通信原理第12章正交编码与伪随机序列

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1、通信原理1通信原理第12章 正交编码与伪随机序列2第12章 正交编码与伪随机序列l引言 正交编码与伪随机序列在数字通信技术中都 是十分重要的。正交编码不仅可以用作纠错 编码，还可以用来实现码分多址通信，目前 已经广泛用于蜂窝网中。伪随机序列在误码 率测量、时延测量、扩谱通信、密码及分离 多径等方面都有着十分广泛的应用。因此， 本章将在简要讨论正交编码概念之后，着重 讨论伪随机序列及其应用。3第12章 正交编码与伪随机序列l12.2 正交编码n12.2.1 正交编码的基本概念u正交性p若两个周期为T的模拟信号s1(t)和s2(t)互相正交，则 有同理，若M个周期为T的模拟信号s1(t)，s2(t

2、)， sM(t)构成一个正交信号集合，则有u互相关系数p对于二进制数字信号，用一数字序列表示码组。这 里，我们只讨论二进制且码长相同的编码。这时， 两个码组的正交性可用如下形式的互相关系数来表 述。i j；i, j1, 2, , M4第12章 正交编码与伪随机序列设长为n的编码中码元只取值+1和-1，以及x和y是其中两个 码组：其中 则x和y间的互相关系数定义为若码组x和y正交，则必有(x, y) = 0。 5第12章 正交编码与伪随机序列u正交编码 例如，下图所示4个数字信号可以看作是如下4个码组：按照互相关系数定义式计算容易得知，这4个码组中任意两者之间的相关系数都为0，即这4个码组两两正

3、交。我们 把这种两两正交的编码称为正交编码。s1(t)s2(t)s3(t)s4(t)6第12章 正交编码与伪随机序列u自相关系数： 类似上述互相关系数的定义，可以对于一个长为n的码组 x定义其自相关系数为式中，x的下标按模n运算，即有xnk xk 。例如，设则有7第12章 正交编码与伪随机序列u用二进制数字表示互相关系数p在二进制编码理论中，常采用二进制数字“0”和“1”表示 码元的可能取值。这时，若规定用二进制数字“0”代替 上述码组中的“1”，用二进制数字“1”代替“1”，则 上述互相关系数定义式将变为式中，A x和y中对应码元相同的个数；D x和y中对应码元不同的个数。p例如，按照上式规

4、定，上面例子可以改写成8第12章 正交编码与伪随机序列u用二进制数字表示自相关系数p上式中，若用x的j次循环移位代替y，就得到x的自相关 系数x (j)。具体地讲，令代入定义式就得到自相关系数x (j)。9第12章 正交编码与伪随机序列u超正交码和双正交码p超正交码：相关系数 的取值范围在1之间，即有-1 +1。若两个码组间的相关系数 0，f2(x)的次数为n2，n2 0， 且有30第12章 正交编码与伪随机序列令 则上式可以改写成上式表明，输出序列G(x)可以看成是两个序列G1(x)和G2(x) 之和，其中G1(x)是由特征多项式f1(x)产生的输出序列， G2(x)是由特征多项式f2(x)

5、产生的输出序列。而且，由定理 12.2可知，G1(x)的周期为 G2(x)的周期为 所以，G(x)的周期p应是p1和p2的最小公倍数LCMp1, p2， 即上式表明，p 一定小于最长可能周期(2n - 1)。 若f(x)可以分解成两个相同的因子，即上面的f1(x)f2(x)， 同样可以证明p 2n1。 所以，若f (x)能分解因子，必定有p 2n 1。【证毕】31第12章 正交编码与伪随机序列【定理12.4】一个n级移存器的特征多项式f (x)若为既约的 ，则由其产生的序列A = ak 的周期等于使f (x)能整除的 (xp + 1)中最小正整数 p。 【证】若序列A 具有周期p，则有上式移项

6、整理后，变成32第12章 正交编码与伪随机序列由定理12.1可知，h(x)的次数比f (x)的低，而且现已假定f (x)为既约的，所以上式表明(xp + 1)必定能被f (x)整除。 应当注意，此时序列A之周期p与初始状态或者说与h(x)无 关。当然，这里不考虑全“0”作为初始状态。 上面证明了若序列A具有周期p，则(xp +1)必能被f (x)整除 。另一方面，若f(x)能整除(xp +1)，令其商为又因为在f (x)为既约的条件下，周期p与初始状态无关，现 在考虑初始状态a1a2an10，an1，由式可知，此时有h(x) = 1。故有 33第12章 正交编码与伪随机序列上式表明，序列A以p

7、或p的某个因子为周期。若A以p的某 个因子p1为周期，p1 p，则由式已经证明(xp1 + 1)必能被f (x)整除。 所以，序列A之周期等于使f (x)能整除的中最小正整数p 。【证毕】34第12章 正交编码与伪随机序列p本原多项式定义：若一个n次多项式f(x)满足下列条件：f (x)为既约的；f (x)可整除(xm + 1)，m = 2n 1；f (x)除不尽(xq + 1)，q m；则称 f (x)为本原多项式。由定理12.4可以简单写出一个线性反馈移存器能产生 m序列的充要条件为：反馈移存器的特征多项式为本原多项式。35第12章 正交编码与伪随机序列【例】要求用一个4级反馈移存器产生m

8、序列，试求其特征多项式。这时，n = 4，故此移存器产生的m序列的长度为m = 2n 1 = 15。由于其特征多项式f (x)应可整除(xm + 1) = (x15 + 1)， 或者说，应该是(x15+1)的一个因子，故我们将(x15+1)分解 因子，从其因子中找 f (x)：f(x)不仅应为(x15+1)的一个因子，而且还应该是一个4次本 原多项式。上式表明，(x15+1)可以分解为5个既约因子，其 中3个是4次多项式。可以证明，这3个4次多项式中，前2个 是本原多项式，第3个不是。因为36第12章 正交编码与伪随机序列这就是说，(x4 + x3 +x2 +x + 1)不仅可整除(x15+1

