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1、第 20 卷第 1 期 Vol. 20 1 1999青岛建筑工程学院学报Journal of Qingdao Institute of Architecture and Engineering三边固定一边自由矩形板的精确解a岳建勇 曲庆璋( 青岛建筑工程学院建筑工程系, 青岛 266033)摘 要 基于 Kirchhoff 薄板理论, 选择双三角级数加多项式的挠度函数, 解决了三边固定一边自由矩形板在静水压力、 均布荷载作用下的弯曲. 计算表明: 这种解法收敛速度快, 计算精度高, 且易于实际工程应用.关键词 弹性薄板弯曲, 矩形板, 三角级数中图法分类号 O343本文是对 Kirchhoff
2、 矩形薄板一般精确解研究的一部分. 众所周知, 矩形板的精确解在一般条件下求解是相当困难的. 因此, 历史上存在着一些著名的难题. 在文献 1 中, S. T imo-shenko 给出了一些边界条件下, 矩形板的级数形式精确解. 80 年代以来张福范等利用叠加方 法给出了矩形悬臂板及弹性地基上四边自由矩形板等著名难题的精确解 2. 作者之一在文献 3 4 等中, 用不同的方法亦给出了它们的精确解. 文献 5 亦给出了矩形板的精确解.本文研究的问题, 其典型的工程实例为水利工程中的水闸闸门, 因此本研究有重要的工程 意义和工程应用前景.图 1 矩形板1 基本微分方程和边界条件设矩形板边长为 2
3、a、 b, 边界条件为三边固定一边自由, 该 问题最典型的工程实例是水闸闸门, 承受横向载荷 q( x, y ) 作用, 坐标系选取如图 1.基本控制微分方程:4w =q( x , y) D( 1)式中 4=545 x4+ 2545x25 y2+545 y4, D 为板的抗弯刚度D=Eh312( 1- v), 其中 E、 v 分别为板的弹性模量及泊松比, h 为板的厚度.( 1) 在 y= 0 边上有w = 0( 2)a收稿日期: 1998- 08- 315w 5y= 0( 3)( 2) 在 x= a 边上有w = 0( 4)5w 5x= 0( 5)( 3) 在 y= b 边上有My= - D
4、52w5 y2+ v52w5x2= 0( 6)Vy= - D53w5y3+ ( 2 - v)53w5x25 y= 0( 7)2 在给定边界条件下的基本微分方程设 w ( x, y) = w ( x, y) + w*( x, y)( 8)其中 w ( x, y) 为方程( 1) 所对应的齐次方程的通解, w*( x, y) 为方程( 1) 的一个特解, 当板面作用静水压力时分别取为w ( x, y) =6m= 1 BmshA y+ CmA ychA y+ DmA ychA ( b- y) cosA x+6n= 1( EnchBx+ HnBxshBx) sinBy+ Qy2+ Ry+ Sy3w*(
5、 x, y) = -q0 360Db( 3y5- 15y4b+ 20b2y3)其中 Bm, Cm, Dm, En, Hn, Q, R, S 为待定系数; A =mP a, B=nP b. 将( 8) 式给出的挠度函数 w ( x,y) 代入边界条件, 则有( 1) 边界条件( 2) , 即 wy= 0= 0 自然满足.( 2) 由边界条件( 5) 式5 w5 xx = a= 0 得6n= 1 ( En+ Hn) shBa + HnBachBa sinBy = 0由于上式需要满足变量 y 的一切值, 故应有( En+ Hn) shBa + HnBachBa = 0( 9)( 3) 由边界条件(
6、6) 式52w5y2+ v52w5 x2 y = b= 0 得6m= 1 ( 1 - v) Bm+ 2Cm shA b + ( 1 - v) A bchA bCm+ ( 1 - v) A bDmA2cosA x + 2Q + 6bS = 0由于上式应满足变量 x 的一切值, 故应有 ( 1 - v) Bm+ 2Cm shA b + ( 1 - v) A bchA bCm+ ( 1 - v) A bDm= 02Q + 6bS = 0( 10)由( 9) , ( 10) 二式可得17第 1 期 岳建勇等: 三边固定一边自由矩形板的精确解 Bm= -2 1 - v+ A bcthA b Cm-A b
7、 shA bDmEn= - ( 1+ BacthBa) HnQ = - 3bS( 11)( 4) 由边界条件( 3) 式5 w5yy= 0= 0 得6m= 1 ( Bm+ Cm) + DmchA b A cosA x +6n= 1( EnchBx + HnBxshBx) B+ R = 0将( 11) 中三式代入上式得6m= 1-1 + v 1 - v+ A bcthA b Cm+chA b -A b shabDmA cosA x+6n= 1 - ( 1 + BacthBa) HnchBx + HnBxshBx B+ R = 0将式中的chBx, BxshBx 在 - a, a 展成余弦级数,
8、并代入得6m= 1-1 + v 1 - v+ A bcthA b A Cm+chA b -A b shA bA Dm+6n= 1- 4B4a( A2+ B2)2shBacosmP HncosA x +6m= 1-2 ashBaHn+ R = 0上式应满足变量 x 的一切值, 故应有方程-1 + v 1 - v+ A bcthA b A Cm+chA b -A b shA bA Dm+6n= 1- 4B4 a( A2+ B2)2shBacosmP Hn= 06m= 1-2 ashBaHn+ R = 0( 12)( 5) 由边界条件( 4) 式 wx= a= 0 得6m= 1 BmshA y +
