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1、用心 爱心 专心中常用函数模型归纳及应用中常用函数模型归纳及应用高高考考山东莘县观城中学 郭银生 岳红霞 高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工 具。复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问 题大有裨益。高考试题中，函数问题是“大块头” ，各套试题所占比重在 30%以上。现归纳常用的函数模 型及其常见应用如下： 一一常数函数常数函数 y=a 判断函数奇偶性最常用的模型，a=0 时，既是奇函数，又是偶函数，a0 时只是偶函数。关于方程解 的个数问题时常用。例 1已知 x(0, ,关于方程 2sin(x+
2、)=a 有两个不同的实数解，则实数 a 的取植范围是（ 3）A-2，2 B.,2 C.( ,2 D.( ,2)333解析；令 y=2sin(x+), y=a3画出函数 y=2sin(x+)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交3点，由图象知( ,2)，选 D37654321-1-2-3-4-5-6-7-10-8-6-4-2246810二二一次函数一次函数 y=kx+by=kx+b (k0)(k0) 函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元” 化归为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。例 2不等式 2
3、x +1m(x-1)对一切m2 恒成立，则 x 的范围是（ ）2A-2x2 B. x0 C.0x D. x431 471 471 413 解析：不等式可化为 m(x-1)- 2x +102设 f(m)= m(x-1)- 2x +12若 x=1, f(m)=-30 (舍) 则 x1用心 爱心 专心则 f(m)是关于 m 的一次函数，要使不等式在m2 条件下恒成立，只需，解之可得答案 D 0)2(0)2(ff三三二次函数二次函数 y=axy=ax +bx+c+bx+c (a0)(a0)2二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化 归和转化成二次函数问题
4、。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二 次函数问题。例 3 （1）.若关于 x 的方程 x +ax+a -1=0 有一个正根和一个负根，则 a 的取值范围是（ ）22解析：令 f(x)= x +ax+a -122由题意得 f(0)= a -1 0,即-1a1 即可。2一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴 与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。例 4函数 f(x)= x -4x-4 在闭区间t,t+1 tR 上的最小值记为 g(t),试求 g(t)的表达式。2解：f(x)=（x-2） -82当 t2
5、 时，f(x)在t,t+1上是增函数g(t)= f(t)=t -4t-42当 t2t+1 即 1t2 时，g(t)= f(2)=-8 当 t+12 即 t1 时 f(x)在t,t+1上是减函数g(t)= f(t+1)= t -2t-7,从而 g(t)=2)2(44)21(8)1(7222ttttttt评：二次函数在闭区间上的最值问题是历年高考的热点，它的对称轴能确定二次函数的单调区间，二 次函数与对数函数的综合性题目是常考的交汇点之一。该题中，对称轴 x=2 确定，而区间t,t+1不确定 即“定轴不定区间” ，二者的位置关系有三种情况。类似问题还有“定区间不定轴” 、 “不定轴不定区间” 问题
6、，但方法都一样， “讨论对称轴和区间的位置关系” 。例 5如果函数 y=a+2a -1(a0 且 a1) 在区间-1，1上的最大值是 14，求 a 的值。x2xf(x)=-sin x+sinx+a,若 1f(x) 对一切 xR 恒成立,求 a 的取值范围。2 417以上两个问题都可以利用换元法转化为二次函数来解决，换元过程中注意等价性，即保证“旧元” 和“新元”取值范围的统一。解题过程略。答案：.a=3 或 3a431例 6.已知 a,b 为常数，且 a0,f(x)=x +(1-a)x -3ax+b3 232(1).若函数 f(x)的极大值是 2，求 a 和 b 的关系式（2）.若函数 f(x
7、)的极大值是 2，且在区间0，3上的最小值是-，求 a 和 b 的值。223解答过程略。答案：(1).3a+2b=3 （2）.a=2,b=-23四四绝对值函数绝对值函数 y=xy=x 这是偶函数，是画 y=ax(a0)图象的基础，当 a0 时,开口向上；当 aa 有解，求 a 的取值范围 解析：方法：x+3-x-2表示数轴上的点（x，0）到点（-3，0）和（2，0）的距离的差的 最大植是 5，所以，要使不等式x+3-x-2a 有解，只需 a0(a0 且且 a1)a1)x熟记函数 y=2 和 y=()的图象，因为它们分别代表着 01 两种情况，根据图象可以归x 21x纳函数的性质，并且也是题目中
