概率与数理统计答案详解6

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1、 1概率论第五章习题解答概率论第五章习题解答 习题习题 5.1 1 设X1, , Xn为来自总体X的简单样本， 且X服从参数为p （0 时，此导数为负， 故当x=时，PX1 = x1, , Xn = xn最大 3 设 X1, , Xn为来自参数为 的指数分布总体 X 的样本，试求 X1, , Xn的联合密度函数 解：总体 X 的密度函数 =, 0, 0, 0,e)(xxxfx故 = =., 0, 0,e , 0, 0,e),(11 111其他其他nx nnnixnxxxxxxfniii LLL 4 设总体 X 的样本值为 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 2，求 X 的经验

2、分布函数 Fn (x)，并画出其图形 解：将样本观测值按由小到大顺序排列：1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3， 即 x (1) = x (2) = x (3) = x (4) = 1，x (5) = x (6) = x (7) = 2，x (8) = x (9) = x (10) = 3， 故 =, 0, 0, 0,e5)(5xxxfx有xxx xxxxXP555e)e(de5+=， 故ln51=x， 当 = 0.15 时，3794. 015. 0ln51 15. 0=x； 当 = 0.95 时，0103. 095. 0ln51 95. 0=x 习题习题 5.3 1 求

3、N (5, 16)分布的上侧 分位数： （1） = 0.95； （2） = 0.05； （3） = 0.01 解：因) 1, 0(45NX ，且45 45= xXPxXP，有ux= 45， 则 x = 5 + 4 u = 5 + 4 1 (1 )， （1）x0.95 = 5 + 4 u 0.95 = 5 + 4 ( 1.64) = 1.56； （2）x0.05 = 5 + 4 u 0.05 = 5 + 4 1.64 = 11.56； （3）x0.01 = 5 + 4 u 0.01 = 5 + 4 2.33 = 14.32 2 查表求自由度为 7 的 t 分布的上侧 分位数： （1） = 0.9

4、5； （2） = 0.99； （3） = 0.05； （4） = 0.01 解：因 t1 (n) = t (n)， （1）t 0.95 (7) = t 0.05 (7) = 1.8946； （2）t 0.99 (7) = t 0.01 (7) = 2.9980； （3）t 0.05 (7) = 1.8946； （4）t 0.01 (7) = 2.9980 3 查表计算2 (18)： （1） = 0.05； （2） = 0.99 解： （1）869.28)18(2 05. 0=； （2）015. 7)18(2 99. 0= 4 设 2 2 (n)，证明：E ( 2) = n，D ( 2) = 2

5、n 证：因 2 2 (n)，存在 X1 , X2 , , X n相互独立且都服从 N (0, 1)，使得22 22 12 nXXX+=L， 则)(E)(E)(E)(E)(E2 122 22 12XnXXXn=+=L，)(D)(D)(D)(D)(D2 122 22 12XnXXXn=+=L， 因 X1 N (0, 1)，有 E (X1 ) = 0，D (X1 ) = 1， 故1)(E)(D)(E2 112 1=+=XXX，即 E ( 2 ) = n； 而22 14 12 1)(E)(E)(DXXX=， 且+=xxxxxxXxxxx d3e21e2)e(d21de21)(E2223 23244 1

6、22223)(E3de21302 1222 =+=+Xxxx ， 4故213)(E)(E)(D22 14 12 1=XXX，即 D ( 2 ) = 2n 5 求第一自由度为 4，第二自由度为 7 的 F 分布的上侧 分位数： （1） = 0.95； （2） = 0.99； （3） = 0.05； （4） = 0.01 解：因),(1),(1nmFmnF =， （1）1642. 009. 61 )4, 7(1)7, 4(05. 095. 0=FF； （2）0668. 098.141 )4, 7(1)7, 4(01. 099. 0=FF； （3）F0.05 (4, 7) = 4.12； （4）F0

7、.01 (4, 7) = 7.85 6 证明),(1),(1nmFmnF = 证：设 X 2 (n)，Y 2 (m)，且 X 与 Y 相互独立，有),(mnFmYnXF =，且),(1nmFnXmY F=， 则=1),(11),(11nmFFPnmFFP，即=),(111nmFFP， 故),(1),(1nmFmnF = 习题习题 5.4 1 在总体 N (12, 4) 中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值X落在 8.8 至 13.2 之间的概率 解：因总体 X N (12, 4)，且样本容量 n = 36，有) 1, 0(3/11236212NXX=， 故9998. 0)6 . 9()

