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1、1990 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析数学一试题解析一、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分。） （1）过点(1,2, 1)M且与直线234 1xtyt zt 垂直的平面方程是 _。 【答案】340.xyz【解析】由直线的参数方程，可得直线的方向向量( 1,3,1)l ，所求平面的法向量n平行于所给直线的方向向量( 1,3,1)l ，取nl，又平面过已知点(1,2, 1)M.已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面，所求平面的方程为(1)3(2)(1)0,xyz化简即是340.xyz（2）设a为非零常数，则lim()x xx
2、a xa = _。 【答案】2ae.【解析】此题考查重要极限：1lim(1).xxex(1) lim()lim (1)xxxxxa xax axa x(1) lim (1)xaaxxaaa x a x 2a a aeee.或由2222lim()lim 1x axaa x axaxxxaaexaxa. （3）设函数1, | 1,( )0, | 1,xf xx则 ( )f f x= _。【答案】1. 【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域，不能遗漏，求出复合后函数的所有可能的解析式. 天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .c
3、n根据( )f x的定义知，当| 1x 时，有( )1.f x 代入 ( )f f x，又(1)1.f于是当| 1x 时，复合函数 ( )1f f x； 当| 1x 时，有( )0.f x 代入 ( )f f x，又(0)1,f即当| 1x 时，也有 ( )1f f x.因此，对任意的(,)x ，有 ( )1f f x.（4）积分2220yxdxedy的值等于 _。【答案】41(1).2e【解析】这是一个二重积分的累次积分，因2ye的原函数不是初等函数，先对y积分积不出来，所以应该改换积分次序，先表成： 原式2.yDedxdy由累次积分的内外层积分限确定积分区域D：02,2,xxy如图所示，然
4、后交换积分次序.原式2222000yyydyedxyedy24211(1).022yee （5）已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)，则该向量的秩是_。【答案】2. 【解析】经过初等变换后向量组的秩不变. 所以有 12341234 2345 3456 4567A 第一行1r分别乘以2、3、4加到第二行、第三行、第四行上，得到2 xyOyx2 D天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn1234 0123A0246 0369 继续作初等变换第二行2r分别乘以2、3加到第三行、第四行
5、上，再自乘1有1234 0123A0000 0000 因为最后得出的矩阵有二阶子式0，而三阶子式0，由矩阵秩的定义，有1234,( )2.rr A 所以此题应填 2. 二、选择题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分。） （1）设( )f x是连续函数，且2( ) ( )fxf x，则等于(A)()( )xxef ef x (B) ()( )xxef ef x(C)()( )xxef ef x(D)()( )xxef ef x【答案】A. 【解析】对积分上限的函数的求导公式： 若( )( )( )( )ttF tf x dx，( ) t，( ) t均一阶可导，则( )( )( )
6、( )( )F ttfttft.复合函数求导法则， 如果( )ug x在点x可导，而( )yf x在点( )ug x可导，则复合函数( )yf g x在点x可导，且其导数为( )( )dyfug xdx 或 dydy du dxdu dx所以两边求导数, ( )()()( )( )xxF xf eef x x()( ).xxef ef x 故本题选 A. （2）已知函数( )f x具有任意阶导数，且2( ) ( )fxf x，则当n为大于 2 的正整数时，( )f x的n阶导数( )nfx是(A)1! ( )nnf x(B)1 ( )nn f x(C)2 ( )nf x(D)2! ( )nnf
7、 x天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn【答案】A. 【解析】本题考查高阶导数的求法. 为方便记( )yf x.由2 yy，逐次求导得322,yyyy243!3!,yy yy，由第一归纳法，可归纳证明( )1!nnyn y假设nk成立，即( )1!kkyk y，则(1)( )1!1 !kkkkyyk ykyy111 !kky 所以1nk亦成立，原假设成立.（3）设为常数，则级数2 1sin1()nn nn(A)绝对收敛(B)条件收敛 (C)发散 (D)收敛性与的取值有关 【答案】C . 【解析】本题可利用分解法判别级数的敛散性（收敛