8、出现次数较多的指数函数。这组图象都关于 y 轴对称。熟记函数值的分 布。例 11已知函数 y=()321162 xx求函数的定义域和值域1确定函数的单调递增区间2解析；设 t=x -6x+11, y=() ,根据指数函数的定义域知该函数的定义域为 R,函数 t=x -6x+1112 32t2在 R 上的值域是2，+） ，所以，y=() 的值域是（0，32t 94结合，t=x -6x+11 在 R 上的单调递减区间是（-，3） ，y=() 在2，+）上单调递减，212 32t故原函数的递增区间是（-，3） 。点评：复合函数 y=()通过换元转化成两个比较熟悉的函数 t=x -6x+11, y=(
9、) ，结合它们321162 xx2 32t各自的单调性和复合函数的单调性“同增异减” ，就比较容易地解决这类问题。八八对数函数对数函数 y=y= loglog x x (a0(a0 且且 a1)a1)a类似于指数函数，对数函数应该熟记 y=logx 和 y=log x 的函数图象和性质，二者图象关于 x 轴对212称。与指数函数不同的是定义域（0，+） ，这一点极易忽略。熟记函数值的分布，有利于比较数的大小 及判断对数值的正负例 12函数 y=log (2-ax)在区间0，1上是减函数，求实数 a 的取值范围。a解：要使函数有意义需满足 2-ax0，有 ax0,a1x0, 即 a0 中图象上凸
10、或下凸的分水岭。幂函数在中学教材中反复出现和删除，但前面的 y= x1y=x ,y=一直应用着。3x例 13函数 y= 的图象关于点 对称12 xx解析：分离常数：y=-1+，结合函数 y=的对称中心是（0，0） ，函数 y=的图象可由12 xx 11 xx1 12 xxy=向右向下各平移一个单位得到，故 y=的对称中心是（1，-1）x1 12 xx再如求下列函数的值域:y= y= ,通过变形处理，换元，可以利用函数模型 y=1 122 xxxx2 1sinsin xx求值域。答案：-，1 ，1）x11 312 21十正弦函数余弦函数正切函数十正弦函数余弦函数正切函数 熟记 y=sinx、y=
11、cosx、y=tanx 的图象和性质（包括：周期性，单调性，奇偶性，符号区间，对称轴和对称中心） ，是推知 y=Asin()+b、y=Acos()+b、y=Atan()+b (其中xxxA，0,bR)这三大类函数图象和性质的基础。运用整体思想，把作为整体，进行处理该类x问题是通法。三角换元中常利用这三类函数，一定要恰到好处地选择角的范围，常取-，、0，、0，。2 22例 14 （2005 年全国高考卷）设 f(x)=sin(2x+)(-0),y= f(x) 一条对称轴是直线 x=。8用心 爱心 专心求的值。求函数 y= f(x)的单调递增区间。解：直线 x=是函数 y= f(x)的对称轴8si
12、n(2*+)=1，则+=k+ kZ842-0=-,43由知=-，因此 y= sin(2x-)4343由题意得，2k-2x-2 k+ kZ2432解之可得：k+ xk+ kZ885所以函数的单调递增区间是k+ ，k+ kZ885例 15求函数 y=x+值域25x解：令 x=5sin(-)得 y=sin+cos=sin(+),52255104-,于是-sin(+)1，-sin(+)443 224510410函数的值域是-，510评析：该题也可以令 x=cos， 的取值范围相应地改为0，5高考衔接：高考衔接：1. （2007 年辽宁文科 9 ）函数的单调增区间为（ ）2 1 2log (56)yxx
13、ABCD5 2，(3)，5 2，(2)，2 （2007 年江苏文科 9 ） 已知二次函数的导数为，对于任意2( )f xaxbxc( )fx(0)0f实数都有，则的最小值为x( )0f x (1) (0)f fA B C D35 223 2用心 爱心 专心3.（2007 年山东文科 11 ） 设函数与的图象的交点为，3yx21 2x y00()xy，则所在的区间是（ ）0xABCD(01)，(12)，(2 3)，(3 4)，4.（2007 年山东文科 6）.给出下列三个等式：，()( )( )()( ) ( )f xyf xf yf xyf x f y，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（
14、）( )( )()1( ) ( )f xf yf xyf x f yABCD( )3xf x ( )sinf xx2( )logf xx( )tanf xx5 （2007 年福建理科 11）.已知对任意实数，有，且时，x()( )()( )fxf xgxg x ，0x ，则时（ ）( )0( )0fxg x，0x AB( )0( )0fxg x，( )0( )0fxg x，CD( )0( )0fxg x，( )0( )0fxg x，6（2007 年福建文科 5） 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ( )sin(0)f xx）A关于点对称B关于直线对称0，xC关于点对称D关于直线对称0，x7 （2007 年四川文科 7） 已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ( )f xR1(1)ffxx）(1)，(1)，(0)(01)，(0)(1)，8 （2007 年北京理科 8）对于函数，判断如下三个命题的真假：( )lg(21)f xx2( )(2)f xx
