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1、 数列知识题型汇总数列知识题型汇总老师：宋老师老师：宋老师 联系方式：联系方式：13484523124 18091012905数列中知识点比较多，大体的思想有 3 个： 1.方程思想方程思想无论是等差还是等比数列，其实无非只含有 2 个未知数，以等差而言 a1 和 d 所以一般这类题型比较常规的方法，就是建立方程组，解方程，进而求出这个数列的通项。但是这类方法的局限性在于，已知条件中给出数列中的几项或者，某几项之间的关系。 2.函数思想函数思想 大体有以下几个方面。在通项中的增减性的问题，往往不会给一个一直增或者减的数列。 这类题型的数列都是有区间的。所以就有了数列中的最大项或者最小项的说法，
2、其实也就 等价于前 n 项和的最值问题，这也是我下面要说的，数列中的最值往往只考察等差数列， 因为我们都知道等差数列的 Sn 解析式是一个 2 次函数（点性函数） ，因此我们可以转化为 求 2 次函数的最值，最想用的就是图形结合，往往可以达到事倍功半的效果 例如：已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn 中，S3=S9，那么 Sn 的最值出现在第几项 A5B6 C 4 D 7 图形 word 中不好画，我就不画了，S3=S9 通过图形可以简单的得出 n=6 是 2 次函数 Sn 的 对称轴，也就是说在 n=6 的时候，Sn 取到最值。 注：这里 S3=S9 正好 3+9=12 是一个偶数，我们
3、可以直接得出对称轴是 6，那么如果不是 偶数会怎么样？比如说 S4=S9 得出对称轴是 6.5，大家可以想一想。 3.分类讨论思想分类讨论思想 数列中一旦遇到等比数列前 n 项和，但是没告诉公比的时候，首先我们要考虑的是 q=1 的 情况，或者已知等差数列 Sn，求 an 的时候，首先要考虑的应该是 n=1 的情况 上面所说的就是，数列比较重要的几个思想，这是我们做题的基础，必须掌握运用，下来 我们说说数列中经常遇到的问题 一，数列通项公式的求法一，数列通项公式的求法 1.观察归纳法观察归纳法所谓观察法，就是说这个数列可以明确的通过几项，观察得出这个数列的特征进而，推到 出 an 的公式 比如
4、：数列 1,3,5,7,9.。 。 。 。 。 。 。 我们就可以得出 an=2n-1数列 3,5,7,9.。 。 。 。 。 。 。 。我们可以得出 an=2n+1 为什么要举出这 2 个例子，大家也可以看出如果数列首项不一样，大家也可以看出如果数列首项不一样，an 也会有相应的变化，也会有相应的变化， 这也是同学经常会出错的地方，所以大家遇到基础，简单的题更要慎重。不能犯错这也是同学经常会出错的地方，所以大家遇到基础，简单的题更要慎重。不能犯错 有些数列，规律其实很明显，但是要我们去整理 例如 2,5/2,10/3,17/4. 咋一看规律不明显，但是除过第一项其他都是分数，而且是假分数，我
5、可以尝试的吧它化 成带分数看看，化简后数列变为：2,2+1/2,3+1/3,4+1/4.这样就很明显 下面要说的是 2 种比较特殊的数列 第一：（第一：（-1）nn 这类数列中简单的就像：1，-1,1，-1.。 。 -1，1，-1,1.。 。 。 形如上面数列，规律性出现正负分割的局面的数列往往都包含（-1）n，这里有一个问题要注意，也是经常出错的地方，就是-1 的次幂问题，一定要注意数列的首项的正负，这是 决定次幂的关键。有的数列中不出现正负交替的现象但是它也含有（-1）n 例如： 1，0，1,0.。 。 所以这种特征很明显的数列，就是规律性出现相同项的我们首先要考虑的就是（-1）n 当 然
6、也可以用分段来表示 第二：第二：9,99,999,99999,99,999,9999。 。 。 。 。 这类数列,其实就是：10-1,100-1,1000-1。 。 。所以他的通项就是 10n-1 那么数列：4,44,444,4444。 。 。它的通项呢？ 我们可以把 9 这类的数列写成一个通式那就是 an=x(10n-1)/9 x 属于自然数 2.2.定义法定义法 这类数列，往往题设已经告诉你是等比或者等差数列，然后求它的通项，这个比较简单也 是我们前边说过的第一种思想解法已经某几项，然后求这个数列的通项，直接用等差等比 数列的定义列出方程，解出未知数，这个不多说 3.3.公式法公式法 所谓
7、公式法，适合于已经条件中，没有明确给出数列 an 的性质，只给出 Sn 的一个通项公 式，然后求 an n=1 an=S1=a1 An=n=2 an=Sn-S(n-1) 这个公式，要注意的是这个公式，要注意的是 不能忽略不能忽略 n=1n=1 的情况，然后就是当的情况，然后就是当 n n 大于等于大于等于 2 2 的时候，解出来的的时候，解出来的 anan 要把要把 n=1n=1 的情况带进去看一看是不是满足，满足的话和在一起，不满足的话分开写的情况带进去看一看是不是满足，满足的话和在一起，不满足的话分开写 4.4.递推法递推法 （1 1）递推公式一：递推公式一：A(n+1)=An+f(n)A
