《全国通用版2019版高考数学总复习专题五立体几何5.2异面直线所成的角与点线面位置关系判断精选刷题练理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用版2019版高考数学总复习专题五立体几何5.2异面直线所成的角与点线面位置关系判断精选刷题练理（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、15.25.2 异面直线所成的角与点、异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断线、面位置关系判断命题角度 1 两条异面直线所成的角 高考真题体验对方向 1 1.(2018 全国9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成3角的余弦值为( )A.B.C.D.1 55 65 52 2答案 C解析以DA,DC,DD1为轴建立空间直角坐标系如图,则D1(0,0,),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,).33=(-1,0,),=(1,1,).设异面直线AD1与DB1所成的角为.cos =1313.|11|1|1|=|2 2 5|=5 5
2、异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.5 522 2.(2017 全国10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线 AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.3 215 510 53 3答案 C解析方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM, 可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角. 由题意可知BC1=,AB1=,25则MN= AB1=,NP= BC1=.1 25 21 22 2取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知PQM为直角三角形.在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos
3、ABC=4+1-221=7,即AC=.(-1 2)7又CC1=1,所以PQ=1,MQ= AC=.1 27 2在MQP中,可知MP=.2+ 2=11 2在PMN中,cosPNM=-,2+ 2- 22=(5 2)2+(2 2)2-(11 2)22 5 22 210 5又异面直线所成角的范围为,(0, 2故所求角的余弦值为.10 5方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图, 连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为BC1D. 由题意可知BC1=,23BD=,C1D=AB1=.可知B+BD2=C1D2,22+ 12- 2 2 1 60= 3521所以 cosB
4、C1D=,故选 C.25=10 53 3.(2016 全国11)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面 ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A.B.C.D.3 22 23 31 3答案 A 解析(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1. 平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1. B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角, 即B1D1C等于m,n所成的角. B1
5、D1C为正三角形,B1D1C=60,m,n所成的角的正弦值为.3 2(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面, m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角 形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值为.3 24 4.(2017 全国16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC 所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线AB与a成 60角时,AB与b成 30角; 当直线AB与a成 6
6、0角时,AB与b成 60角; 直线AB与a所成角的最小值为 45; 直线AB与a所成角的最大值为 60. 其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 答案 解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由ACa,ACb,得AC圆锥底面,在底面内可以过点B,作BDa,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则 DEBD,DEb.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成 60角时,24ABD=60,故BD=.又在 RtBDE中,BE=2,DE=,过点B作BFDE,交圆C于点F,连22接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,2ABF为等边三角形,ABF=60,即AB与
7、b成 60角,正确,错误.由最小角 定理可知正确;很明显,可以满足直线a平面ABC,直线AB与a所成的最大角为 90, 错误.故正确的说法为.新题演练提能刷高分1 1.(2018 百校联盟全国联考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形, AB=2,BAD=60,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,F,F分别为PD,CD的中点,则 异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )A.B.C.D.1 33 41 47 10 答案 B解析如图,取AD的中点O,连接OP,OB,由题意可得PO平面ABCD.在AOB中,OA=1,AB=2,OAB=60,则由余弦定理得OB=,所以OBAD,
