模糊数学及其应用5

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1、第六讲 模糊综合评判在现实生活中，常常需要对某些事物进行评价。 根据我们的经验知，不论对什么事物进行评价，若 只考虑一个因素，而且又有明确的衡量标准，则问 题很容易解决。比如若只比较A、B两人的大小，则 只需要比较两人的年龄即可。但要考虑多个因素， 而且有些因素的评价标准又不那么确切，只是一个 模糊概念，比如A、B两人谁更优秀？这时评价问题 就变得非常复杂。为了对这种情况进行评价，汪培 庄在20世纪80年代初提出了综合评判模型。此模型 以它简单实用的特点，迅速波及到国民经济和工农 业生产的方方面面。 Date1一、 模糊综合评判的数学模型设评价时所着眼的m个因素的集合为 ，n 个评语的集合为

2、。根据具体情况，评语集合 一般可取为 。当然评语集 合V可有不同的选取。若用 表示第i个因素对第j种评语的隶属 度，则因素论域与评语论域之间的模糊关系可用评价矩阵 来表示。其中 Date2在全面评价一个对象时，要着眼于所有的m个因素 。但作出最后结论时，这些因素的参考价值是不同的 。比如在评价某公司提供的一幅电子地图的优劣时， 不同用图部门的着重点是不同的。对于工程部门，由 于主要用于工程设计，对图的精度要求比较高，而对 图的视角效果要相对较低。而对于艺术家而言，则对 图的视角效果要求较高，而根本不考虑位置精度。因 此，在进行评价前，应考虑评价者对各种因素的重视 程度。评价者对各种因素的重视程

3、度，即各因素的权 ，可以看成是因素集U的模糊子集，记为： 并且把A与R的合成B看作评价者综合各种因素后对 被评对象作出的最终评价，即模糊综合评判。于是， 模糊综合评判的数学模型为： Date3或 式中： “ ”表示模糊运算符。对此运算符的定义不同，则对 应不同的模糊综合评判模型。陈永义等（1983）采用特殊符号 ，给出的上式在广义模糊运算下B的各元素的计算式为：（1）（1）式是模糊综合评判的一般模型，记为 。王光远 （1984）根据对运算符“ ”的不同定义，总结出了四种不同 的模糊综合评判模型。这四种模糊综合评判模型分别为：Date4模型I 此模型就是用 取代 ，用 取代 。此时，（1）式变为

4、：（2）例 为了综合评价某公园的噪声，将该公园的四个 功能区：休闲、观赏、餐饮和通道作为因素集合：而将游客对噪声的主观感受：烦恼、较烦恼、有点 烦恼、不大烦恼和毫不烦恼作为评语集合：又通过向游客发卷调查的方式得到因素论域U与评 语论域V之间的模糊关系矩阵为： Date5设各功能区的权为： 。试用模糊综 合评判模型I对该公园的环境作出评价。 解：根据（2）式，可得：根据极大隶属度原则，对该公园的综合评价为“毫不烦恼”。所谓极大隶属度原则，就是取隶属度最大的那个作为最终 评价结果。比如此例中，最大隶属度为，而对应评语集中的。 为评语“毫不烦恼”，所以根据极大隶属度原则，对该公园的 综合评价为“毫不

5、烦恼”。 Date6由于评语集B具有模糊性，所以由评语集B根据极 大隶属度原则得出的评价结果较粗。因此，有学者建 议对评语进行定量化处理。对评语进行定量化处理可 采用对各个评语实行百分制记分的办法，比如记：（烦恼）、 （比较烦恼）、 （ 有点烦恼）、 （不大烦恼）、 （毫不 烦恼）。这样就得到一个关于评语的分数向量：=（55，65，75，85，95）有了分数向量后再计算得分： Date7于是：对评语进行定量化处理后，该公园的得分为75。59。故该公 园只能评为三级“有点烦恼”。如此对评语进行定量化处 理后，就可清楚地看出仅按极大隶属度原则得出的结论太粗， 是不准确的。 模型II 此模型就是用取