8、级数与发散级数之和为发散级数）. 11nn发散.因为此为p级数：11p nn当1p 时收敛；当1p 时发散.2 1sinnn n收敛.因为由三角函数的有界性22sin1n nn，而p级数：2 11nn收敛， 根据正项级数的比较判别法： 设1n nu和1n nv都是正项级数，且lim,nnnvAu则（1）当0A 时，1n nu和1n nv同时收敛或同时发散； （2）当0A 时，若1n nu收敛，则1n nv收敛；若1n nv发散，则1n nu发散； （3）当A 时，若1n nv收敛，则1n nu收敛；若1n nu发散，则1n nv发散. 所以2 1sinnn n收敛，所以级数2 1sinnn n
9、绝对收敛.由收敛级数与发散级数之和为发散级数，可得 天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn级数2 1sin1()nn nn发散. 故选(C). （4）已知( )f x在0x 的某个领域内连续，且(0)0f， 0( )lim21 cosxf x x，则在点0x 处(A)不可导(B)可导，且(0)0f(C)取得极大值 (D) 取得极小值 【答案】D. 【解析】利用极限的保号性可以判断的正负号：设0lim( ). xxf xA 若0A 0,当00xx时，( )0f x .若0,当00xx时有( )0f x ，则0A.所以，有 0( )( )
10、lim2001 cos1 cosxf xf x xx（在0x 的某空心领域）由1 cos0x，有( )0(0)f xf，即( )f x在0x 取极小值，应选(D)本题还可特殊选取满足题中条件的( )2 1 cos.f xx显然，它在0x 取得极小值，其余的都不正确，这样本题仍选(D) （5） 已知1、2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1、2是对应齐次线性方程组0Ax 的基础解系，12,k k为任意常数，则方程组Axb的通解（一般解）必是(A) 12 11212()2kk (B) 12 11212()2kk(C) 12 11212()2kk (D) 12 11212()2kk【答案】B
11、【解析】本题考查解的性质和解的结构.从1、2是对应齐次线性方程组0Ax 的基础解系，知Axb的通解形式为 1 122,kk其中12, 是0Ax 的基础解系，是Axb的一个特解.由解的性质： 如果12, 是0Ax 的两个解， 则其线性组合1 122kk仍是0Ax 的解； 如果是Axb的一个解，是0Ax 的一个解，则仍是Axb的解.所以有：1，12，12 2，12，12都是0Ax 的解，12 2是Axb的一个特解.那么看各个选项，(A)中没有特解,(C) 中既没有特解,且12也不是0Ax 的解.天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn(D)
12、中虽有特解，但1，12的线性相关性不能判定，故(A)、(C)、(D)均是不正确的.再看(B)，12 2是Axb的一个特解，1，12是0Ax 的线性无关的解，是基础解系，故本题选(B).三、（本题满分 15 分，每小题 5 分。） （1）求 120ln(1) (2)xdxx （2）设(2,sin )zfxy yx，其中( , )f u v具有连续的二阶偏导数，求2zx y 。 （3）求微分方程244xyyye的通解（一般解）（1）【答案】1ln2.3. 【解析】分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起更繁杂的计算，最后甚至算不 出结果来。在做题的时候应该好好总结，积累经
13、验。 假定( )uu x与( )vv x均具有连续的导函数，则,uv dxuvu vdx或者.udvuvvdu由2 211(2)(2)()(2)2dxxdxdxx 有 原式110011ln(1)1ln(1) ()02221xdxx dxxxx分部法因为，由分项法 11111()213 21xxxx所以，原式10111ln2()321dxxx11 0011ln2 ln(2)ln(1) ln233xx.（2）【答案】 11122222(2sincos )sincoscosfxyx fyxxfxf.【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，重要的是要分清函数是如何复合的. 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，可以先求z x ，再求()z yx ，如方法 1; 也可以先求z y ，再求()z xy ，如方法 2. 天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn由复合函数求偏导的链式法则：如果函数( , ),( , )ux y vx y都在点( , )x y具有对x及对y的偏导数，函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数，则复合函数( ( , ),( , )zfx yx y在点( , )x y的两个偏导数存
