏分析法（微分方程）(2) 系统响应y(t), 初始状态已知为：方程两边取拉氏变换，考虑到时域微分性质. .右边：. .左边：输入信号x(t) 为有始信号整理成A0(s)A1(s)An-2(s) An-1(s). .系统函数拉氏分析法（复频域分析法）解：方程两边作拉氏变换例4-5-1：求系统响应y(t)。已知拉氏分析法的优点1.把微分方程转化成代数方程求解。3.当已知电路时可直接由电路的s域模型求 解，无需列写电路的微分方程。2. 0- 到 作单边拉氏变换，0-状态自动包含其中，自动引入初始条件。三、利用元

9、件的s域模型分析电路1.各电路元件的s域模型 2.电路定理的推广 线性稳态电路分析的各种方法都适用。电阻元件的s域模型电感元件的s域模型电容元件的s域模型零状态条件下：(s)电阻电感电容利用元件的s域模型求响应的步骤 由时域电路模型画s域等效模型； 据KCL和KVL列s域方程（代数方程）； 解s域方程，求响应的拉氏变换V(s)或I(s)； 拉氏反变换求v(t)或i(t)。例列s域方程:对应的s域模型如图:结果同例4-13，但不需要列写微分方程小结：拉氏分析法解电路问题的方法：u 由微分方程或电路求解u 由复频域电路模型求解4.6 4.6 系统函数系统函数( (网络函数网络函数) )H H( (

10、s s) )系统函数H(s)LTI互联网络的系统函数并联 级联 反馈连接系统函数零状态条件下系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。1. 定义：系统函数H(s)的含义 设系统的单位冲激响应为h(t),激励为x(t),零状态响 应为yzs(t)，则有：一对拉氏变换对系统时域特性h(t),频域特性H(s)从频域反映系统的特性2.H(s)的分类策动点导纳策动点阻抗策动点函数：激励与响应在同一端口时转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口3H(s)的求法微分方程两端在零状态条件下取拉氏变换利用网络的s域元件模型图，列s域方程求解。(1)在零状态下，对原方程两端取拉氏变换例4-

11、6-1例4-6-2列s域方程:零状态条件下，系统对 应的s域模型如图如左: R4.应用：u求系统的零状态响应u由H(s)判断系统的时域特性、频响特性、稳定性例4-6-1(1)在零状态下，对原方程两端取拉氏变换(2)因为所以所以二LTIS互联的系统函数1LTI系统的并联2LTI系统的级联3LTI系统的反馈连接例4-6-2 已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和 描述此系统的微分方程。4.7 4.7 由系统函数零、极点分由系统函数零、极点分 布决定时域特性布决定时域特性 H(s)零、极点与h(t)波形特征 H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、 强迫响应特性的对应一H(s)零、极点与系统

12、零极点图1系统函数的零、极点4-7-1 画出如下系统的零极点图极点：零点：2. 系统函数的零极点图在s平面上， 极点：用表示，零点：用表示，画出的图形为H(s)的零极点图。一阶极点当 ，极点在左半平面，衰减振荡 当 ，极点在右半平面，增幅振荡2. H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应二阶极点几种典型情况图示极点于S面左半平面 h(t)呈衰减形式极点于S面右半平面 h(t)呈增长形式极点于S面虚轴上 h(t)等幅振荡或等值H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应关系：二H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应 特性的对应激励：系统函数：自由响应分量 强迫响应分量响应：结论：自由响应

13、的响应形式由H(S)的极点决定。强迫响应的响应形式由E(S)的极点决定。H(S)和E(S)的零点只是影响响应的幅度和相位。 4.8 4.8 由系统函数零、极点分布由系统函数零、极点分布 决定频响特性决定频响特性 定义几种常见的滤波器根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线一系统频响特性定义系统的前提：稳定的因果系统。一般有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。 时域条件：频域条件： H(s)的全部极点落在s左半平面。 系统稳定的条件：H(S)e(t)ymm(t)系统的稳态响应 系统的稳态响应为：由(1)：在频率为0的正弦激励信号作用下，系统统的稳态稳态 响应应仍为为同频频率的正弦信号，幅度被乘

14、以系数H0，相位变变 化0。由(2)： H0和0是系统函数H(s)在j0处的幅值和相位。H(S)e(t)ymm(t)同理：在频率为1、2、 的正弦激励信号作用下， 系统统的稳态稳态 响应应仍为为同频频率的正弦信号，幅度被乘以系 数H1、H2、H,相位变变化1、 2 。系统统幅频特性系统统相频特性（相移特性）理解系统频 响特性意义所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励 下稳态响应随频率的变化情况。记为： 定义：O()wjHw2w1w3wH1 H2H3幅频特性：系统的频响特性由系 统自身的结构决定， 与激励没有关系。低通滤波器（LPF)O31 2相频特性：系统函数：H(s)，H(j)和h(t)的关

15、系拉氏变换对： h(t)H(S)傅氏变换对： h(t)H(j)二几种常见的滤波器的频响特性三根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线令分子中每一项令分母中每一项S平面w变化时，jw沿虚轴 移动时，各矢量的 模和辐角都随之改 变，于是得出幅频 特性曲线和相频特 性曲线。 由矢量图确定频率响应特性例4-8-1由系统函数的零、极点画出系统的频响特性。频响特性分析辐频特性相频特性 4.8小结：u 频响特性的定义与含义u 由H(s）的零、极点确定系统的频响特性u H(s）、H(j)、h(t)的关系4.9 4.9 全通函数与最小相移函数全通函数与最小相移函数 的零、极点分布的零、极点分布 全通网络最小相移网络非最小相移网络一全通网络 所谓全通是指它的幅频特性为常数，对全部频率 的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。 极点位于左半平面， 零点位于右半平面， 零点与极点对于虚轴 互为镜像 全通网络的特点：频率特性幅频特性常数 相频特性不受约束 全通网络可以保证