6、代 ，用 取代 。此时，（1）式变为：（3） 式中：“”表示普通的实数乘法。于是，（3）式还可写为：Date8例2 用模型II对例1中的公园进行综合评价。 解：根据（3）式，可得：用此模型算得的评语集B正好是两个极端情况（烦恼和毫 不烦恼）取得极大值。若仅按极大隶属度原则则难以对该公 园作出综合评价。这就进一步说明对评语进行定量化处理的 重要了。对评语进行定量化处理，得： 所以对该公园的综合评价同样为三级“有点烦恼”。 Date9模型III 此模型就是用取代 ，用 取代 。此时，（1）式变为：（4） 式中：符号“ ”表示有上界求和，即 。于 是（4）式可写为：（5） 例3 用模型III对例1中

7、的公园进行综合评价。解：根据（5）式，可得：用此模型算得的评语集B的最大值是。若用极大隶属度原则 进行综合评判，该公园属于三级“有点烦恼”。 Date10对评语进行定量化处理，得：故该公园只能评为三级“有点烦恼”。 模型IV 此模型就是用 取代 ，用 取代 。此时，（1）式 变为：（6） 或 （7）例4 用模型IV对例1中的公园进行综合评价。 Date11解：根据（7）式，可得： 用此模型算得的评语集B的最大值是 。若用极大隶属 度原则进行综合评判，该公园属于二级“比较烦 恼”。对评语进行定量化处理，得：故该公园只能评为三级“有点烦恼”。 所以该公园用哪个模型评价都是三级“有点烦恼 ”。 Da

8、te12二、 模糊综合评判中几种数学模型的实质用上述四种模型对该公园环境进行模糊综合评价 ，四种模型均评为三级“有点烦恼”。这是否 说明这四种模型是等价的呢？在模糊综合评判时， 是否不论选用哪种模型都一样呢？若回答是否定的 ，那么各种模型都有什么特点呢？下面就来讨论这 些问题。模糊综合评判的过程 是 输入A，经过变换器R变换后，输出评语集B。其中R 和B的含义是十分明确的，所以计算结果取决于输入 向量A。于是必须正确认识A的实质，才能得出合理 的评价结果。 Date13为此，我们先来分析广义模糊运算下的综合评判的 一般模型 ，即（1）式。在（1）式中， 为 单独考虑因素 时， 的评价对等级 的

9、隶属度。 因此，式中广义“与”运算的结果 （不妨将这 个结果记为 ）就是在全面考虑各种因素时， 的评 价对等级 的隶属度，即 就是对隶属度 的 修正。而广义“或”运算 就是对各个修正后的隶属 度 进行综合处理，以求得合理的综合评判。下面结 合具体模型分析之。模型I 在此模型中，单因素 的评价对等级 的隶属度 被 修正为：Date14这就清楚地表明， 是在考虑多因素时 （j=1,2,n） 的上限。也就是说，考虑多因素时，因素 的评价对 于任何等级 （j=1,2,n）的隶属度都不大于 。 这样在此模型中向量A就没有权的含义。在此模型中，广义“或”运算 取 的含义十分明确 ，那就是在计算 时，对每个

10、 而言，只考虑 中 最大的那个起主要作用的因素，而不考虑其它因素的 影响。因此，模型I是“主因素突出型”的综合评判 模型。既然在此模型中向量A没有权的含义，那么大多文献 中将A作为权向量，并令 =1是不对的。这是因为 当因数较多，即m较大时， 的值必然很小，这就使 得各评语值 很小。这时较小的权值通过取小运算而 “淹没”了所有单因素的评价，从而得不出有意义的 结果。 Date15模型II 此模型与模型I很接近，其区别仅在于以 代替 了模型I中的 。在此模型中， 是在考虑 多因素时 的修正系数。 虽然与因素 的重要性 有关，但也没有权的含义，故 的总和也没必要等 于1。 此模型也是“主因素突出型

