《数学：2.5《夹角的计算》学案(北师大版选修2-1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学：2.5《夹角的计算》学案(北师大版选修2-1)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考资源网（） 您身边的高考专 家 版权所有高考资源 网- 1 -夹角的计算夹角的计算$学法指导学法指导$ 本小节主要包括三个部分的知识：直线间的夹角；平面间的夹角；直线与平面间的夹角.在学习时要注意的问题有：（1）直线间的夹角：直线间夹角的范围是（2）求平面间0,2 的夹角时求平面的法向量是解题的关键.（3）求直线与平面间的夹角时用的是直线的方向 向量和平面的法向量所成的夹角，此角与直线和平面所成角互余. 用向量作工具来研究空 间的夹角问题时，重要的是明确直线的方向向量、平面的法向量以及它们之间的关系. $知识精要知识精要$ 知识点知识点 1: 直线间的夹角直线间的夹角 1.两直线的夹角两直
2、线的夹角当两条直线与共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹1l2l0,2 角 2. 异面直线的夹角异面直线的夹角:当两条直线与是异面直线时，在直线上任取一点 A 作 AB，我们把直线和直线1l2l1l2l1lAB 的夹角叫做异面直线与的夹角1l2l3.(重点)空间两直线的夹角与它们方向向量的夹角的关系空间两直线的夹角与它们方向向量的夹角的关系:已知直线与的方向向量分别为， ，1l2l1s2s当 0时，直线与的夹角等于；当时，直线与12,s s 21l2l12,s s 2 12,s s 1l的夹角等于.2l12,s s 注:确定直线的方向向量是解决两直线夹角的关键. 知识点知识
3、点 2 (重难点重难点) 平面间的夹角平面间的夹角 1. 平面间的夹角平面间的夹角:在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在内的角为这两个平面的夹角.0,2 注:平面间的夹角与平面的二面角不是同一概念. 2. (重点重点)求两平面间的二面角的向量求法求两平面间的二面角的向量求法 方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的角或其补角即为 所求的二面角的大小； 注：要特别关注两个向量的方向方法二：设，分别是两个面的法向量，则向量与的夹角(或其补角)即为所求二1n2n 1n2n 面角的平面角的大小. 注:通过向量法求出二面角有利于求两平面的夹角.高考资源网（） 您身边的高考专
4、 家 版权所有高考资源 网- 2 -3. (难点难点)两平面的夹角与两平面法向量所成的角的关系两平面的夹角与两平面法向量所成的角的关系.平面和的法向量为和，为两个平面所成二面角的平面角，与的关121n2n 12,n n 系：(1) 当 0时，=；12,n n 212,n n (2) （2）当时，=212,n n 12,n n 知识点知识点 3 (重难点重难点) 直线与平面间的夹角直线与平面间的夹角. 1.直线与平面的夹角直线与平面的夹角 平面外一条直线与他在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角.注:直线与平面间的夹角的范围为0,2 2 直线与平面的夹角的计算方法直线与平面的夹角的计算方
5、法 （1）在平面内作出直线的投影，找到直线与平面的夹角，通过解三角形求出. （2）利用直线的方向向量和平面的法向量所成的角求直线与平面的夹角. 3. (难点难点)直线的方向向量与平面的法向量的夹角与平面间的夹角的关系：直线的方向向量与平面的法向量的夹角与平面间的夹角的关系：一直线的方向向量为，一平面的法向量为，则此直线与该平面的夹角与的关系sn, s n 为=.,2s n $知识深化知识深化$ 知识点知识点 1: 直线间的夹角直线间的夹角两直线的夹角是指两条直线相交构成的四个角中不超过的角，由于异面直线既不相交也2不平行，因此通过平移的方式使两异面直线相交然后定义其夹角，故空间两条直线的夹角
6、由它们的方向向量的夹角确定。运用向量法求异面直线的夹角就是在异面直线上取方向向量，运用公式，求出两向量的夹角.12 1212cos,s ss s s s 注:用向量的夹角公式求异面直线所成角时要注意其范围。 知识点知识点 2:平面间的夹角平面间的夹角 注:用向量法求二面角的大小时要注意向量的夹角与二面角是否相等. 知识点知识点 3:直线与平面间的夹角直线与平面间的夹角 在求直线与平面所成的角时，可以先求出直线及其射影对应的方向向量，再利用向量的内积求出直线与平面所成的角，或利用直线 的方向向量与平面的法向量求得lsn$高考链接高考链接$1（2009 年福建省理科）年福建省理科）如图，在棱长为的
