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1、模糊集理论及其应用第二章 模糊映射与模糊数1第二章 模糊映射与模糊数2.1 一元模糊映射及其性质( P311)2.2 多元模糊映射及其性质( P1217)2.3 模糊数及其运算( P1829)3121822.1 一元模糊映射及其性质 2.1.1 一元经典扩展原理定义2.1.1 设U, V 为两个论域,则由映射 f :UV 可诱导出如下两个集值映射(i) f :P(U) P(V) A f(A)= f(u)u A.用特征值表示,有 f(A) (v) = f(u) = v A (u) , v V . (2-1-1)(ii) f -1 :P(V) P(U) B f -1 (B)= uUf(u)B .用
2、特征函数表示 ,有 f -1 (B) (u) = B (f(u) ) , u U . (2-1-2)我们称由(2-1-1)确定的集值映射 f 和由(2-1-2)确定的集值映射 f -1 为普通映射 f :UV 的经典诱导映射;而称式(2-1-1) 和式(2-1-2)为一元经典扩展原理;称 f(A) 为A 在 f 下的像,而 f -1 (B) 称为 B 在 f 下的原像, 如下图所示 目 录34例2.1.1 设U=V =(,),映射f : UV u f(u)= sin u .A=-1,1 P(U) , B = 0,1 P(V) , 则由式(2-1-1) 得f (A) = f ( -1,1 )=
3、- sin 1, sin 1 而由式 (2-1-2)f -1 (B)= f -1 ( 0,1 )= 2n, (2n+1/2) ,( n = 0, 1, 2, )目 录52.1.2 一元模糊扩展原理定义2.1.2 设U, V 为两个论域, f :UV 为普通映射，则由 f 可 诱导出如下两个模糊映射：(i) f :F(U) F(V) A f(A)其中 v V ，有目 录6通常称由式(2-1-3)和式(2-1-4)所确定的模糊映射 为Zadeh型函数. f(A)称为U 上的模糊集A 在 f 下的 像,而称f -1 (B)为V上的模糊集B在f 下的原像.如下图 所示 7例2.1.2 设U =u1,u
4、2, u3,u4, u5, V = a, b, c,d, 映射 f : UV 定义为(1) 当 u u1, u3时, f(u)= a ;(2) 当 u u2, u4, u5时, f(u)= c;又设 A=(0.9, 0.3, 0.8, 0.6, 0.7) F(U) , 试求 B= f (A) , f -1 (B).目 录8解: 因为f -1 (a)= u1, u3, f -1 (c) =u2, u4, u5, f -1 (b) =f -1 (d) =, 所以由式(2-1-3)得f (A)(a) = u f -1 (a) A(u)= A(u1)A(u3)= 0.90.8=0.9 .f (A)(b
5、) = 0, f (A)(d) = 0,f (A)(c) =u f -1 (c) A(u)= A(u2)A(u4)A(u5) = 0.30.6 0.7 = 0.7 .从而得 B = f(A)=(0.9, 0, 0.7, 0). 而由式(2-1-4)得f -1 (B)(u1)= B(f(u1)= B(a)=0.9f -1 (B)(u2)= B(f(u2)= B(c)=0.7f -1 (B)(u3)= B(f(u3)= B(a)=0.9f -1 (B)(u4)= B(f(u4)= B(c)=0.7f -1 (B)(u5)= B(f(u5)= B(c)=0.79所以f -1 (B)= (0.9, 0
6、.7, 0.9, 0.7, 0.7).由此可见, A f -1 (f (A). 此结论对于任一模糊映射都成立,即定理2.1.1 设f :F(U) F(V) 为模糊映射,则(1) A f -1 (f (A),且 f 为单射时,等号成立;(2) f (f -1 (B)B ,且 f 为满射时,等号成立.目 录10下面我们利用分解定理给出模糊扩展原理的几 种其它形式.定理2.1.2 (扩展原理) 设U, V 为两个论域, f 和 f -1 为由f :UV诱导的模糊映射, AF(U), BF(V), 则(1) f (A) = 0,1 f (A);(2) f -1(B) = 0,1 f -1(B);11定
7、理2.1.3 (扩展原理) 设U, V为两个论 域, f 和 f -1 为由f :UV诱导的模糊映射, AF(U), BF(V),则(1) f (A) = 0,1 f (As);(2) f -1(B) = 0,1 f -1( Bs).目 录12定理2.1.4 (扩展原理 )设U, V为两个论 域, f 和 f -1 为由f :UV诱导的模糊映射, AF(U), BF(V),则(1) f (A) = 0,1 f (HA() , 其中 HA()满足As HA() A , 0,1 ;(2) f -1(B) = 0,1 f -1(HB(), 其中 HB()满足Bs HB() B , 0,1 .132.