11、”的综合评判模型。模型III 此模型在求 时，用对修正后的 求和代替 模型II中对 取大。这一代替使得此模型与模型II有 本质的区别。首先，在决定各因素的评价对等级 的隶属度 时，考虑了所有因素 （i=1,2,m）的 影响，而不是仅考虑对 影响最大的因素。 Date16其次，由于同时考虑所有因素，所以各 具有代表各 因素 的重要性的功能，因此 具有权的作用。因而 应满足 =1这个要求。在此模型中，由于 ，所以运算蜕化为一般的实 数加法。故此模型可改写为模型III ，即式中： 。模型IV 与模型I一样，此模型也是对 规定上限 来修正 ，即 。与模型I的区别在于，此模型是对各 作有上界相加来求 。

12、各个 作为 的上限，当然没 有必要要求 。 Date17从形式上看，此模型也是一种对每一级都同时考虑 各因素的综合评判方法，然而这种直接对隶属度作 有上界相加的办法在很多情况下得不出有意义的结 果。因为当各个 取值较大时，重要的一些 值均 等于上界1；而当各个 取值较小时，重要的一些 值将直接等于各 之和。综上所述，输入向量A只有在模型III 中才 有权的意义，在其它模型中均无有权的意义。尽管 如此，我们仍称向量A为权向量。综合评判结果是否 客观，取决于权向量A，尤其是在按极大隶属原则进 行评判时，权向量A的变化会引起相反的结论。 Date18三、 多层次模糊综合评判一中介绍的模糊综合评判，因

13、素论域只有一层。 例如例1中因素论域仅由休闲、观赏、餐饮和通道这 一层组成，即每个因素都没有再分。我们在实际中碰 到的综合评判问题往往并不是如此简单。比如对全国 高校进行综合评判时，因素论域可以由教学、科研、 管理、师质和设备等5个因素组成。而教学这个因素 又分研究生教学、本科生和专科生教学。研究生教学 还可分博士和硕士等等。同样科研这个因素也可分为 科研项目、科研成果、科研经费、科研基地、成果转 化。科研成果又可分为获奖、论文、专著、专利。论 文还可分为三大检索、核心期刊、一般刊物等等。总 之，实际因素论域中的某一个或每一个往往具有多个 层次。对于这样一些具有多层次因素论域的综合评判 问题，

14、需采用多层次模糊综合评判的方法来解决。 Date191、 多层次模糊综 合评判的数学模型设因素论域U由k 层组成（ ）， 第一层（最高层） 具有m个因素其评语集为：则多层次模糊综合 评判的数学模型为 （不失一般性，取 k=4）： Date20式中：A为各层的权向量，其中下标的个数x表示A为第x+1 层的各个权向量；R为最底层（第k层）的模糊关系矩阵。多层次模糊综合评判是从最底层（第k层）开始，向上逐层 运算，直至得到最后的评语集B。第k层评判结果就是第k-1层 因素的隶属度。计算步骤为：1、进行第四层的运算，分别得到，即Date21完成第四层的计算后，令2、进行第三层的运算，分别得到 ，即 D

15、ate22完成第三层的计算后，令3、进行第二层的运算，分别得到 ，即 Date23完成第二层的计算后，令4、进行最高层的运算，得到最后的评语集有了评语集B后，进行定量化处理。以上计算过程如下图所示。 Date24Date252、多层次模糊综合评判示例空间信息产品的质量评价是典型的多层次模糊综合评判问 题，比如专题地图编绘质量的评价。何宗宜在应用多层次模糊 综合评判方法评判专题地图湖北省国土经济地图集中“湖 北省棉花分布与区划图”的编绘质量时，将因素论域U分为4 层组成，第一层（最高层）包括6个因素，即各因素的实际意义为：上图指标的科学性和正确性。又由下列3个因素组成：指标处理的合理性；指标与地图用途及使