工程力学基础02

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1、 工程力学 13第二章 刚体静力学基本概念与理论 第二章 刚体静力学基本概念与理论 静力学是研究力学问题的基础。 刚体静力学刚体静力学研究的是刚体刚体在力系力系作用下的平衡平衡问题。 刚体静力学的研究对象是刚体。 所谓刚体，刚体，是形状和大小不变，且内部各点的相对位置也不改变的物体。绝对刚体实际上是不存在的。在力的作用下，任何物体都会发生变形，只是变形量的大小不同而已。因此，刚体只是一种理想化模型。对于变形很小的固体，在暂时不研究物体变形的时候，这一简化模型为作用于物体上力系的研究提供了很大的方便。 刚体静力学的研究内容，是作用于物体(刚体)或物体系统之力的分析和力系的平衡问题。 所谓平衡平衡

2、，是指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。此时，加速度矢量a=0。由牛顿第二定律可知，若物体处于平衡状态，则作用在物体上的一群力（称为力系），必须满足一定的条件，即力系的合力FR=0。 作用于物体上的力系使物体处于平衡所应当满足的条件，称为力系（或物体）的平衡条件平衡条件。 在刚体静力学中，所研究的对象（物体或物体系统）被抽象为刚体，故暂不考虑物体的变形；所讨论的状态是平衡状态，所以也不考虑物体运动状态的改变。 因此，刚体静力学研究的基本问题基本问题是作用于刚体之力系的平衡问题，包括： (1)受力分析受力分析分析作用在物体上的各种力，弄清被研究对象的受力情况。 (2)平衡条件平衡条件

3、建立物体处于平衡状态时，作用在其上的力系所应满足的条件。 (3)利用平衡条件解决工程中的各种问题解决工程中的各种问题。 本章讨论刚体静力学的基本概念和基本理论，即研究上述前二个问题。如何利用静力平衡条件解决工程实际问题，则在下一章讨论。 工程力学 14 2.1 力力 力是物体间的相互作用，这种作用使物体的运动状态发生变化或使物体发生变形。 力是物体间的相互作用，这种作用使物体的运动状态发生变化或使物体发生变形。 力对物体的作用有二种效应，一是有使物体的运动状态发生改变的趋势，称为外效应外效应；二是有使物体发生变形的趋势，称为内效应内效应。 力是看不见也不可直接度量的，可以直接观察或度量的是力的

4、作用效果。 使1千克（kg）质量的物体产生1米/秒2（m/s2）加速度的力，在国际单位制中就定义为1牛顿（N）。力的常用单位为N或kN。 力是矢量力是矢量。力不仅有大小，还有方向。力对物体的作用效果，取决于力的大小、方向和作用点，称为力的三要素力的三要素。对刚体而言，因为力可沿其作用线滑移而不改变对刚体的作用效果，故力的三要素为力的大小、方向和作用线。因此，对于刚体而言，力是滑移矢力是滑移矢。 因为力是物体间的相互作用，所以一物体对另一物体有力作用的同时，也必然受到该物体的反作用力作用。所以，力（作用力和反作用力作用力和反作用力）是成对出现的，作用在不同的物体上。牛顿第三定律指出,两物体间相互

5、作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在两个物体上的。 若干个共点力，可以合成为一个合力。且力的合成满足矢量加法规则力的合成满足矢量加法规则。 2.1.1 力的合成力的合成 ( 几何法几何法 ) 力矢量可以用平行四边形法则进行合成和分解，如图2.1(a)所示。作用在刚体上的二个力F1、F2，只要其作用线不平行，由于力可以沿其作用线滑移，总可以移至其作用线的交点O，合力FR即可用矢量和表示为： FR=F1+F2合力FR与其分力F1、F2对于刚体有着相同的作用效应。 图2.1(a) 之力的平行四边形，可以简化为三角形。如图2.1(b)所示，将二分力首尾相接，则与分力首尾相对的第三边

6、即为所求之合力FR。这样得到的三角形，称为力三角形力三角形。 工程力学 (a)平行四边形法则 图2.1 力的合成 ( 几何法 ) (b)力三角形 F1 F2 o FR F1 o F1 F2 F3 F4 F5 FR o oF1 F2 F3 F4 F5 (c)汇交力系 (d)力多边形 FR F2 图2.1(c) 中作用线汇交于同一点的若干个力组成的力系，称为汇交力系汇交力系或共点力系共点力系。利用力三角形，将各力逐一相加，可得到从第一力到最后一力首尾相接的多边形，如图2.1(d) 所示；则多边形的封闭边即为该汇交力系的合力。用力多边形力多边形求汇交力系的合力时，同样应当注意，合力的指向是从第一力的

7、起点(箭尾)指向最后一力的终点(箭头)。 上述力矢量求和的方法，称为几何法几何法。 例例2.1 图中固定环上作用着二个力F1和F2，若希望得到垂直向下的合力FR=1kN，又要求力F2尽量小，试确定角和力F1、F2的大小。 F1 F1 F2 F2 FR FR 20 20 图2.2 例2.1图 解解：作力三角形如图。由正弦定理有： F1/sin=FR/sin(180-20- ) (1) F2/sin20= FR/sin(180-20- ) (2) 由F2最小的条件，还有 dF2/d= -FRsin 20cos(160- )/sin2(160- )=0 (3) 由(3)式知 cos(160- )=0

