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1、m 序列及相关理论分析摘要 ：本文阐述了常用伪随机序列m 序列的产生方法，对其自相关性和互相关性等主要性质进行简要分析。关键字 ：m 序列；伪随机序列；相关性；m code sequenceandrelevant theory analysesAbstict : This paper expounds the generation method of commonly used pseudo-random sequence: m sequence and carries the brief analys on auto correlation mutual correlation.Keywor
2、ds :m sequence; pseudo-random sequence; correlation1 引言在通信系统中，随机噪声会使数字信号出现误码和使模拟信号产生失真和，而且随机噪声也是限制信道容量的一个重要因素。因此人们经常希望消除或减少通信系统中的随机噪声。另一方面，在实际需要时人们产生随机噪声并利用随机噪声。例如，在实验室中可能要故意加入一定的随机噪声对通信设备或系统的各个性能指标进行测试。又如通过利用掺入随机噪声来提高通信的可靠性。为了满足上述实际应用要求，则需要产生满足对应要求的随机噪声信号。实际中，难以重复产生和处理随机噪声是利用随机噪声的最大困难。2 m 序列的产生m 序列
3、又称伪随机序列、伪噪声码(PN)或伪随机码。其中：确定序列是可以预先确定并且可以重复实现的序列；随机序列是既不能预先确定又不能重复实现的序列；伪随机序列是不能预先确定但可以重复产生的序列。m 序列（全称：最长线性反馈移位寄存器序列）是最为常用的一种伪随机序列。m 序列是由带线性反馈的移位寄存器产生的序列，并且具有最长的周期。由 n级串接的移位寄存器和对应级别的反馈逻辑电路可组成动态移位寄存器，如果反馈逻辑线路只用线性模2 和构成，那么就称此寄存器为线性反馈移位寄存器；但是反馈逻辑线路中出现如“与”、“或”等运算，那么称此寄存器为非线性反馈移位寄存器。线性反馈逻辑的移位寄存器设定初始状态后，在时
4、钟促使下，每次移位后各级的寄存器状态就会发生移位改变状态。整个系统中的每一级寄存器都会随着时钟节拍的推移输出一个序列，该序列成为移位寄存器序列，以下图1 所示的 5 级移位寄存器为例，图中线性反馈逻辑服从一下递归关系：52nnnaaa（1）图 1 一种 5 级移位寄存器由图中可知：将第二级移位寄存器的输出和第五级移位寄存器的输出经过模2 和运算后反馈到第一级的输入中。假设这 5 级移位寄存器的初始值为00001，第 1、2、3、4 级移位寄存器存储值为0，第五级存储值为1。在移位时钟节拍的作用下，各级移位寄存器的输出状态转移流程图如下表1所示。经过 31 个时钟后，第31 节拍移位寄存器的状态
5、与第0 拍的状态 (初始状态 )相同，因而再经过一个时钟之后，从第 32 拍开始，移位寄存器必定重复第1 至第 31 拍的过程。这说明该移位寄存器的状态具有周期性，其周期长度为31。如果从第 5 级输出，选择1000 为起点，便可得到如下序列：表 1 m 序列发生器状态转移流程图移位时钟节拍an-1an-2an-3an-4an-5an= an-2+an-50000011110000020100003101000401010151010116110101711101080111019101111101101101101101012001100130001111410001115110001 an
6、-1an-2an-3an-4an-5+an输出16111001171111011811111019011110200011112110011122110010230110012410110025010110260010112710010028010010290010003000010031000011由上表可以发现，对于具有5 级的移位寄存器共有25-1= 31 种不同的状态。上述序列中出现了除全0 以外的所有状态，因此上述序列即为可能得到的最长周期的序列。因此具有上述具体线性反馈的移位寄存器的只要移位寄存器不是全 0 的初始状态，就能得到最长周期的序列。其实，从任何一级寄存器输出所得到的都是
7、周期为31 的序列，只是这些序列的节拍不同而已，但是这些序列都是m序列即最长线性反馈移位寄存器序列。带有线性反馈的移位寄存器周期长短由寄存器的级数、线性反馈逻辑电路和初始状态三种因素决定。但在产生最长周期的序列时，关键要有合适的线性反馈逻辑而且还要求初始状态非全0 即可。n 级线性反馈移位寄存器如图2 所示。图 2 中 Ci 表示反馈线的两种可能链接状态，Ci=0 表示连线断开，第n- i 级输出未加入反馈； Ci=1 表示连线接通，第n- i 级输出加入反馈中。一般形式的线性反馈逻辑表达式为：)2(mod102211inniinnnnaCaCaCaCa（2）an-1an-2an-3a1a0C
8、1+C2+C3+Cn-1+.ananC0=1an-1an-2an-3a1a0输出Cn=1图 2n 级线性反馈移位寄存器将等式左边的an移到右边，并将an=C0an(C0=1)代入式（2） ，则式可改写为inniiaC00（3）定义一个与式（ 3）相对应的多项式iniixCxF0)(（4）其中 x 的幂次表示元素相应的位置。上式成为线性反馈移位寄存器的特征多项式。特征多项式与输出序列的周期有密切关系。可以证明，当F(x)满足下列三个条件就可以确定产生 m 序列：（1）F(x)是不可约的，即不能再分解因式；（2）F(x)可整除1px,这里12pp，n 是移位寄存器的位数， p 是 m 序列周期；（
