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1、1第八章习题解答（3） 节 8.5 部分习题解答1、下列方程确定了)(xfy=，求dxdy，（1） 、0sin2=+xyeyx解：设=),(yxF0sin2=+xyeyx，2yexFx=；xyyyF2cos=（2） 、xyyxarctanln22=+解：设=),(yxFxyyxarctanln22+，= +=)( )(112222xyxyyxx xF22yxyx +；= yF= +)1( )(11222x xyyxy22yxxy +；yxyx FF dxdyyx +=（3） 、xyyx=解：设xyyxyxF=),(，)ln(1ln1yxyxxyyyxxFyxy=)ln(1ln1xxyxyxyx
2、xyFyxy=；yx FF dxdy=)ln()ln( xxyxyyxy =（4） 、1=+yexy解：设1),(+=yexyyxF，yxF=yexyF+=；yx FF dxdy=yexy +=22、下列方程确定了),(yxfz=，求xz yz （1） 、0=xyzez解：设=),(zyxFxyzez，yzFx=zxFy=xyeFz z=；xz zx FF=xyeyzz=yz zy FF=xyezxz=（2） 、333axyzz=解：设=),(zyxF333axyzz，yzFx3=zxFy3=xyzFz332=；xz zx FF=xyzyz =2yz zy FF=xyezx =2（3） 、12
3、2=+zeyzyx解：设=),(zyxF122+zeyzyx，xyFx2=zxFy22=z zeyF+=2；xz zx FF=zeyxy =22 yz zy FF=zeyzx =222（4） 、xyzz=sin解：设=),(zyxFxyzzsin，yzFx2=xzFy=xyzFz= cos；xz zx FF=xyzyz =cos2 yz zy FF=xyzxz =cos3、设zyxzyx32)32sin(2+=+确定了),(yxfz=，验证：+ xz1= yz证明：设=),(zyxF)32()32sin(2zyxzyx+，31)32cos(2+=zyxFx2)32cos(4+=zyxFy3)3
4、2cos(6+=zyxFz；xz zx FF=32=yz zy FF=31=所以+ xz131 32=+= yz4、设),(),(),(yxzzxzyyzyxx=都是由方程0),(=zyxF确定的函数，证明1= xz zy yx证明：1) 1()()(3=zxyzxy FF FF FFxz zy yx5、函数),(vu具有连续的偏导数，验证方程0),(=bzcyazcx所确定的函数),(yxzz=满足+ xzacyzb=证明：设bzcyvazcxu=,，则有cxu=，0= yu，azu=，0= xv，cyv=，bzv=1cx=2cy=21baz=211 bacaaxzazx +=212 bac
5、bbyzbzy +=于是+ xza= yzb+211 baca=+212 bacbcbabac=+2121)( 6、设f具有连续偏导数，方程),(yzxzfz=确定了),(yxfz=，求,xz yz 解：设=),(zyxF),(yzxzfz，又设yzvxzu=,，则有zxu=，0= yu，xzu=，0= xv，1= yv，1= zv41zfFx=2fFy=211fxfFz=xz zx FF=211 1fxfzf =yz 212 1fxff =7、设f具有连续偏导数，方程0),(=+zyxyxxf确定了),(yxfz=，求,xz yz 解：设=),(zyxF),(zyxyxxf+，321fffF
6、x+=32ffFy+=3fFz=xz zx FF=3321 ffff+=yz 321 fff+=8、求由方程组所确定的函数的导数或偏导数（1） 、 =+= 203222222zyxyxz求,xy ,xz 解：对等式两边同时求关于x的偏导数得 =+=064222xzzxyyxxyyxxz就是 =+=xxyyxzzxxyyxz2322 解得13) 13(222321222+=+= zx zyxyyzyyxyxxz) 13(2) 16(2321321+= zyzxyzyxzxxy（2） 、 =+=+221222zyxzyx求,dzdx,dzdy解：对等式两边同时求关于z的偏导数得 =+=+122dz
7、dy dzdxzdzdyydzdxx5解得)(221122112yxyz yxyzdzdx +=)(221122112yxxz yxzxdzdy +=（3） 、 =+=+ 0033xyuvyxvu求,xu ,xv 解：对等式两边同时求关于x的偏导数得 =+=+0130322xuyxvvvxvxxuu 就是 =+=+13322xvvxuyvxvxxuu 解得xyvuxvvyxuvxvxu +=223222933331xyvuyvuvyxuyvuxv +=222222933313（4） 、 =+=+ uyvxvuyxsinsin求,yu ,yv 解：对等式两边同时求关于y的偏导数得 +=+=yuu