8、，即 =70时，F2最小。 将 =70代入(1)和(2)式，即可求得： F1=940N， F2=342N。 2.1.2 力的合成力的合成 ( 投影解析法投影解析法 ) 下面讨论利用力的投影求汇交力系合力的方法。 力力F在任一轴 在任一轴 x 上的投影，定义为力的大小乘以力与轴正向夹角的余弦上的投影，定义为力的大小乘以力与轴正向夹角的余弦。 15 工程力学 FFx x F1 F2 FR abc图2.3 力在轴上的投影 (a) 力在任一轴x上的投影 (b) 合力的投影 如图2.3(a)所示，力F 在任一轴 x上的投影为： Fx=Fcos - (2-1) 显然，若力与轴正向夹角大于90，则力在轴上的

9、投影为负，故力的投影是代数量代数量。在图2.3(b)中，力F1与轴x正向夹角是锐角，投影F1x为正，其大小等于ac；力F2与轴x正向夹角是钝角，故投影F2x为负，大小等于bc。故也可以说力在任一轴上投影的大小等于力的大小乘以力与轴所夹锐角的余弦力在任一轴上投影的大小等于力的大小乘以力与轴所夹锐角的余弦，其正负则由从力矢量起点到终点的投影指向与轴是否一致确定正负则由从力矢量起点到终点的投影指向与轴是否一致确定。 由图2.3(b)中，FR是F1、F2的合力，其在轴x上的投影为正且大小等于ab。可见： xxRxFFbcacabF21)(+=+= -(2-2) 即：合力在任一轴上的投影等于各分力在该轴

10、上之投影的代数和合力在任一轴上的投影等于各分力在该轴上之投影的代数和。此即合力投影定理合力投影定理。 例例2.2 推力F=200N，作用在置于斜面的物体上，如图2.4(a)所示。试求： 1)力F沿斜面法向y和切向x的分力及力F在轴上的投影。 2)力F沿铅垂方向y和斜面切向x的分力及其在轴上的投影。 F 40 30 yx Fx Fy 50 A o(c) F y40 30 Fx x Fy F yy 30 40 x (b) 图2.4 例2.2图 (a) 16 工程力学 解解：1) 力F沿正交坐标轴x、y的分力和力F在x、y轴上的投影。 依据平行四边形法则，以合力F为对角线，作图如图2.4(b)。则分

11、力的大小为： xF=Fcos70=68.4N yF=Fcos20=187.9N 力F在x和y轴上的投影为： Fx= -Fcos70=68.4N Fy= Fcos20=187.9N 可见，力力F在正交（直角）坐标系在正交（直角）坐标系x、y中的投影分量与沿坐标轴分解的分力大小相等中的投影分量与沿坐标轴分解的分力大小相等。 2)力F沿非正交的铅垂方向y和斜面切向x的分力和力F在x、y 轴上的投影。 作平行四边形如图2.4(c)。在力三角形中F、Fx、Fy的对角分别为60、50、70 力F沿铅垂方向y和斜面切向x的分力可由正弦定理求得，即： xF/sin50=F/sin60 xF=176.9N yF

12、/sin70=F/sin60 yF=217.0N 力在x、y轴上的投影则为： Fx= -Fcos70= -68.4N, Fy=AO= -Fcos50= -128.5N。 故显然可见：力力F在非正交坐标系在非正交坐标系x、y中的投影分量与沿坐标轴分解的分力的大小是不相等的中的投影分量与沿坐标轴分解的分力的大小是不相等的。 由力的投影之定义(2-1)式可见，力在任一轴上的投影的大小都不大于力的大小。而力的平行四边形中的对角线却不一定大于二条边，故分力的大小不一定都小于合力。如上例所示。 由上述讨论可知，在正交坐标系中，若干个共点力F1、F2、Fn的合力FR沿坐标轴的分量FRx、FRy的大小分别等于

13、力在坐标轴上的投影FRx、FRy，利用合力投影定理合力投影定理则有： FRx= F1x + F2x+ Fnx=Fx-(2-3) 17 工程力学 FRy= F1y+ F2y+ Fny=Fy故合力FR的大小和方向可写为： 2222)()(+=+=yxRyRxRFFFFF -(2-4) xyRxRy FFFFtg=表示合力FR与x轴所夹的锐角，合力的指向由FRx、FRy的正负判定。 由(2-3)、(2-4)式求合力的方法，称为解析法解析法。 18例例2.3 求图示作用在O点之共点力系的合力。 解解： 取正交坐标如图，合力FR在坐标轴上的投影为： FRx=Fx= 400N+250Ncos45-200N

14、4/5 = -383.2N FRy=Fy250Ncos45-500N+200N3/5= -203.2N 图2.5 例2.3图 F1=400N x y F3=500N F2=250N F4=200NFR o 345合力FR为： 22 RyRxRFFF+= 433.7N; =arctan(203.2N/383.2N)=27.9。 因为FRx、FRy均为负，故在第三象限，如图2.5所示。 2.1.3 二力平衡公理二力平衡公理 现在讨论作用于物体上的二个力使物体处于平衡的最简单问题。 作用于刚体上的两个力平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反，并作用在同一直线上。如图2.6(a)所示，这是显而易见的公理，称为二力平衡公理二力平衡公理。 反之，若刚体在且仅在二个力的作用下处于平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且作用在两受力点的连线上若刚体在且仅在二个力的作用下处于平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且作用在两受力点的连线上。 工程力学 19F1 F2 F3 F4 A B CF B C FB FC (a) (b) (c) 图2.6 二力平衡 图2.6 (b) 中的三铰拱在力F的作用下处于平衡，曲杆AB、BC二部分各自也是处于平衡的。若不计杆的自重，则BC杆是在B、C处受二力作用而处于平衡的，故B、C处的二个力必作用在二受