7、正方体中，分别为21111ABCDABC DEF、和的中点11AD1CC高考资源网（） 您身边的高考专 家 版权所有高考资源 网- 3 -（1）求证：平面；EF1ACD（2）求异面直线与所成的角的余弦值；EFAB（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求1BBPPACP30出的长；若不存在，请说明理由BP解析：解析：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考 查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力，利用空间向量将线面角和 二面角将几何问题转化为代数问题解决 答案：答案：解：如图分别以所在的直线为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系1,DA
8、DC DDxyz，Dxyz由已知得、0,0,0D2,0,0A2,2,0B0,2,0C12,2,2B、 、10,0,2D1,0,2E0,2,1F（1）取中点，则，1ADG1,0,1G，又，1, 2,1CG 1,2, 1EF 由，EFCG 与共线从而，EF CG EFCG高考资源网（） 您身边的高考专 家 版权所有高考资源 网- 4 -平面， 平面，平面CG 1ACDEF 1ACDEF1ACD（2），0,2,0AB ，46cos,3| |2 6EF ABEF ABEFAB 异面直线与所成角的余弦值为EFAB36（3）假设满足条件的点存在，可设点（） ，平面的一个法P2,2,Pt02t ACP向量为
9、， , ,nx y z则 ，0,0.n ACn AP 0,2,APt 2,2,0AC 220, 20,xy ytz 取2(1,1,)nt易知平面的一个法向量，ABC1(0,0,2)BB 依题意知， 或，1,30BB n 150，即，解得124|3cos,2422tBB Nt 22434(2)4tt6.3t ，在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大6(0,231BBPBP6 3PACB小为.302（2008 安徽卷）安徽卷）如图，在四棱锥中，底面四边长为 1 的菱形，, OABCDABCD4ABC, ,为的中点，为的中点 OAABCD 于于2OA MOANBC高考资源网（） 您身边的高考专 家
10、版权所有高考资源 网- 5 -（）证明：直线；MNOCD于于（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （）求点 B 到平面 OCD 的距离。 解析：解析：本题考查线面平行，异面直线所成角即点到平面的距离，在用向量解决时注意异面 直线所成角的范围. 答案：答案： 方法一（综合法）方法一（综合法） （1）取 OB 中点 E，连接 ME，NE又MECD，AB,ABMECDNEOCMNEOCD平面平面MNOCD平面（2） 为异面直线与所成的角（或其补角）CDABMDCABMD作连接,APCDP于MPO A平面ABC DC DM P4ADP2 2D P=，222MDMAAD1cos2DPMDPMD
11、1cos2DPMDPMD1cos2DPMDPMD3MDCMDP 所以 与所成角的大小为ABMD3（3）点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作AB平面O C D于点 Q，AQOP,APCD OACDCDOAP 平面AQCD又 ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离AQOPAQOCD 平面高考资源网（） 您身边的高考专 家 版权所有高考资源 网- 6 -， 22OPODDP222OAADDP13 24 122 2 2APDP，所以点 B 到平面 OCD 的距离为OA APAQOPA2222 33 2 2A2 3方法二方法二(向量法向量法)作于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系APCD, ,x y z,22222(0,0,0), (1,0,0), (0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,0)22244ABPD