8、yuyvvxyv yucossincos1 即 =+uyvvxyuuyyv yusincoscos1解得：uyvxuvxvxuyvxuyu coscossincoscoscos11cossin11+=uyvxuyuvxuyuuyyv coscoscossincoscos11sincos11+=6习题 8.6 解答 1、 求下列曲线在指定点的切线和法平面（1） 、曲线ttztytx+=1,2在点)21, 1 , 1 (解：2)1 (1)(,2)(, 1)(ttzttytx+=，从 而得 在点)21, 1 , 1 (的切 线的 方向 向量 为 =41, 2 , 1s，于是得切线方程为：12181
9、41 =zyx；法平面方程为0)21() 1(8) 1(4=+zyx，即0252168=+zyx（2） 、曲线2sin4,cos1,sintztyttx=在2=t的对应点解：2cos2)(,sin)(,cos1)(ttzttyttx=，2=t的对应点是点)22 , 1 , 12(， 该的切线的方向向量为2, 1 , 1=s， 于是得切线方程为：222 11 121=+zyx；法平面方程为0)22(2) 1()2(=+zyx，即02422=+zyx（3） 、曲线tzttytx22cos,cossin3,sin2=在4=t的对应点解：ttzttyttttx2sin)(,2cos3)(,2sin2c
10、ossin4)(=，4=t的对应点是点)21,23, 1 (，该的切线的方向向量为1, 0 , 2=s，于是得切线方程为：12102321 = =zyx；法平面方程为0)21() 1(2=zx，即0232=zx（4） 、曲线tzttytttx=+=,1,12在)01, 1 (解：ttzttytttttx21)(,1)(,)1 (2 )1 (2)1 (2)(222=+=+=，1=t对应着)01, 1 (， 该的切线的方向向量为1 , 2, 221 21, 1, 1= = s， 于是得切线方程为：711 221=zyx；法平面方程为0) 1(2) 1(2=+zyx，即0322=+zyx（5） 、曲
11、线 =+=+ 0453203222zyxxzyx在点) 1 , 1 , 1 (解：设xzyxzyxF3),(222+=，4532),(+=zyxzyxG32 =xFx，yFy2=zFz2=于是2211= n2=xG，3=yG5=zG于是5322=n所以切线的方向向量191653222121= =kjinns于是得切线方程为：11 91 161 =zyx；法平面方程为0) 1() 1(9) 1(16=+zyx，即024916=+zyx（6） 、曲线 =+=+ 222222zxyx在点) 1 , 1 , 1 (解：设2),(22+=yxzyxF，2),(22+=zxzyxGxFx2=，yFy2=0
12、=zF于是01121=nxGx2=，0=yGzGz2=于是10122=n所 以 切 线 的 方 向 向 量11110101121=kjinns0 是 得 切 线 方 程 为 ：11 11 11 =zyx；法平面方程为0) 1() 1() 1(=zyx，即01=+zyx2、 在曲线32,tzytx=上求一点，使在该点的切线与平面102=+zyx平行解：已知平面的法向为121= n，曲线的切线的方向2321tts= ，由题设可知8n0=s即03412=+tt解 得31, 121=tt， 所 求 的 点 是) 1, 1 , 1(或 者)271,91,31(3、 求下列曲面在指定点的切平面和法线（1）
13、 、zxyzln+=在点) 1 , 1 , 1 (解：zzxyzyxF+=ln),(,1 xFx=, 1=yF, 11=zFz切平面的法向为211= n，切平面为0) 1(2) 1() 1(=+zyx即02 =+zyx法线为21 11 11 =zyx（2） 、22yxz+=在点)5 , 1 , 2(解：zyxzyxF+=22),(,2xFx=,2yFy=, 1=zF切平面的法向为124= n，切平面为0)5() 1(2)2(4=+zyx即0524=+yx法线为15 21 42 =zyx（3） 、3=+xyzez在点)0 , 1 , 2(解：=),.(zyxF3+xyzez,yFx=,xFy=,
14、 1=z zeF切平面的法向为021=n，切平面为0) 1(2)2(=+yx即042=+yx法线为021 12zyx=5、在曲面xyz=上求一点，使在该点的法线垂直于平面093=+zyx平行解：所求法线的方向为131= n设=),.(zyxFzxy,yFx=,xFy=, 1=zF切平面的法向为1= xyn，9于是有向量131= n1=xy所以11 31=xy得3, 1, 3=zyx，所求的点是()313。6、求163222=+zyx上的点()321处的切平面与xoy面的夹角的余弦解：=),.(zyxF163222+zyx,6xFx=,2yFy=,2zFz=切平面的法向为646226)3 ,2, 1(= zyxn，xoy面的法
