《用函数的观点看一元二次方程教学设计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用函数的观点看一元二次方程教学设计（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用函数的观点看一元二次方程教学设计一、内容及内容解析二次函数是描述现实世界变量之间数量变化规律的重要数学模型，这一章是初中阶段有关函数知识的重点内容之一，是对八年级的所学函数知识的深入与延伸。学生学习了一次函数和反比例函数后，近一步学习二次函数，是函数知识螺旋发展的重要环节，也是今后继续学习其他初等函数的基础。因此，这部分内容对学生学习函数知识有着承上启下的作用。用函数的观点看一元二次方程是继学生学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 、二元一次方程组的联系以及二次函数初步知识后的一节内容，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对
2、一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数是有关问题。这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。二、目标及目标分析知识技能：1了解一元二次方程的根的几何意义（抛物线于 x 轴的公共点的横坐标）2掌握抛物线与 x 轴的
3、三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况。3能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。数学思考：1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。2经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验3通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。解决问题：1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。2通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与 x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力
4、。情感态度：1从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。2通过学生共同观察和讨论，培养学生的合作交流意识。三、教学重点、难点：、教学重点：1体会方程与函数之间的联系。2能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。、教学难点：1探索方程与函数之间关系的过程。2理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。四、教学问题诊断基于学生已学习了二次函数的图象与性质这一认知实际，本节课注重从学生已有的知识经验出发，通过引导学生动手操作、观察、归纳、概括、师生互动，得出二次函数与一元二次方程的关系。因为这节课学生接受起来有一定难度，看
5、似简单的问题，学生虽然能给出答案，但真正理解起来却很难，在我准备的过程中，我充分地考虑到了学生的认知能力，并决定减少本节课的练习题的量，而把时间主要用在探索关系上，使学生能亲身经历知识发生发展的过程，从而使学生真正理解二次函数与一元二次方程的关系，并能灵活应用其解决相关的问题预测学生可能会在用图象法求方程解时由于误差而会对总结出的结论产生疑问，此时教师及时点拨，会让学生拨云见日.五、教学支持条件分析为了高效实现教学目标，可以借助计算机进行辅助教学在学生观察图象、探究二次函数的图象与一元二次方程的根的联系时，可以借助几何画板将较多函数图象呈现给学生，采用合作交流、探索分析等方法并结合数、形两方面
6、把知识由形象变抽象、从特殊到一般，加强知识前后联系，从而达到支持课堂教学的目的。六、教学过程设计（一）检查预习 引出课题活动 1预习作业：1解方程：（1）x 2+x2=0; (2) x 26x+9=0; (3) x2x+1=0; (4) x 22x2=0.2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程 3x-4=0 的解.师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2 题的格式要规范。设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1 题中的三个方程是课本
7、中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2 题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。活动 2 创设情境 探究新知问题球场上，一球员打出一杆球，如果球的飞行路线将是一条抛物线球的飞行高度为 y(m) 与飞行时间为 x(s)之间满足 y= -5x+20x问题： 球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？ 球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？ 球的飞行高度能否达到 25m？为什么？ 活动方式：学生独立思考，列出一元二次方程并交流做出的判断.一 、从解
8、析式探索函数与一元二次方程的关系1、从实际问题列出的三个方程出发，在解决完提出的三个问题之后，观察三个方程根的情况，并首先以第一个方程为例，剖析函数与方程的关系. y= -5x+20x函数值为 15 根为 x1=1, x2=3（对应自变量的值）-5x+20x = 152、上述分析，让学生结合方程根的情况，说出另外两个方程与函数之间的关系.二 、从图象探对比索函数与一元二次方程的关系通过对一个高度问题的探索，引出从图象角度探索函数与一元二次方程的关系，学生再次以由实际问题引出的第一个方程为例，从图象的角度说明：（1）纵坐标为 15 的点构成直线 y=15与抛物线若有交点，则方程-5x+20x =
