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1、頻度與機率函數 (常態機率函數)吳淑娟頻度(Frequency)?Frequency頻度 ( f. )?Relative frequency 相對頻度 ( r.f. )?Relative cumulative frequency 相對累積頻度 ( r.c.f. )次數分配表次數分配表我是一個很棒的人6.3 43.8 84.4 100.06.3 37.5 40.6 15.6 100.06.3 37.5 40.6 15.6 100.04 24 26 10 64Valid 完全不符合-0% 少部分符合-35% 大部分符合-70% 完全符合-100% Totalcumulative percent (
2、r.c.f)Valid percentPercent (r.f)Frequency ( f. )以圖表示-Histograms直方圖Frequency polygons次數多邊圖相對頻率直方圖Stem-and leaf displays莖葉圖樹狀圖?藉由樹狀圖可了解隨機試驗的過程及其所有可能的結果， 如下圖所示。圖5.1 丟擲兩個銅板的樹狀圖Shapes of frequency distributions抽樣方法?如何選取一組代表性的樣本 （1）簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling） N個人中選n個，共有種選法，每個人被選中的 機會為
3、。?利用亂數表?利用計算機亂數產生程式 （2）分層隨機抽樣分層隨機抽樣分層隨機抽樣分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）?將母體分成好幾層，在每層中做簡單隨機抽樣?一般若抽樣成本相同，層內變異相同，則樣本數 層內人口數（比例抽樣）?（若層與層差異大）一般較簡單隨機抽樣準確?例如森林調查：高海拔、低海拔；大樹、中樹、小 樹；機車政策滿意度調查：住校、校外；民意調 查：不同族群分層、不同縣市分層 nN nN1抽樣方法(continue) （3）系統抽樣系統抽樣系統抽樣系統抽樣（Systematic Sampling） 有某種系統機制選出樣品，例如將所有抽樣個體N分佈分
4、 成n組，每組有k個個體即在1,2, ,k 中隨機選一數r 則取第r, r+k, r+2k, , r+(n-1)k 抽出樣品?隨機母體：系統抽樣與簡單隨機抽樣效果相同?有序性母體：系統抽樣較佳?對循環（季節性）母體不適用：每年都抽8月調查消費量 （循環性的母體）?簡單範例：收費站抽樣：每100輛檢查一輛；抽樣學號尾 號為2和8的同學；按用戶用水量抽樣，每隔100戶選一 個；按使用電度數每隔10度選一戶。?注意：選取次序不能與抽樣有興趣的主題有關?每班的第1 號（號碼按身高排列）調查對象理想身高?輻射屋按住屋年代（例如每地住10年住戶）調查生疾病的比例抽樣方法(continue)（4）叢聚抽樣叢
5、聚抽樣叢聚抽樣叢聚抽樣（Cluster Sampling） 將母體分成好幾個類似的叢聚(cluster)，然後自這些 叢聚中隨機抽樣，對這些抽樣到的叢聚做普查。?不需要所有人的名單?所有的抽樣單位都在近距離內，節省因距離增加而 增加的抽樣成本?簡單範例：將森林分成好多塊，選取幾塊來普查； 將全國分成以里為單位（或鄰為單位，再抽取一 些里（或鄰為單位普查。（5）混合抽樣混合抽樣混合抽樣混合抽樣（Mixed Sampling） 將以上抽樣方法混合運用 例如：以縣市分層但以里為叢聚調查機率簡史?機率論之起源據說是由於投骰子，卡片，錢幣等之賭 博遊戲之流行及保險之發生而產生。其發展之動機是 當時商業資
6、本家作如此打賭之交易時，認為要依靠占 星術不如依靠較為確實可以致富之學術界。?16-17世紀數學大約完成古典機率論。在當時由於數學 史上微積分之發明，機率論亦因而應用此法。古典機 率論的內容由組合論進入幾何學的機率論，更與誤差 論聯結出現解析的機率論。 資料來源：姚景星教授 機率之回顧機率理論-隨機變數?離散型離散型離散型離散型（discrete variable） 離散型的變數一般為類別（category）或變數取值有一定的間 隔，類別: 例如性別，老中青年齡分類別，職業別，婚姻狀況等所 有分門別類或分組。變數取值有一定的間隔: 每家中人口數，每家 中投票數等數值變數。?連續型連續型連續型連
7、續型（continuous variable） 變數取值間可小到任意”小”的程度（忽略儀器的測量極限，而 且”小”的程度視問題而定），例如：身高，體重，生物測量值， 國家人口數。 此地”任意小”或”間隔”往往必須視問題而定，例如每家小孩數 目可視為離散變數離散變數離散變數離散變數；然而，若各國之人口數目則可視為連續變連續變連續變連續變 數數數數。 註：實際上，連續的變數為一種理想狀況，僅為方便分析或建立模 式用。 例如收入，二者之收入有一定間隔（錢幣之最小單位），但一般 仍視為連續變數。連續的變數可經由分組而離散化，而離散的變 數亦可藉由數量化而連續化（例如，住地變成距離、教育水準變 成教育年
8、數）。機率理論-如何描述隨機變數?離散型：probability mass function, probability density function (p.d.f) (1). 機率密度函數 f(x)(2). cumulative distribution function (c.d.f) （累積分配函數） F(x)?連續型：dendity function, probability density function (p.d.f) (1). 機率密度函數 f(x)(2). cumulative distribution function (c.d.f) （累積分配函數） F(x)( )()