8、1.3 模糊映射的基本性质定理2.1.5 设f :F(U)F(V) 为模糊映射 ,At | tT F(U), 则(1) f (tT At ) = tT f (At ) ;(2) 若A, B F(U)且A B, 则 f (A) f (B) ;(3) f ( ) = ;(4) f (tT At ) tT f (At ) .目 录14证明: (1) vV, 若f -1(v) = , 由定义2.1.2知 f (tT At )(v) = 0, 且 tT , f (At )(v) =0, 从而( tT f (At )(v) = tT f (At )(v)=0 . 于是等式成立. 若f -1(v) , 则由
9、式(2-1-3)知f ( tT At )(v) = f(u)=v ( tT At )(u) = f(u)=v tT At (u)= tT f(u)=v At (u)= tT f (At )(v)= (tT f (At )(v)从而有f ( tT At ) = tT f (At ) .15定理2.1.6 设f :F(U)F(V)为模糊映射, AF(U), 0,1 , 则(1) f (As)=f (A)s ;(2) f (A)=f (A)当且仅当vV , u0U, s.t. f (A)(v)= A(u0).证明: (1) vV, 有v f (A)s iff f(A)(v) iff uf -1 (v
10、) A(u) iff u0U ,s.t. f (u0)= v 且 A(u0)iff u0U ,s.t. f (u0)= v 且 u0 Asiff vf (As). f (As)=f (A)s 目 录16注2.1.1: 一般说来, f (A)=f (A)不成立.例2.1.3 设U=V=0,1, f :UV定义为取AF(U),使A(u)=1u (uU ),则vV, 由定义2.1.2知取 =1,则f (A) =0,1,但f (A1)=f (0)=0,故 f (A)1 f (A1).17定理2.1.7 设f -1 :F(V) F(U) 为由f :UV诱 导的模糊映射, Bt | tT F(V), 则(
11、1) 保空性: f -1( ) = ;(2) 保序性: 若B , G F(V)且B G ,则 f -1(B) f -1(G) ;(3) 保并性: f -1( tT Bt ) = tT f -1(Bt ) ;(4) 保交性: f -1( tT Bt ) = tT f -1(Bt ) ;(5) 保逆合性: 若BF(V) , (f -1(B)= f -1(B) .目 录18定理2.1.8 设f -1 :F(V)F(U) 为由f :UV诱导 的模糊映射 , BF(V),则(1) f -1(B) = f -1(B) ;(2) f -1(B)s = f -1(Bs) ;证明: uU,有 u f -1(B)
12、 f -1(B)(u) B(f (u) f (u)B u f -1(B ) f -1(B) = f -1(B ) 即(1)成立.同理可证(2)也成立.192.2 多元模糊映射及其性质2.2.1 二元扩展原理定义2.2.1 设AiF(Ui) (i=1,2,n), 则A1, A2 , An的Descartes乘积,记作目 录20定义2.2.2 设U1, U2, V为三个论域 , f :U1U V为二元普通映射,则由 f 诱导的二元模糊 映射 f : F(U1)F(U2)F(V)(A1, A2) f (A1, A2) 的隶属函数为 v V21定理2.2.1 (二元扩展原理) 设f : F(U1)F(
13、U2)F(V)为二元模糊映射, 则 (A, B) F(U1)F(U2), 有 f (A, B)= 0,1 f (A, B);22定理2.2.2 (二元扩展原理)设f : F(U1)F(U2)F(V)为二元模糊映射, 则 (A, B) F(U1)F(U2), 有 f (A, B)= 0,1 f (AS, BS);目 录23定理2.2.3 (二元扩展原理)设f : F(U1)F(U2) F(V)为二元模糊映射, 则(A, B) F(U1)F(U2), 有 f (A, B)= 0,1 f (H1(), H2()其中Hi()(i=1,2)满足条件AS H1() A , BS H2()B24定理2.2.
14、4 设f : F(U1)F(U2)F(V)为由f :U1U2V诱导的模糊映射, 0,1 则(1) f (A, B )S = f (AS, BS);(2) f (A, B) = f (A, B), 当且仅当vV , (u1, u2 ) f -1(v) , s.t. f (A, B)(v)= A(u1) B(u2).252.2.2 实数论域上模糊集的二元运算下面我们利用二元扩展原理构成实数论域上模糊集合的 加,减,乘,除,取大和取小六种二元运算.为此,设L=, , 为算子集, 为 L的任一算符,则 可视为二元 映射 : RR R (x, y) x y根据二元扩展原理,可将算符 扩展到 F(R ) 中去,即定义2.2.3 设 : F(R )F(R )F(R )为由 : RR R诱 导的二元模糊运算, A, BF(R ),则A B = 0,1 (A B)其中A B=