9、3）F(x)不能整除1px，这里pq。满足上述条件的多项式成为本原多项式。如表2 所示为各级的本原多项式系数。表 2 本原多项式系数n本原多项式系数的八进制表示代数式2712xx31313xx42314xx545125xx610316xx7211137xx843512348xxxx91021149xx1020111310xx当12nN为素数时， 由Nx1分解出的所有的级数为r 的不可约多项式均为m 序列的特征多项式。在这一部分，将给出由Nx1分解出的级数 r 的不可约多项式的条数N1和能产生 m 序列的特征多项式的条数Nm。由唯一分解定理可知，任一个大于1 的正整数 n 都可以表示为素数的乘积
10、，即i ikipn 1，式中，ip 为素数；i是正的幂数。不难求出一个求 r 次不可约多项式个数的普遍公式mjpprmipr mjii rN1/1/22212)(221/1/mjipppmmmkjppr（5）表 3m 序列长度、不可约多项式个数和m 序列的条数级数 r2r-1NmN121113322415665316966381871271630825548569511609910102360993 m 序列性质m 序列具有非常优良的数字理论特性，这是它能够得到广泛应用的根本原因，m 序列既具有一定的随机性，由具有确定性（周期性），以下为他的主要理论特性：3.1 均衡性序列中 1 和 0 个数
11、具有均衡性， 即在每个周期12nT内，0出现121n次，1 出现12n次。周期12nT的 m 徐磊，是由n 级线性反馈移位寄存器产生的，其反馈逻辑是 （112nX）型二项式的本原多项式。这个多项式就是该线性移位寄存器的状态变换矩阵T 的特征多项式， 而且满足112nX，这就表明，该反馈线性移位寄存器的状态经过12n次变换后回到初始状态，完成一个循环周期，在这12n次变换中，恰好遍历了除“全0”之外的全部12n种状态。3.2游程在一个序列中连续出现的相同码成为一个游程，连码的个数成为游程的长度。M 序列中共有12n个游程， 其中长度等于i的游程占游程总数的21 ,2/1nii，此外，还有一个长为
12、 n 的 1 游程和一个长为n-1 的 0 游程。3.3循环相加性若某个 n 级线性反馈移位寄存器产生的m 序列，根据它的反逻辑可以写出xp 序列ipriipxcx1)2(（6）当然也有 ipx ipriipxcx1)2(（7）其中rici,2, 1,是各级的反馈系数。现求其模2和)( 1)2(ipipirippxxcxx（8）其中符号ri 1)2(表示模 2 加。 可见，ppxx 与px是具有相同反馈逻辑的m 序列， 只是出相不同。 因此，一般地可以表示为lxxxlppp,（9）这个性质，称为 m 序列的循环相加性， 用文字来表述是：m 序列 px与其循环移位序列px 的模 2 和，必为此序
13、列的另一个循环移位序列lpx，生成后的 m 序列可以看做是原 m 序列经过延时后的结果。3.4 优良的自相关特性为了产生实际中的波形和利于数学处理，常常采用的是m 序列的双极性形式，即 1 , 1im，这里ami21。m序列的自相关函数的数学表达式Tk TTkRmm1)(1)(（10）其中 0,00,1)(kkk可以看出， 若区多个周期， 则0k时，m 序列的归一化自相关函数值为1，其余时刻时值为T1。如下图 3 图 3 m 序列的自相关函数由此可得到单极性m 序列和双极性m 序列的自相关函数规律：（1）m 序列的单极性和双极性的自相关曲线在t=0处都有一个尖峰， 其他处的值很小； （2）双极
14、性 m 序列的自相关曲线具有更为良好的特性；（3）由于自相关函数具有类冲激性质，则其功率谱具有更宽的值，类似于白噪声。3.5 互相关特性对于周期性函数)()(21tStS和，若二者周期均为T，则互相关函数dttStSRT )()()(201（11）互相关系数dttStS TT )()(1)(201（12）如果)()(21tStS和的周期不同，例)(1tS的周期为1T 和)(2tS的周期为2T,则二者的互相关函数dttStSRTT )()()(20121 （13）互相关系数dttStS TTTT )()(1)(201 2121（14）对于周期性二进制序列，如果na的周期为1p ，nb的周期为2p
15、 那么它们的互相关函数nppnnbaR,121 )(（15）互相关系数nppnnba pp,12121,1)(（16）式中,21pp表示21, pp最小公倍数。对于有 1 和 0 构成的两个二进制序列，其相关函数DAR)(（17）相关系数PDADADA)(（18）式中 A 表示两序列对应元素相同的个数，即模2 加后 0的个数； D 表示两序列对应元素不同的个数，即模2 加后 1的个数； P表示相关元素总数，即P=A+D 。两个周期分别为1p 和2p ，且1p 和2p 互素的 m 序列之间的互相关函数是一个常熟，即211pp，如果这个常熟很小，那么不大严格地说，这两个序列是正交的。同理，这两个波
16、形也是正交的。3.6功率谱密度我们知道，信号的自相关函数和功率谱密度构成一对傅里叶变换。 可直接对式 （10）进行傅里叶变换来求m 序列的功率谱，但是为了方便，可表示为如下形式)()()(21（19）上式的傅里叶变换为)()()(21)(1)2()2(12ppTnTSppnbb a)(1)2() 2(1220ppTnTS ppnnbb a（20）式（19）中，p 为 m 序列的周期，Tb为码元周期，)(为)(的傅里叶变换，)(1为)(1的傅里叶变换，)(2为)(2的傅里叶变换。m 序列的功率谱具有如下特点：（1）功率谱为线状谱，谱线间隔为bpT2 0。（2）谱线包络以) 2(2b aTS规律变换。（3）直流分量强度与序列周期平方称反比。（4）功率谱带宽取决于码元周期。4 结束语伪随机噪声具有类似于随机噪声的某些统计特性，同时又能够重复产生。由于它具有随机噪声的优点，又避免了随机噪声的缺点， 因此 m 序列是目前广泛应用的一种伪随机序列，其在通信领域有着广泛的应用，如扩频通信，卫星通信的码分多址，数字
