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1、北京安通学校 www.antong.org 中国最好的 GCT 培训机构 联系电话:82674061 82674062GCT 线性代数辅导线性代数辅导第一讲 行列式一. 行列式的定义一阶行列式定义为1111aa二阶行列式定义为 21122211 22211211aaaaaaaa在阶行列式中，划去元素所在的第 行第列，剩余元素构成阶行列式，称nijaij1n为元素的余子式，记作ijaijM令，称为的代数余子式ijji ijMA) 1(ijAija阶行列式定义为n nnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaa1112121111212222111211二. 行列式的性质 1.行列式中行列互换，其
2、值不变333231232221131211aaaaaaaaa332313322212312111aaaaaaaaa2.行列式中两行对换，其值变号333231232221131211aaaaaaaaa333231131211232221aaaaaaaaa3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外333231232221131211aaakakakaaaa333231232221131211aaaaaaaaa k4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和333231232322222121131211aaabababaaaa 3332312322
3、21131211aaaaaaaaa333231232221131211aaabbbaaa由以上四条性质，还能推出下面几条性质北京安通学校 www.antong.org 中国最好的 GCT 培训机构 联系电话:82674061 826740625.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为 6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为 7.行列式中如果有一行元素全为，则行列式的值为8.行列式中某行元素的倍加到另一行，其值不变k333231232221131211aaaaaaaaa133312321131232221131211kaakaakaaaaaaaa三三.阶行列式展开性质阶行列
4、式展开性质nnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni, 2, 1按列展开定理njnjjjjjAaAaAaD2211nj, 2, 1阶行列式的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于nD 零即02211jninjijiAaAaAaji 按列展开的性质02211njnijijiAaAaAaji 四四.特殊行列式特殊行列式; nnnnaaaaaa22112211 11212)1(11211nnnnnnnnaaaaaa上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同. 五五.
5、计算行列式计算行列式 消零降阶法. 消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）.典型习题典型习题1. =（ ） 。 （）3D xxx12133213133xx北京安通学校 www.antong.org 中国最好的 GCT 培训机构 联系电话:82674061 826740622. 设的代数余子式，则=（ ） （-2）64153821a 421Aa3 中的系数是（ ） （2）*xxxxxx100201112124x4=（ ） （）43322114xaxaxaxD 4321xxxx5设，则=（ ） （1）1 121013 zyx111425333zyx6（ ） （）111111111111
6、11114xxxxD4x7，则（ ） ， （0）22132103113323134D42322212AAAA8，则（ ）( ) (或)0 214211 bbaab21a0b9 .设则 (8M)*, 0333231232221131211 M aaaaaaaaa 232221333231131211222222222aaaaaaaaa10. 的根的个数是（ ） （1）0 533333212241 )( xxxxxxxxx xf北京安通学校 www.antong.org 中国最好的 GCT 培训机构 联系电话:82674061 8267406211.解方程 ( )011011011 )( xxx
7、xg2, 1, 1x12 . 设是方程 的三个根, 则行列式的值为( ) (0)*cba,0423 xx0 bacacbcba第二讲 矩 阵一一.矩阵概念和运算矩阵概念和运算 1.矩阵的定义和相等. 2.加法,数乘,乘法, 转置,方阵的幂乘的定义及性质. 尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律.满足结合律,左(右)乘分配律等.若是阶方阵,则BA,nBAAB 特殊方阵 3.逆矩阵 定义： IBAAB可逆A0 A公式： *11AAA11 AA可逆矩阵的运算性质 4. 伴随矩阵定义： T ijAA 基本关系式：IAAA *与逆矩阵的关系：*11AAA行列式：1*nAA秩： 1)(, 01)(, 1)(,
8、 )(*nArnArnArn Ar5矩阵方程 设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为AnBmnABAX BAX1北京安通学校 www.antong.org 中国最好的 GCT 培训机构 联系电话:82674061 82674062设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为AnBnmABXA 1 BAX二二.初等变换初等变换 矩阵的初等行（列）变换： （）交换两行（列） ； （）用一个非零常数乘某一行（列） ；（）某行（列）的倍加到另一行（列）上 k (初等行变换)1AIIA三三.矩阵的秩矩阵的秩 1.定义在矩阵中，任取行列，位于这行列交叉处的个元素按其原来的次nmAkkkk
9、2k序组成一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式kAk 若矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式全为零，则称矩阵的秩为。Ar1rAr矩阵的秩记作A)(Ar显然有 00AArnmArnm,min中有一个阶子式不为零； rAr)(Ar中所有阶子式全为零ArAr)(1r对于阶方阵，nA0)(AnAr对于阶方阵，若，则称是满秩方阵nAnAr)(A2.重要定理 对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩 3.矩阵的秩的求法 阶梯形矩阵 满足以下条件的矩阵称为阶梯形： （）所有零行都在矩阵的底部； （）非零行的第一个元素称为主元，每个主元在前一行主元的右方；(初等变换)阶梯形,则 中主元的个数AUUAr)(4. 矩阵的
10、秩有以下一些常用的性质：（）.)()(TArAr )0(kArkAr（）)()()(BrArBAr（） ,ArABr BrABr北京安通学校 www.antong.org 中国最好的 GCT 培训机构 联系电话:82674061 82674062（4）若，则，其中为矩阵的列数0snnmBAnBrAr)()(nA（5）若可逆，则若可逆，则A)()(BrABrB)()(ArABr典型习题典型习题 都是阶阵,则下列结论不正确的是( )BA,nA . B. BABABAABTC. D. (A) BABAnBABABABA2.，且，求， (-108, 32/3)3,MBA3, 2BA*1 221AA 1
11、*2BA3, 则( ) 200020001,100010002AP1001APP 1001002214 .设则中第 3 行第 2 列的元素是*, 310221011 , 3000200011 ABCBA1CA. B. C. 1 D. (B)31 21 235. ，则（ ） ( ) 101020101 A,2XAIAXX 2010301026. 都是阶阵,.则下列结论正确的是( )BA,n0, 0ABAA. B.或 C. D. (B)0B0A0B0BA222)(BABA7.设都是阶阵,满足.则ICBA,nIABC A. B. C. D. (A)IBCA IACB IBAC ICBA 设 .则下列
12、结论不正确的是( ) ,2BB BIAA可逆. B. .不可逆. C.可逆 D.可逆 (B) AAIA3IA29. 设，则 () 100110111 A 1*A 100110111北京安通学校 www.antong.org 中国最好的 GCT 培训机构 联系电话:82674061 8267406210 .设,则* 0,* 4ArMA Ar(A)1 或 2 (A)1 或 3 (A)2 或 3 (A)3 或 4 (A)11， 则（ ） 。 (1)321,321T,A Ar12设，（ ）时 。 (-3) 11334221 tAt 2Ar13设 则（ ） 。 (1),963642321 ,542143002 BA BABr14 .设则*,132011, 130211 BAA.
