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1、第四章 连续系统的频域分析4.1 信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号 可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号，任 意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指 数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析 。 矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)
2、 所组成的集合就是一个正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以 用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合 表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间， 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号 ，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组 合。 二、信号正交与正交函数集 1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足 (两函数的内积为0)则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集
3、，当这些函数在区间(t1，t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。 3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外 ，不存在函数(t)(0）满足 则称此函数集为完备正交函数集。例如：三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和 虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在 区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。( i =1，2，n)例如 ：三、信号的正交分解设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可
4、表示为f(t)C11+ C22+ Cnn 如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小，非平均误差 最小。均方误差为 为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0，写为 即 所以系数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集 ），均方误差为零。此时有 上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中 分解的各正交分量能量的总和。 当n 时，
5、均方误差为0， 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和4.2 傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数 系数an , bn称为傅里叶系数 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。式中，A0 = a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中， A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周 期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。 可
6、见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为例41 试将下图所示的方波信号f(t)展开为傅 里叶级数。解：傅里叶系数, an 方波的组成二、波形的对称性与谐波特性 1 .f(t)为偶函数对称纵坐标bn =0，展开为余弦级数。2 .f(t)为奇函数对称于原点an =0，展开为正弦级数。 实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部 分，即 f(t) = fod(t) + fev(t)由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以 3 .f(t)为奇谐函
7、数f(t) = f(tT/2)此时 其傅里叶级数中只含奇次 谐波分量，而不含偶次谐波分 量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三 角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 上式中第三项的n用n代换，A n=An， n= n， 则上式写为 令A0=A0ej0ej0t ，0=0 所以令复数称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。 n = 0, 1, 2， 表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数 信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。直流和n次谐波分量在1电阻
8、上消耗的平均功率之和 。n0时， |Fn| = An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为4.3 周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化 的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的 频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即将An和n的关系分别画在以为横轴的平 面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱 图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|和n的关系，称为双边谱。若Fn 为实数，也可直接画Fn 。例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画 出它的单边频谱图。解 首
9、先应用三角公式改写f(t)的表达式，即显然1是该信号的直流分量。的周期T1 = 8的周期T2 = 6所以f(t)的周期T = 24，基波角频率=2/T = /12是f(t)的/4/12 =3次谐波分量； 是f(t)的/3/12 =4次谐波分量；画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为1，脉冲宽 度为的周期矩形脉冲，其周 期为T，如图所示。求频谱。 令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数） , n = 0 ,1，2， Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。零点为所以，m为整数。特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置 是
10、基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。谱线的结构与波形参数的关系(图见教材P131P132)：(a) T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 (b) 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小 。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号）， 那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。 直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和 。n0时， |Fn| = An/2。周期信号一般是功率信号，其在1电阻上消耗的 平均功率，称为归一化平均功率。三、周期信号的功
11、率傅里叶级数展开式代入例： 试计算图所示信号在频谱第一零点及以内各分量的功率所 占总功率的百分比解：由图可求得信号f(t)的功率将f(t)展开为指数型傅里叶级数频谱图如右图，频谱的第一个零点在n=5，=10在频谱第一个零点内的各分量的功率和为将|Fn|带入，得即频谱第一个零点以内各分量的功率占总功率的90.3%4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换一、傅里叶变换非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋 近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率 分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之 间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱
12、密度的 概念。令 (单位频率上的频谱） 称F(j)为频谱密度函数。考虑到：T，无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量），而同时， 于是，傅里叶变换式“-”傅里叶反变换式F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数也可简记为F(j) = F f(t)f(t) = F 1F(j) 或 f(t) F(j) F(j)一般是复函数，写为F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明， 函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件: 在无限区间里 面f(T)绝对可积
13、(2)用下列关系还可方便计算一些积分二、常用函数的傅里叶变换1. 单边指数函数f(t) = et(t)， 0实数振幅频谱相位频谱2. 双边指数函数f(t) = et , 0 3. 门函数(矩形脉冲)4. 冲激函数(t)、(t)均匀谱或者白色频谱5. 常数1 有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列fn(t)逼近f (t) ，即而fn(t)满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所 形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅 里叶变换F (j)为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。 构造 f(t)=e
14、-t ， 0 所以又因此， 12()另一种求法： (t)1代入反变换定义式，有将t，t-再根据傅里叶变换定义式，得6. 符号函数7. 阶跃函数(t)归纳记忆：1. F 变换对2. 常用函数 F 变换对：(t)(t) e -t (t) g(t) sgn (t) e |t|112()4.5 傅里叶变换的性质 一、线性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) thenProof: F a f1(t) + b f2(t)= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) For example
15、F(j) = ?Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - 2Sa()-二 奇偶性其中，f(t)是t的实函数得到：1 、 2 、 3 、三、对称性质(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:（1）in (1) t ，t then（2）in (2) - then F(j t) 2f () endF( jt ) 2f ()For example F(j) = ?Ans : if =1,例： 求取样函数Sa（t）=sin t /t的频谱函数解： 已知，宽度为，幅度为1的门函数，g(t)的频 谱函数为取/2=1, =2，幅度为1/2,即根据对称性， g2(t)是偶函数四、时移性质(Timeshiftin
