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1、中央电大中央电大经济数学基础经济数学基础教学建议教学建议李木桂(广东电大经济数学责任教师)经与中央电大责任教师联系，以后试题将与 2007 年 1 月试题结构一样，重点相同。由于单项选 择题与填空题涉及知识面较宽，下文仅略作介绍，重点放在计算题与应用题上。下面结合沟通的结 果，按各章顺序提出教学建议：微分学第微分学第 1 章章 函数函数 考试知识点考试知识点：定义域，经济函数，函数值，已知复合函数求原来函数，判断函数异同，函数的 奇偶性 1、定义域定义域 求定义域主要围绕以下几个方面考虑：有分式时，其分母不为 0；有对数 时，其真数大于 0；有开平方时，平方根内的表达式非负。 注意：定义域通常
2、用区间表示。 2、经济函数经济函数 （1）对于需求函数，要求能由需求函数写出价格函数。 （2）对于成本函数， 在给定固定成本和单位变动成本时，能写出成本函数；其它类型的成本函数通常是直接给出的。 （3）在已知成本函数时能写出平均成本函数。 （4）收入函数=价格销售量，在给出价格（或需求 函数）时，能写出收入函数。 （5）利润函数=收入函数-成本函数，能写出利润函数。如： 某企业生产一批产品，其固定成本为 2000 元，每生产一件产品的成本为 60 元，这种产品的需求函数为 q=1000-10p（q 为需求量，p 为价格） ，求成本函数，收入函数和利润函数。 解：成本函数 C(q)=2000+6
3、0q(元) 从需求函数可得价格函数 p=100-0.1q 收入函数 R(q)=pq=100q-0.1q2(元) 利润函数 L(q)=R(q)-C(q)=40q-0.1q2-2000(元) 3、函数值函数值 包括初等函数和分段函数的函数值。 4、由复合函数求原来函数由复合函数求原来函数 如：已知，求 f(x)2(2)3f xxx解法一（特殊解法）22( )(2)2(2)3(2)2f xfxxxxx解法二（配方法）222(2)3(2)443(2)(2)2f xxxxxxxx2( )2f xxx解法三(代换法)设 x+2=t ,则 x=t-2，代入得2(2)3f xxx222( )(2)3(2)2,
4、( )2f tttttf xxx 5、判断函数异同判断函数异同 只有当函数定义域及对应规则两要素都相同时，它们才是相同的。 6、函数的奇偶性函数的奇偶性 首先要记住定义；其次是记住一些常见的奇、偶函数，并利用奇、偶函数的四则运 算来判断奇偶性。常见奇函数：等；323,sin ,tan ,cot ,ln(1)xxx xxxxx aaxx常见偶函数：等（其中 C 是常数） 。22,cos ,()xxc xx aaf x如是非奇非偶函数；是偶函数；是奇函数。31yx ()xxyx eecosyxx注意：经济函数中的成本函数、收入函数及需求函数、平均成本函数是本课程的重点内容，要切实理解。基 本初等函
5、数主要掌握定义，复合函数分解主要是为求导数作准备的，同样需要切实掌握。微分学第微分学第 2 章章 极限、导数和微分极限、导数和微分 考试知识点考试知识点：极限计算，复合函数求导或微分，切线方程，切线斜率，二阶导数，无穷小量， 导数值本章重点：复合函数求导（计算题 10 分） 。 1、极限的计算极限的计算 只需考虑可能在单项选择题或填空题中出现的简单情形。 极限的计算侧重掌握因式分解法、有理化法及利用两个重要极限计算的方法。 （1）类型：通常是化为无穷小来计算，即有分式时，分子、分母同时除以最高次幂；x 或利用第二个重要极限来计算。lim(1)xkxkex（2）类型：当没有分母或分母极限不为 0
6、 时，可利用连续性，直接将 x0代入；当分母极限为 0 而0xx分子极限不为 0 时，直接得出结果；当分子、分母极限均为 0 时，可利用因式分解、有理化或第一个重要极限 来计算；当出现-的情形时应先通分。 2、复合函数的导数（或微分）计算复合函数的导数（或微分）计算 （隐函数的导数或微分，只要求作形成性考核）这部 分是微积分最重要的内容，首先要记熟导数公式与法则，然后套用；其次是对简单函数要会求导数 值、微分及二阶导数。教材中有大量的例题与习题，这里仅列举几个例子：（1）设，求 dy。2xye解：2222()22xxxyexxedyxedx （2）设，求。1cos4ln3xyxe,y y解：先
7、化简得，注意常数导数为 0，故有cos4ln3xyex。4sin4 ,16cos4xxyex yex （3）设，求。2ln(1)yx,1yyx解：。222222222(1)2222,1,11(1)(1)xxxxxyyyxxxx3、导数的几何意义导数的几何意义 主要是会求切线方程或切线斜率。 4、无穷小量无穷小量 要注意与重要极限的区别，以下几个结论要特别注意：00sinsin11lim1,lim0,lim sin0,lim sin1 xxxxxxxxxxxx5、 连续的概念要注意如下问题：设在 x=0 连续，则 k= 。 （答案：）1 (12 )0( ) 0xxxf x kx 2e（这里利用连
8、续性的定义，有）1 200(0)lim( )lim(12 )x xxkff xxe 微分学第微分学第 3 章章 导数应用导数应用 考试知识点：需求弹性，求最大利润时的产量及最大利润，求最小平均成本时的产量及最小平 均成本，驻点与极值点，单调区间，单调性。 本章的重点：最值应用题（20 分） 。 1、求最大利润（最小平均成本、最大收入）时的产量求最大利润（最小平均成本、最大收入）时的产量（或销售量）这部分是本课程的重点， 要求熟练掌握。 （1）某厂每生产一批某种产品，其固定成本为 20000 元，每生产 1 吨产品的成本为 60 元，对这种产品的 市场规律为 q=1000-10p（q 为需求量，