9、)，而且还 可以整除(x5+1)，故它不是本原的。于是，我们找到了两个 4次本原多项式：和。由其中任何一个都可以产生m序列， 用作为特征多项式构成的4级反馈移存器就是上图中给出的。本原多项式表由上述可见，只要找到了本原多项式，我们就能由它构成 m序列产生器。但是寻找本原多项式并不是很简单的。经过前人大量的计算，已将常用本原多项式列成表备查。在 下表中列出了部分已经找到的本原多项式。 37第12章 正交编码与伪随机序列n本原多项式n本原多项式代数式8进制表示法代数式8进制表示法2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13x2 + x + 1 x3 + x + 1 x4 + x + 1

10、x5 + x2 + 1 x6+ x + 1 x7 + x3 + 1 x8 + x4 + x3 + x2 + 1 x9 + x4 + 1 x10 + x3 + 1 x11 + x2 + 1 x12 + x6 + x4 + x + 1 x13 + x4 + x3 + x + 17 13 23 45 103 211 435 1021 2011 4005 10123 2003314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25x14 + x10 + x6 + x + 1 x15 + x + 1 x16 + x12 + x3 + x + 1 x17 + x3 + 1 x18 + x7

11、 + 1 x19 + x5 + x2 + x + 1 x20 + x3 + 1 x21 + x2 + 1 x22 + x + 1 x23 + x5 + 1 x24 + x7 + x2 + x + 1 x25 + x3 + 142103 100003 210013 400011 1000201 2000047 4000011 10000005 20000003 40000041 100000207 20000001138第12章 正交编码与伪随机序列在制作m序列产生器时，移存器反馈线（及模2加法电 路）的数目直接决定于本原多项式的项数。为了使m序列产生器的组成尽量简单，我们希望使用项数最少的那

12、些本原多项式。由表可见，本原多项式最少有3项（这时只需要用一个 模2加法器）。对于某些n值，由于不存在3项的本原多项式，我们只好列入较长的本原多项式。由于本原多项式的逆多项式也是本原多项式，例如， (x15 + 1)的因子中的(x4 + x + 1)与(x4 + x3 + 1)互为逆多项 式，即10011与11001互为逆码，所以在表中每一本原多 项式可以组成两种m序列产生器。39第12章 正交编码与伪随机序列在一些书刊中，有时将本原多项式用8进制数字表示。 我们也将这种表示方法示于此表中右侧。例如，对于n = 4表中给出“23”，它表示2 30 1 00 1 1c5c4c3c2c1c0即c0

13、 = c1 = c4 = 1，c2 = c3 = c5 = 0。40第12章 正交编码与伪随机序列u m序列的性质p均衡性 在m序列的一个周期中，“1”和“0”的数目基本相等。准 确地说，“1”的个数比“0”的个数多一个。 【证】设一个m序列的周期为m = 2n 1，则此序列可以 表示为由于此序列中任何相继的n位都是产生此序列的n级移存 器的一个状态，而且此移存器共有m个不同状态，所以可以把此移存器的这些相继状态列表，如下表所示。表 中每一行为移存器的一个状态。m个相继的状态构成此m序列的一个周期。由此表直接看出，最后一列的元素按 自上而下排列次序就构成上式中的m序列。自然，其他 各列也构成同

14、样的m序列，只是初始相位不同。41第12章 正交编码与伪随机序列an-1 an an+i-1 an-2 an-1 an-2 an-1 an+i-2 an-3 an-2 a2 a3 ai+2 a1 a2 a1 a2 ai+1 a0 a1 a0 a1 ai an-1 a0 42第12章 正交编码与伪随机序列因为此表中每一元素为一位2进制数字，即ai (0, 1)，i = 0, 1, ，(m - 1)。所以表中每一位移存器状态可以看成是一个n位2进制数字。这m个不同状态对应1至(2n 1)间的m个不同的2进制数字。由于1和m = (2n 1)都是奇数，故1至(2n 1)间这m个整数中奇数比偶数多1个

15、。在2进制中，奇数的末位必为“1”，偶数的末位必为“0”，而此末位数字就是表中最后一列。故表中最右列的相继m个二进数字中“1”比“0”多一个。由于每列都构成一m序列，所以m序列中“1”比“0”多一个。【证毕】43第12章 正交编码与伪随机序列p游程分布我们把一个序列中取值相同的那些相继的（连在一起的） 元素合称为一个“游程”。在一个游程中元素的个数称为游 程长度。例如，在前例中给出的m序列可以重写如下：在其一个周期（m个元素）中，共有8个游程，其中长度为 4的游程有1个，即“1 1 1 1”，长度为3的游程有1个，即“0 0 0”，长度为2的游程有2个，即“1 1”和“0 0”，长度为1的游 程有4个，即两个“1”和两个“0”。一般说来，在m序列中，长度为1的游程占游程总数的1/2； 长度为2的游程占游程总数的1/4；长度为3的游程占1/8 ；. . . 。 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 m 1544第12章 正交编码与伪随机序列严格讲，长度为k的游程数目占游程总数的2-k，其中1 k (n-1)。而且在长度为k 的游程中其中1 k (n-2)，连“1” 的游程和连“0”的游程各占一半。下面我们就来证明游程的这种分布规律。【证】在上表中，每一行有n个元素。我们考虑恰好含有连 续 k 个“1”的那些行，它们具有形状：其中左侧(k + 2