8、3因此可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),E -,0,B(0,0),F -,0 ,1 23 233 2,3 2= -,0,= -,-,0 ,3 23 23 23 2cos=,异面直线AB和CD所成角的余弦值为 ,故选 D.,|=1 41 43 3.(2018 贵州凯里模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为 1 的正方形,若其外 接球的表面积为 16,则异面直线BD1与CC1所成的角的余弦值为 . 答案14 4解析设外接球的半径为R,则 4R2=16,解得R=2,设长方体的高为x,则x2+12+12=(2R)2=16,故x=,在 RtBDD1中
9、,DD1B即为异面直线所成的角,其余弦值为.1414 44 4.(2018 四川乐山半期联考)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别为AB,AC,CD中点,且 AD=BC=2,EG=,则异面直线AD与BC所成的角的大小为 . 3答案 60 解析由三角形中位线的性质可知EFBC,GFAD,则EFG或其补角即为所求,由几何关系有EF= BC=1,GF= AD=1,1 21 26由余弦定理可得 cosEFG=-,则EFG=120,所以异面直线AD12+ 12- ( 3)2 2 1 11 2与BC所成的角的大小为 180-120=60.5 5.(2018 安徽淮南、宿城联考)在如图所示的三棱锥P-
10、ABC中,PA底面ABC,ABAC,D是PC 的中点.AB=2,AC=2,PA=2.则异面直线PB与AD所成角的余弦值为 . 3答案2 4解析如图所示,建立空间直角坐标系A-xyz, 则B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,1),33=(0,1),=(2,0,-2),cos=,故答案3,|=2 4 8=2 4为.2 46 6.(2018 安徽、山西等五省六校联考)如图 1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是DC的中点;如 图 2,将DAE沿AE折起,使折后平面DAE平面ABCE,则异面直线AE和DB所成角的余弦值 为 . 答案6 6解析取AE的
11、中点为O,连接DO,BO,延长EC到F使EC=CF,连接BF,DF,OF,则BFAE,所以DBF或它的补角为异面直线AE和DB所成角.7DA=DE=1,DOAE,且|AO|=|DO|=,在ABO中,根据余弦定理得 cosOAB=cos 2 245=.|2+ |2- |2 2|=2 2|BO|=.同理可得|OF|=.10 226 2又平面DAE平面ABCE,平面DAE平面ABCE=AE,DO平面DAE,DO平面ABCE.BO平面ABCE,DOBO,|BD|2=|BO|2+|DO|2=3,1 2+5 2即|BD|=,同理可得|DF|=.37又BF=AE=,在DBF中,cosDBF=-2|2+ |2
12、- |2 2|=3 + 2 - 7 2 3 2,6 6两直线的夹角的取值范围为 0, 2异面直线AE和DB所成角的余弦值为.6 6命题角度 2 空间位置关系的综合判断 高考真题体验对方向 1 1.(2018 全国12)已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等, 则截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.B.C.D.3 3 42 3 33 2 43 2答案 A 解析满足题设的平面可以是与平面A1BC1平行的平面,如图(1)所示.图(1)再将平面A1BC平移,得到如图(2)所示的六边形.8图(2)图(3)设AE=a,如图(3)所示,可得截面面积为S= (1-a)+a+a2-3
13、(a)2(-2a2+2a+1),所以当a=时,1 22223 21 223 2=3 21 2Smax=.3 2(- 2 1 4+ 2 1 2+ 1)=3 3 42 2.(2015 安徽5)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若,垂直于同一平面,则与平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线 D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 答案 D 解析 A 选项,可能相交;B 选项m,n可能相交,也可能异面;C 选项若与相交,则在内平行于它们交线的直线一定平行于;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行, 可知 D
14、 选项正确. 3 3.(2016 全国14),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: 如果mn,m,n,那么. 如果m,n,那么mn. 如果,m,那么m. 如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 答案 解析对于,若mn,m,n,则,的位置关系无法确定,故错误;对于,因为n,所以过直线n作平面与平面相交于直线c,则nc.因为m,所以mc,所 以mn,故正确;对于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义 和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有. 新题演练提能刷高分 1 1.(2018 福建厦门期末)若m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正 确的是( )9A.若,m,则m B.若m,nm,则n C.若m,n,m,n,则 D.若m,m,=n,则mn 答案 D 解析选项 A 中,m与的关系是m或m,故 A 不正确;选项 B 中,n与的关系是n或n与相交但不垂直或n,故 B 不正确; 选项 C 中,与之间的关系是或相交,故 C 不正确; 选项 D 中,由线面平行的性质可得正确.故选 D. 2 2.(2018 湖北重点高中协作体期中)已知直线l,m,平面