9、KKkxXPxfii1,2,i ,=( )()( )=axiixfaXPaF()( )= IdxxfIXP( )()( )=adxxfaXpaF機率理論-基本離散型變數（1）Bernoulli（白努力分布）：二分化結果 (0，1)白努力家族：17，18世紀瑞士最有名的科學家族。一 家三代共有8名數學家與物理學家。”Bernoulli number” 及”Bernoulli分布”均源自此家族。例如：同意與否；有生病與無生病；有感染與 否；事件有無發生；零件作用與否；系統作用與否； 動物有被捕抓與否。()() 10 , 1pXPpXP=Bernoulli, Jacob (Jacques) (165
10、4-1705) ，出生於瑞士的巴塞爾 (Basel)。對於統計學家來說，其著作“ The Art of Conjectaring” 對 於機率的發展最為人知。在這書1713年出版的書中，介紹了著名 的 Bernoulli distribution 和 一些早期的排列組合的理論 。而在 1689年，他提出了大數法則的觀念。Bernoulli, Jacob (Jacques)機率理論-基本離散型變數(continue)（2）二項分布：作了n次獨立白努力實驗 X：n次中得到成功之個數例如：核能廢料運送100次輻射外洩次數；測試某零件200個 其中不良品之個數；城市感染某病之人數；歸還取樣中 同意之人
11、數。()()knkppknkXP =1機率理論-基本離散型變數(continue)（3）普瓦松分布（Poisson） 普瓦松（1781-1840）-法國人，寫了300篇關於數學天 文物理的論文。Bortkiewiczs Data（1868-1931）：最早的Poisson Data280（平均值=0.7）例如：在某一固定時間；描述重大意外事件之次數或頻 率；某時間內捕取動物之數目；某地區感染疾病之人數。 用來表示發生次數之平均值()K, 2 , 1 , !=kkekXPkSimeon Denis PoissonPoisson（17811840）生卒於法國，法國數學家。他是十九世紀最好 的分析學
12、家之一，也是第一流的數學物理學家，在機率論也有重要的 影響。 Poisson 的父親是地方政府官員，他在1798年進入綜合工科學 校，老師是 Laplace 與 Lagrange。另外 Legendre 也因為 Poisson 一篇 關於差分的文鄓注意到他。日後他們都成為 Poisson 的同僚。 Poisson 主要的工作都在數學物理上，他也實際從事物理實驗（熱 學、聲學），他為熱力學提供數學的架構，也是彈性力學的奠基者之 一。他的著作力學論(Traite de mecaniqne) 是有名的教科書。他主 要的數學貢獻之一是研究 Fourier 級數，為日後 Dirichlet 與 Riem
13、ann 的工作打下基礎。 不過 Poisson 現在更為人知的是他在機率論上的工 作，今天我們研究在長時間中偶發事件的機率模型（例如每月車禍次 數，產品中的瑕疵品數等）就是 Poisson 分布。它是普通二項分布在 次數極大，發生機率很小時的極限。另外大數法則一詞也是他發 明的，這些都收錄於他在機率論上的重要著作意見機率的研究 (Recherches sur la probabilite des jugements, 1837)，在書中他將機率應 用到社會科學。機率理論-基本離散型變數(continue)（4）超幾何分布（Hypergeometric Distribution） 設在人群中有m
14、個男性， n個女性，任取樣 r個人（不 歸還取樣） 令X：男性的個數，max(0,r-n) xmin(r,m)例如：不歸還抽樣中滿意施政之人數；重複捕取有記 號之動物。()()() ()()() ()()()111111+ = + =rnmnmnmxrnnnxmmm xrrnmxrnxmxXPKKK機率理論-基本離散型變數(continue)（5）負二項分布（Negative Binomial Distribution）NB(r,p) 在白努力實驗中，假設欲取到r個成功停止所需要的實 驗次數 X=等到第r次成功之次數， X=r,r+1, 特例：r =1 稱為幾何分布（Geometric Dis
15、tribution） 例如：歸還抽樣中直至抽到50個男性停止；動物捕取 中直到抽到某一稀有種為止。()()rkrpprkkXP =111()()K, 1 , 0,11 1,= +=YpprkrkYPrXYkr或令機率理論-基本離散型變數(continue)（6）離散均勻分布（Discrete Uniform Distribution）例如：生日的分布，彩卷數字分布。 （7）多項分布（Multinomial Distribution：MN（n;p1,p2, ,pK）一地區中有種類為j，其比率為pj,(j=1, 2, K).今歸還取樣 n次令Xj為n次中種類為j之數目x1+x2+xK= n例如：某一地區鳥種之分布；人類血型之分布；數種基因 形式之分布。()Kx KxxkkpppxxxnxxxPKKK21 21 2121!,=();1P ;,k21kxXxxxXk=KK(8) 機率理論Normal Distribution 常態模型?A normally distributed population is completely specified by its mean () and variance (2)(or standard deviation)?probability density function(p.