9、p 为价格） 。试求成本函数，收入函数；产量为多少时利润最大？假 设生产的产品能全部售出，求获得最大收入时的销售量。解：成本函数 C(q)=60q+20000，由需求规律得 p=100-0.1q，收入函数 R(q)=100q-0.1q2利润函数 L(q)=R(q)-C(q)=40q-0.1q2-20000，边际利润函数，( )400.2L qq令0 得 q=200（吨） ，由于驻点唯一，故产量为 200 吨时利润最大。( )L q，令（吨） ，由于驻点唯一，故产量为 500 吨时收入最大。( )1000.2R qq( )0500R qq（2）设生产某种产品 q 单位的成本函数为 C(q)=90
10、0+20q+q2，问 q 为多少时，能使平均成本最低？最低平 均成本是多少？解：平均成本函数为2( )900900( )20,( )1C qC qq C qqqq 令=0 得 q=30（单位） ，由于驻点唯一，故产量为 30 单位时平均成本最低，最低平均成本为( )C q。(30)80C2、需求弹性需求弹性 主要是记住公式后套用。( ) ( )pq pEpq p如：设需求函数，则需求弹性为 Ep=-5p。5100pqe3、求单调区间或给定某区间时判断该区间内函数的单调性求单调区间或给定某区间时判断该区间内函数的单调性。 如：函数 f(x)=x2-4x+5 的单调增加区间是（2，+） ，在区间（
11、0，+）内先单调减少，后单调 增加。 4、函数极值 应侧重于驻点、极值点等概念的理解，而简单函数的极值、最值问题适当考 虑便可。微分学第微分学第 4 章章 多元函数微分学多元函数微分学 本章不作考试要求。一元函数积分学（第一元函数积分学（第 1 章不定积分及第章不定积分及第 2 章定积分）章定积分） 考试知识点考试知识点：用凑微分法计算积分，简单广义积分，原函数概念，不定积分性质，用分部积分 法计算积分，定积分的导数。 本章重点：凑微分法（或分部积分法）计算不定积分（或定积分） （计算题 10 分） 。 1、凑微分法（第一换元积分法）凑微分法（第一换元积分法） （包括不定积分和定积分）这部分是
12、这两章的重点，要熟练（包括不定积分和定积分）这部分是这两章的重点，要熟练 掌握，但不必考虑过难的题目掌握，但不必考虑过难的题目。如：122 33333 3311(2)(2)(2)322xdxxd xxc x 。2 2252244 4311222171(2)()()321221x xxx edxxxedxeeexx2、原函数与不定积分的概念要理解清楚原函数与不定积分的概念要理解清楚，如“”是 f(x)的一个原函数，与“的原函数是 f(x)”2xe2xe是截然不同的。 凑微分是凑微分法和分部积分法的基础。（1） 设是 f(x)的一个原函数，则；2xe222( )()2,( )4xxxf xeefx
13、e（2）凑微分如 sinxdx=-d(cosx)等。2、广义积分广义积分 主要考虑形如的简单积分。如：( ) af x dx33011 330xxedxe 4、不定积分的性质不定积分的性质 主要考虑导函数（或微分式）的不定积或不定积分的导数（或微分） 。如：设，则 f(x)=2xln2+3x23( )2xf x dxxc5、分部积分法分部积分法 主要考虑的类型， （其中是实数，n=1,2） ，基础较低的学员可用列表法。(ln )nxxdx如：2lnxxdx（1） （公式法）=2lnxxdx33333111111lnlnln33339xdxxxxdxxxxcx（2） （列表法）（+） lnx x
14、2() 1 x31 3x由上面列表得:233333111111121lnln11333999eeeexxdxxxx dxexex注意：lne=1,ln1=0。6、定积分是一个常数，其导数必为定积分是一个常数，其导数必为 0。如：。32120dx dxdx一元函数积分学第一元函数积分学第 3 章章 积分应用积分应用 考试知识点考试知识点：已知边际成本（边际收入）及固定成本求成本函数（收入函数、利润函数）或它 们的增量，奇、偶函数在对称区间上的积分，已知边际成本（或边际收入）求最大利润（最大收入） 问题。 （微分方程内容只作形成性考核微分方程内容只作形成性考核！）！） 本章重点：已知边际经济函数求
15、最值问题（20 分） 1、已知边际成本（边际收入）及固定成本求成本函数（收入函数、利润函数）或它们的增已知边际成本（边际收入）及固定成本求成本函数（收入函数、利润函数）或它们的增 量量 一般采用定积分来计算，这样不容易出错（当然也可以使用不定积分来计算） 。如（1）设某商品的边际收入函数为，则( )R q 0( )( )qR qR q dq（2）设生产某产品的边际成本函数为，固定成本为 90，则总成本函数0.2( )2qC qe0.20.20( )2901080qqqC qedqe产量从 1 单位增加到 3 单位时成本增量为。30.20.60.213( )1010()1qCC q dqeee2、奇、偶函数在对称区间上积分奇、偶函数在对称区间上积分 若 f(x)为奇函数，则；若 f(x)为偶函数，则( )0aaf x dx 。如 0( )2( )aaaf x dxf x dx 111133 211111sin0,(cos5)cos5051011xdxxxdx
