第07讲_函数模型及其应用

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1、阳光家教网阳光家教网全国最大全国最大家教家教平平 台台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新高三新数学数学第一轮复习教案（讲座第一轮复习教案（讲座 7 7 7 7）函数模型及其应用函数模型及其应用一课标要求：一课标要求： 1利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直 线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义； 2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 二命题走向二命题走向 函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值

2、呈 上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立 意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的 考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新 颖、生动和灵活。 预测 2007 年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点， 因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建 模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。 （1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质

3、（单调性、极值和 最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。 三要点精讲三要点精讲 1解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示：实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括还原说明运用函数性质阳光家教网阳光家教网全国最大全国最大

4、家教家教平平 台台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网2解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域； （3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小） 值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。 四典例解析四典例解析题型 1：正比例、反比例和一次函数型例 1某地区 1995 年底沙漠面积为 9

5、5 万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续 5 年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测： （1）如果不采取任何措施，那么到 2010 年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷； （2）如果从 2000 年底后采取植树造林等措施，每年改造 0.6 万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到 90 万公顷？观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20000.40000.60010.79991.0001解析： （1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函

6、数y=kx+b的图象。将x=1，y=0.2 与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，阳光家教网阳光家教网全国最大全国最大家教家教平平 台台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网求得 k=0.2，b=0，所以y=0.2x（xN） 。因为原有沙漠面积为 95 万公顷，则到 2010 年底沙漠面积大约为95+0.515=98（万公顷） 。（2）设从 1996 年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷，由题意得95+0.2x0.6(x5)=90，解得x=20（年） 。故到 2015 年年底，该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性

7、质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例” 、 “成反比例”等条件要应用好。例 2 （2006 安徽理 21） （已知函数( )f x在 R 上有定义，对任何实数0a和任何实数x，都有()( )f axaf x=（）证明( )00f=；（）证明( ),0,0kx xf xhx x=，( )00f=。（）令xa=，0a，0x，则()( )2f xxf x=。假设0x时，( )f xkx=()kR，则()22f xkx=，而( )2xf xx kxkx=，()( )2f xxf x=，即( )f xkx=成立。令xa= ，0a，0x70，得 n9.4，取 n=10。阳光家教网阳光家教网全国

8、最大全国最大家教家教平平 台台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网所以到 2010 年可以收回全部投资款。点评：分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果。例 7 （2000 全国，21）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日 起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图 210 中（1）的一条折线表示； 西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 210 中（2）的抛物线表示.图 210 （1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式Pf（t） ； 写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Qg（t） ； （2）认定市场售价

9、减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元102，g，时间单位：天）解： （1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f（t） ax, 用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ayacy +,其中c)99. 08 . 0(时即,故方案乙的用水量较少.（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得 54 5(1)cxc=，(99 100 )yac=（*）于是54 5(1)cxyc+=+(99 100 )ac1100 (1)15(1)acac=+当a为定值时,12100 (1)14 515(1)xyacaaac+ = +,当且仅当1100

10、(1)5(1)acc=时等号成立.此时111()1(0.8,0.99),10 510 5ccaa= += 不合题意,舍去 或将1110 5ca= 代入（*）式得2 511,2 5.xaayaa= =阳光家教网阳光家教网全国最大全国最大家教家教平平 台台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网故1110 5ca= 时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为2 512 5aaa与,最少总用水量是( )4 51T aaa= +.当2 513,( )10aT aa= 时,故 T(a)是增函数，这说明,随着a的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.点评：该题建立了函数解析式后，通过基本不等式“x

11、x1+”解释了函数的最值情况，而解决了实际问题。该问题也可以用二次函数的单调性判断。 例 10 （2001 上海，文、理 21）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药对用一定量的水清洗一次. . . .的效果作如下假定：用 1 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的21，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用x单位量的水清洗一次. . . .以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）. （1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义； （2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（3）设f（x）=211 x+，现有a（a0）单位量的水，可以清洗一次，也

12、可以把水平均分成 2 份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比 较少?说明理由 解： （1）f（0）=1 表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：f（0）=1，f（1）=21，在0，）上f（x）单调递减，且 0f（x）1阳光家教网阳光家教网全国最大全国最大家教家教平平 台台找找家教家教上上阳光家教网阳光家教网（3）设仅清洗一次，残留的农药量为f1211 a+，清洗两次后，残留的农药量为f22222)4(16)2(11 aa+= +，则f1f222222222)4)(1 ()8( )4(16 11 aaaa aa+=+于是，当a22

13、时，f1f2；当a=22时，f1f2；当 0a22时，f1f2因此，当a22时，清洗两次后残留的农药量较少；当a=22时，两种清洗方法具有相同的效果；当 0a22时，一次清洗残留的农药量较少点评：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。以及函数概念、 性质和不等式证明的基本方法。题型 6：指数、对数型函数 例 11有一个湖泊受污染，其湖水的容量为 V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。用)0()0()(+=perpgrptgtvr ，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数） ，)0(g表示湖水污染

14、初始质量分数。（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；（2）分析rpg，得83102x，两边取以 10 为底的对数，得3lg82x，8 lg3lg2x，8845.45lg3lg20.4770.301=，45.45x.答：经过 46 小时，细胞总数超过1010个。点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的 解析。 五思维总结五思维总结 1将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模 型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含 义。 2怎样选择数学模型分析解决实际问题数学应用问题形式多样，解

15、法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法：（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；（2） 列式比较法： 若题所涉及的是最优化方案问题， 则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表 中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确 定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。下面举例进行说明。