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1、学案学案1 1 平面向量的基本概念平面向量的基本概念及线性运算及线性运算平面向 量的实实 际际背景 及基本 概念(1)了解向量的实际实际 背景(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义义.(3)理解向量的几何表示.向量的 线线性运 算(1)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义义. (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义义,理解两个向 量共线线的含义义. (3)了解向量线线性运算的性质质及其几何意义义.主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行的条件和基本定理，以选择题和填空题出现的可能性较大.对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大.1.向量的有关概念(1)向量:既有 ,又有 的量叫做向量
2、,向 量的大小叫做向量的 (或模).(2)零向量: 的向量叫做零向量,其方向 是 的.(3)单位向量:给定一个非零向量a,与a 且 长度等于 的向量,叫做向量a的单位向量.大小 方向 长度 长度为0 任意 同方向 1 (4)平行向量:方向 或 的 向量.平行向量又叫 ,任一组平行向量都可以 移到同一条直线上.规定:0与任一向量 .(5)相等向量:长度 且方向 的向量.(6)相反向量:长度 且方向 的向量.2.向量的加法和减法(1)加法法则:服从三角形法则、平行四边形法则.运算性质:相同 相反 非零 共线向量 平行 相等 相同 相等 相反 名师伴你行a+b= (交换律);(a+b)+c= (结合
3、律);a+0= = .(2)减法减法与加法互为逆运算;法则:服从三角形法则.3.实数与向量的积(1)长度与方向规定如下:|a|= ;b+a a+(b+c) 0+a a |a| 当 时,a与a的方向相同;当 时,a与a的方向相反;当=0时,a= .(2)运算律:设,R,则(a)= ;(+)a= ;(a+b)= .4.平行向量基本定理向量a与b(b0)平行的充要条件是.有且只有一个实 0 |b|,则ab;（2）若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量|a|=|b|,且a与b的方向相同，则a=b;（4）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；（5）起点不同，但方
4、向相同且模相等的几个向量是相 等向量.【解析】（1）不正确.因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向 量不能比较大小，故（1）不正确.（2）不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能判 断方向.（3）正确.|a|=|b|,且a与b同向，由两向量相等的条件 可得a=b.（4）不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行，可知 （4）不正确.（5）正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可 以任意平行移动的.2010年高考大纲全国卷在ABC中，点D在边 AB上，CD平分ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则 CD=( )A. a+ b
5、B. a+ bC. a+ b D. a+ b【分析分析】利用角平分线的性质可解出AD与DB的关系，再利用向量的线性运算求解.考点考点2 2 向量的线性表示向量的线性表示 【解析】如图所示,1=2,CD=CB+BD=a+ (b-a)= a+ b.故应选B.【评析评析】用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果.【解析】 设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【分析分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两向
6、量共线的条件a=b(b0).考点考点3 3 向量的共线问题向量的共线问题 【解析解析】 (1)证明:AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.AB,BD共线,又它们有公共点B,A,B,D三点共线.(2)ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a,b是不共线的两个非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.【评析评析】 (1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共 线是指存在实数使两向量能互相表示.(2)向量共线的充要条件中要
7、注意当两向量共线时,通 常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待 定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注 意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共 点时,才能得出三点共线.【解析解析】 1.1.向量不同于数量向量不同于数量. .向量既有大小，又有方向向量既有大小，又有方向. .向量的向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小模可以比较大小，但向量不能比较大小. .2.2.向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实质上是向量的伸缩质上是向量的伸缩. .3.3.数形结合思想是向量加减法的核心，利用
8、向量的相数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量的相等可以灵活地平移向量等可以灵活地平移向量. .4.4.向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题平行问题. .1. 1.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线, , 但要注意到向量的平行与直线的平行的区别但要注意到向量的平行与直线的平行的区别. .2.0 2.0与实数与实数0 0有区别有区别,0,0的模为数的模为数0,0,它不是没有方向它不是没有方向, , 而是方向不定而是方向不定.0.0可以看成与任意向量平行可以看成与任意向量平行. .3. 3.由由a ab,bb,bc c不能得到不能得到a ac c. .取不共线的向量取不共线的向量a a与与 c,c,显然有显然有a a0,c0,c0.0.