8、6 . 3(6 . 33/1126 . 92 .138 . 8=YXPYXP 3 分别从方差为20和35的两个正态总体中抽取容量为8和10的两个独立样本X1, X 2, , X 8与Y1, Y 2, , Y 10 ，试估计222 yxSSP 5解：双总体 X N ( x, 20)，Y N ( y, 35)，样本容量分别为 n = 8，m = 10，且相互独立， 则)9, 7(75. 135/20/2222 FSS SSyxyx=， 故0423. 05 . 375. 1222 22=yx yxSSPSSP 注：最后一步利用 MATLAB 软件计算积分，程序如下： 建立 fdis.m 文件： fu

9、nction y=fdis(x) n=7;m=9; y=gamma(n+m)/2)/gamma(n/2)/gamma(m/2)*(n/m)(n/2)*x.(n/2-1).*(1+n/m*x).(-(n+m)/2); % F 分布密度 命令窗口输入： p=1-quadl(fdis,0,3.5) 4 设总体 X N ( , 2 )，X1, , Xn为 X 的样本如果利用样本讨论与总体期望 有关的概率问题，应选 取哪个统计量？选用哪个抽样分布？ 解：讨论总体期望 ，应选取样本均值X， 当 2已知时，选用) 1, 0( N nXU =，当 2未知时，选用) 1, 0( NnSXT= 5 设 X1, ,

10、 Xn与 Y1, , Ym分别为来自正态总体),(2 11NX与),(2 22NY的样本，且两样本相互独立如果利用样本讨论与两总体样本均值差1 2有关的概率问题，应选取哪个统计量？选用哪个抽样分布？如果利用样本讨论与两总体样本方差比2 22 1有关的概率问题，应选取哪个统计量？选用哪个抽样分布？ 解：讨论两总体均值差1 2 ，应选取样本均值差YX， 当2 1和2 2已知时，选用) 1, 0()()(2 22 121NmnYX+， 当2 1和2 2未知但2 22 1=时，选用)2( 11 2) 1() 1()()(2 22 121+mntmnmnSmSnYX 复习题五复习题五 1 设 X1, ,

11、 Xn为来自总体 X 的样本，下列样本函数何时是统计量，何时不是统计量 （1）XXnnii211 =； （2） =+niibaXn12)(1； （3） =niiiXXn12)(E1； （4）minmax 11iniiniXX ； （5） )(Dminmax 11 XXXiniini 解： （1）不含未知参数，是统计量； （2）含参数 a, b，当参数 a, b 已知时，是统计量，当 a, b 未知时，不是统计量； 6（3）含 E (Xi ) = E (X )，当总体期望 E (X ) 已知时，是统计量，当 E (X ) 未知时，不是统计量； （4）不含未知参数，是统计量； （5）含)(D1)(

12、DXnX=，当总体方差 D (X ) 已知时，是统计量，当 D (X ) 未知时，不是统计量 2 设 X1, , Xn为总体 X 的样本， =niiXnX 1221，在下列情形下求)(E2X （1）X 服从参数为 p = 0.6 的两点分布， ； （2）X 服从参数 = 7 的泊松分布； （3）X N (3, 16) 解：因222)(E)(D)(E)(D)(EXXXXXiii+=+=，有2122)(E)(D)(E1)(EXXXnXnii+= =， （1）因 X (0-1)，有 E (X ) = p = 0.6，D (X ) = pq = 0.24，故6 . 06 . 024. 0)(E22=+

13、=X； （2）因 X P (7)，有 E (X ) = = 7，D (X ) = = 7，故5677)(E22=+=X； （3）因 X N (3, 16)，有 E (X ) = = 3，D (X ) = 2 = 16，故25316)(E22=+=X 3 设 X N (, 4)，X为样本均值，试求样本容量 n 为多少时，才能使9 . 01 . 0|=bSSPbSSPyxyx，即97. 3)7, 5(938 05. 0=Fb，故 b = 0.9403 7 设 X1, , X5为来自总体 N (20, 9) 的样本，求： （1）Pmax (X1, , X5) 21.5； （2）Pmin (X1, ,

14、 X5) 21.5 解： （1）Pmax (X1, , X5) 21.5 = 1 Pmax (X1, , X5) 21.5 = 1 PX1 21.5, , X5 21.5 = 1 PX1 21.5PX5 21.5 = 1 F (21.5)5 = 1 (0.5)5 = 1 0.69155 = 0.8419； （2）Pmin (X1, , X5) 21.5 = PX1 21.5, , X5 21.5 = PX1 21.5PX5 21.5 = 1 F (21.5)5 = 1 (0.5)5 = (1 0.6915) 5 = 0.0028 8 设 X1, , X n , X n + 1是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本， 11ni iXXn=，2211()1ni iSXXn=，试证明统计量1 (1)1nXXnTt nSn+=+ 解：因211( ,)ni iXXNnn =，X n + 1 N ( , 2 )，且X与 X n + 1相互独立，即1nXX+服从正态分布， 且11E()E()E()0nnXXXX+