8、(n+1)=An+f(n) 这类题型我给出 2 种解决方法 所谓的递推公式，是一种递推关系，所以我就可以把 An 表示出来 得出 An=A(n-1)+f(n-1) 带入到公式中 得出 A（n+1）=A（n-1）+f（n-1）+f（n）同理也可以吧 A（n-1）表示出 来带入上面的式子，n-3，n-4 都是一样的 所以最终就得出 A（n+1）=A1+f（1） +。 。 。+f（n） 方法 2：这种方法叫累加法 A（n+1）-An=f（n）An-A(n-1)=f（n-1） 同理可以退出其他的，然后把等式左边加在一起，右边加在一起得出 A（n+1）-A1=f（1） +。 。 。+f（n） 进而得出
9、A（n+1）=A1+f（1）+。 。 。+f（n） 课堂随练：已知数列 an 中，a1=1/2，a(n+1)=an+1/(n2+n) 求 an (2)(2)递推公式二：递推公式二：A(n+1)=An*f(n)A(n+1)=An*f(n) 这类题型我给出 2 种解决方法 方法 1：递推法A(n+1)=An*f(n)=A(n-1)*f(n-1)*f(n)=.=A1*f(1).*f(n) =An=A1*f(1).*f(n-1) 方法 2：累乘法A(n+1)/An=f(n) An/A(n-1)=f(n-1) A(n-1)/A(n-2)=f(n-2). A2/A1=f(1) 左边相乘，然后右边相乘 得出
10、 A（n+1）/A1=f(1)*.*f(n)= An=A1*f(1).*f(n-1) 课堂随练：已知数列 an 中 a1=2/3 a(n+1)=n/(n+1)an 求 an （3 3）递推公式三：递推公式三：A(n+1)=pA(n+1)=p An+qAn+q （qp(p-1)qp(p-1)不等于不等于 0 0） 这类题型我给出 3 种解决方法 方法 1：待定系数法 令 A(n+1)-t=p(An-t) 展开后跟题设给出的是一个表达式，根据对 应项系数相等得出 t=q/(1-p) 所以由 A(n+1)-t=p(An-t) 可以得出 数列An-t是一个以 A1-t 为首项，公比为 p 的等 比数列
11、 所以 An-t=（A1-t）*p(n-1) =An=A1p(n-1)+q/(1-p)*p(n-1) 方法 2：作差法A(n+1)=p An+q - An=p A(n-1)+q - - = A(n+1)-An=pAn-A(n-1)- 由 我可以得出 数列 A(n+1)-An是以首项为 A2-A1 公比为 p 的等差数列 所以 A(n+1)-An=(A2-A1)*p(n-1) 带入中得出 An=A1p(n-1)+q/(1-p)*p(n-1) 方法 3：递推法A(n+1)=p An+q=pp A(n-1)+q+q=ppp A(n-2)+q+q+q=.=pn A1+p(n- 1)*q+.+p*q+q
12、 =pn A1+q/(1-p)*pn =An=A1p(n-1)+q/(1-p)*p(n-1) 课堂随练 已知数列an a1=1 a(n+1)=2an+3 求 an （4 4）递推公式四）递推公式四 A(n+1)=p9An/(q*An+r)A(n+1)=p9An/(q*An+r) p,qp,q 不等于不等于 0,p0,p 不等于不等于 r r 一般方法 等式两边去倒数：1/A(n+1)=(q*An+r)/p*An=q/p+r/p*(1/An) 这个式子仔细观察就是我们讲过的递推公式 3 方法我不多讲 课堂随练：已知数列an a1=3/5 a(n+1)=3an/(2an+1) 求 an （5 5）
13、递推公式五）递推公式五 A(n+1)=p*An+r*qnA(n+1)=p*An+r*qn p p，q q 不等于不等于 0,10,1 一般方法：等式两边同除以 qn 得出 A(n+1)/q(n+1)=(p/q)*(An/qn)+r/q 设 Bn=An/q = B（n+1）=p*Bn/q+r/q 就是我们讲过的递推公式 3 方法不多讲 课堂随练： 已知数列an ，a1=5/6 a(n+1)=an/3+(1/2)(n+1) 求 an （6 6）递推公式六）递推公式六 A(n+2)=p*A(n+1)+q*AnA(n+2)=p*A(n+1)+q*An p,qp,q 为常数为常数 这类题型很麻烦，不太常
14、考，经常用到的方法还是待定系数法 令 A(n+2)-sA(n+1)=tA(n+1)-sAn展开得出 s+t=p s*t=-q 很明显 s，t 就是方程 x2-px-q=0 的 2 个根，这里就不解这个方程，具体题型自己去解 然后就可以得出 数列A(n+1)-sAn是以 A2-sA1 为首项，公比为 t 的等比数列 A(n+1)-sAn=（A2-sA1）t(n-1) =A(n+2)-sA（n+1）=（A3-sA2）tn 带入给出的解析式中可以消除 A（n+2）得到一个 递推公式三的递推公式，然后用讲过的方法在解出来 课堂随练 数列an a1=1 a2=2 a(n+2)=2a(n+1)/3+an/3 求 an