9、CmA ychA y + DmA ychA ( b - y) cosmP+ Qy2+ Ry + Sy36n= 1( EnchBa + HnBashBa) sinBy -q0 360Db( 3y5- 15y4b + 20b2y3) = 0将( 11) 中三式代入上式得6m= 1-2 1- v+ A bcthA b Cm-A b shA bDmshA y + CmA ychA y + DmA ychA ( b - y) cosmP+6n= 1- chBa -Ba shBaHnsinBy - 3bSy2+ Ry + Sy3-q0 360Db( 3y5- 15y4b + 20b2y3) = 0将式中的
10、shA y, A ychA y, A ychA ( b- y) , y5, y4, y3, y2, y 在 0, b 展成正弦级数, 并代入得6n= 16m= 11 1- v+A2A2+ B2cosnP Cm+A2A2+ B2Dm4B b( A2+ B2)shA bcosmP sinBy+6n= 1- chBa-Ba shBaHn-2cosnP BR+12 B3+4b2 BcosnP S sinBy=6n= 1q0 D-2b3 45BcosnP -2 B5bsinBy18青 岛 建 筑 工 程 学 院 学 报 第 20 卷上式应满足变量 y 的一切值, 故应有 6m= 11 1- v+A2A2
11、+ B2cosnP Cm+A2A2+ B2Dm4B b( A2+ B2)shA bcosmP+- chBa-Ba shBaHn-2cosnP BR+12 B3+4b2BcosnP S= -q0 D2b345BcosnP +2 B5b( 13)( 6) 由边界条件( 7) 式53w5y3+ ( 2- v)53w5x25 yy= b= 0 得6m= 1 ( v- 1) Bm+ ( 1+ v) Cm chA b+ ( 1+ v) Dm+ ( v- 1) CmA bshA bA3cosA x +6n= 1 ( 1- v) En+( 4- 2v) Hn chBx+ ( 1- v) HnBxshBx B3
12、cosnP + 6S+q0b 6D= 0将( 11) 中三式代入上式得6n= 1 ( 3- v) + ( v- 1) BacthBa chBx+ ( 1- v) BxshBx B3cosnPH n+6m= 1 ( 3+ v) + ( 1- v)A bcthA b chA b+ ( v- 1) A bshA bA3CmcosA x+6m= 1 ( 1- v) A bcthA b+ ( 1+ v) A3DmcosA x+ 6S+q0b 6D = 0将式中的chBx, BxshBx 在 - a, a 展成余弦级数, 并代入得 6m= 16n= 1( 3- v) + ( 1- v)A2- B2A2+
13、B22B4a( A2+ B2)shBacosmPcosnP HncosA x+6m= 1 ( 3+ v) + ( 1- v)A bcthA b chA b+ ( v- 1) A bshA b A3C mcosA x +6m= 1 ( 1- v) A bcthA b+ ( 1+ v) A3D mcosA x +6n= 12 aB2shBacosnPHn+ 6S+q0b 6D= 0上式应满足变量 x 的一切值, 故应有6n= 1( 3- v) + ( 1 - v)A2- B2 A2+ B22B4 a( A2+ B2)shBacosmP cosnP Hn+ ( 3 + v) + ( 1- v) A
14、bcthA b chA b + ( v - 1) A bshA bA3Cm+ ( 1 - v) A bcthA b + ( 1 + v) A3Dm= 06n= 12 aB2shBacosnPH n+ 6S +q0b 6D= 0( 14)当在挠度函数( 8) 中取第一个级数和第二个级数的项数都为 N 项时, 联立方程组( 12) 、 ( 13) 、( 14) 可得( 3N + 2) 阶线性方程组, 从而解得( 3N+ 2) 个待定系数 Cm、 Dm、 Hn、 R、 S, 将待定系数Cm、 Dm、 Hn、 R、 S 值代入方程组( 11) 中可得其他待定系数 Bm、 En、 Q 值, 至此得到挠度
15、函数( 8)中的全部待定系数值, 这样就可以得到板中各点的挠度值, 进而可求得各内力值.3 算例依据上述推导结果, 编制相应的 FORT RAN 语言计算程序作数值计算. 本文选取的级数也可用于求解均布荷载作用的情况, 同上面相比仅需稍作改动, 即将式中的 w*( x, y) 改为下式:19第 1 期 岳建勇等: 三边固定一边自由矩形板的精确解 w*( x , y) =1 24( y4- 2by3)同时将其余各式作相应的调整即可. 算例为一正方形薄板, 取泊松比v= 0. 3, 表 1、 表 2 分别为承受静水压力、 均布荷载作用的挠度值, 并同有限元结果进行比较.表 1 在x= 0 处各点的
16、挠度值( 10- 4q0b4D)y 坐标值级数所取的项数4681012有限元值11. 2731. 2721. 2711. 2711. 2711. 26723. 6623. 6593. 6573. 6563. 6553. 64535. 8635. 8565. 8535. 8515. 8505. 83447. 3417. 3337. 3287. 3257. 3237. 30458. 0067. 9977. 9917. 9877. 9847. 96467. 9877. 9807. 9747. 9707. 9677. 94777. 5097. 5097. 5067. 5027. 4997. 483 86. 8166. 8306. 8336. 8326