9、 15有根，有几个交点就有几个根.（2）通过观察发现，方程的根即为交点的横坐标.（3）对比上述分析，让学生结合方程根的情况，从图象角度说出另外两个方程与函数之间的关系.设计意图：学生从图象角度出发，去探索函数值一定时，得出一元二次方程的根，即为两图象交点的横坐标，并发现交点的个数为方程根的个数，在这个环节，我并没有急于进行归纳总结，而是在接下来的环节，以例题的形式通过一组方程让学生巩固刚刚得出的这些结论.解方程：（1）x+x-2=0 （2）x-6x+9=0（3）x-x+1=0解：（1） x1=1, x2=-2 （2）x1=x2=3 （3）方程无实数根师生行为：由学生分组探究的，活动中教师注重数
10、形结合思想的渗透，要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有什么关系?二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0 的根一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式 =b 24ac两个交点 两个相异的实数根 b24ac 0一个交点 两个相等的实数根 b24ac = 0没有交点 没有实数根 b24ac 0?3、 x 为何值时，y0?师生行为：教师提出问题，学生独立思考后，师生共同解答。设计意图：通过练习主要考查学生对二次函数与一元二次方程关系
11、的理解程度.。活动 3 例题学习 巩固提高问题例 利用函数图象求方程 x22x2=0 的实数根（精确到 0.1）.变式：我们还可以采用如下的图像解法：1、 把方程变形成 x2=2x+22、 画出函数 y= x2 与 y=2x+2 的图象3、 如果上述两个函数的图象有公共点，那么公共点的横坐标就是方程的根。想一想，为什么？师生行为：教师提出问题，引导学生根据预习题 2 独立完成，师生互相订正。总结8642246810 5 5 10o-13图象法解方程的方法，并回答用图像法解方程有什么优点与缺点？教师关注：（1）学生在解题过程中格式是否规范；（2）学生所画图象是否准确，估算方法是否得当。设计意图：
12、例题旨在让学生感知数形结合的思想的简单应用，利用变式使学生更深层次的理解二次函数与一元二次方程的联系。很容易明确例题的解题思路和方法，这样既降低难点且突出重点。活动 4 练习反馈 巩固新知问题： 1、 一元二次方程 3x2+x10=0 的两根是 x1=-1, x2=5/3,那么二次函数 y=3x2+x10与 x 轴的交点坐标是 2、 已知二次函数 y=2x2-（4k+1）x+2k 2-1 图象与 x 轴交于两点，求 k 的取值范围。师生行为：教师提出问题，学生独立思考后写出答案，师生共同评价；教师强调正确解题思路。教师关注：学生能否准确应用本节课的知识解决问题；学生解题时候暴露的共性问题作针对
13、性的点评，积累解题经验。设计意图：这两个题目遵循了由浅入深的原则，让学生分别从形与数两个角度认识二次函数与一元二次方程的关系，从而强化了知识与技能目标。让新知识内化升华，培养数学思维的严谨性。（三）小结梳理，反思新知小结：本节课我学会了 ；同学们，我想对你们说 弄清一种关系 二次函数与一元二次方程的关系体会三种思想：数形结合的思想、由特殊到一般的思想和转化的思想师生活动：学生思考后回答，教师对学生的错误予以纠正，不足的予以补充，精彩的适当表扬。设计意图：1促使学生反思在知识和技能方面的收获；反思自己的学习活动、认识过程，总结解决问题的策略，积累学习方法。力求不同的学生有不同的发展。2学生全面了
14、解自己的学习过程，梳理知识结构，感受自己的成长与进步，也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。（四）目标检测设计作业设计：（必做题）1阅读教材并完成 P97 习题 21。2： 3、42写好数学日记。（备选题）P97习题 21。2：5、6设计意图：使学生灵活运用所学知识解决数学问题，启发学生的创造性思维。分层作业，使不同层次的学生都能有所收获。六、教学反思：1注重知识的发生过程与思想方法的应用用函数的观点看一元二次方程内容比较多，而课时安排只一节，为了在一节课的时间里更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律遵循教师为主导、学生为主体的指导思想，我在学生能力的“最近发展区”设
15、计有层次性和开放性的问题串，通过观察、思考、猜想、交流让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态中，对新的知识的获得觉得不意外，让学生“跳一跳就可以摘到桃子 ”。探究抛物线交 x 轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系及其应用的过程中，引导学生观察图形， 从图象与 x 轴交点的个数与方程的根之间进行分析、猜想、归纳、总结，这是重要的数学中数形结合的思想方法，在整个教学过程中始终贯穿的是类比思想方法。这些方法的使用对学生良好思维品质的形成有重要的作用，对学生的终身发展也有一定的作用。2关注学生学习的过程在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题串、提
16、供经历数学化过程活动；学生通过动手实践、自主探究、合作交流的学习方式，进行有效学习。其知识的形成和能力培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞 ”的课堂境界。3强化行为反思、优化作业设计“反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力” ，本节课在教学过程中始终融入反思的环节，用问题的设计，课堂小结，课后的数学日记等方式引发学生反思，使学生在掌握知识的同时，领悟解决问题的策略，积累学习方法。作业的设计分必做题和选做题，必做题巩固本课基础知识，基本要求；选做题属于拓广探索题目，培养学生的创新能力和实践能力。针对这节课，我力求做到：以问题为载体体现学生主体地位，以发展思维过程为主线发挥教师的主导作用，以培养思维能力为目标激发学生的创新意
