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1、 微积分的产生微积分的产生划时代的成就划时代的成就解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表 述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台.微积分的创立是 17 世纪数学最重要的成就 之一，也是科学技术发展史上最重大的事件之一.1 微积分思想的萌芽微积分思想的萌芽1.1 古希腊罗马古希腊罗马微分、积分思想的发源地微分、积分思想的发源地 原子论朴素的微分和积分思想原子论朴素的微分和积分思想.古希腊的原子论者具有朴素的微分和积分思想，该学派 的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus)，代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特 (Democritus o
2、f Abdera).原子论者把宇宙间的万物看成由不可再分的原子构成，以及原子虽 然不能再分但仍有内部结构的思想，表现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积 的量 x，进行了一次微分(dx)和二次微分(dx2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥 和棱锥的体积分别等于和它们同底同高的圆柱和棱柱体积的三分之一. 极限法的早期形式穷竭法极限法的早期形式穷竭法.为了计算曲边形的面积和体积，欧多克斯（Eudoxus of Cnidos）曾提出了一个计算方法，这个方法在 17 世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是：如果对于任意的正整数 n，等式（常数）成立，且当 n时，kbann，则有
3、.他用这个方法证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥AanBbnkBA体积的公式.阿基米德(Archimedes)对穷竭法也作出了重要贡献，他在圆的度量 、 论圆 柱和球 、 抛物线求积 、 论螺线等著作中，应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分 中的“大和”与“小和”概念.并且他用这种方法计算出了球的体积和表面积、抛物线弓形 的面积以及一些旋转体的体积等数学问题. 芝诺的拟难芝诺的拟难.芝诺(Zero of Elea)是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一个科学家， 更谈不上是一位数学家，但他提出的四个拟难二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场， 客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆
4、了出来，对微积分发展有一定的 影响.其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽 有无穷多项，但其和仍为有限的；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一 时刻不仅有速度，而且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负 概念有关. 1.2 阿拉伯和欧洲中世纪阿拉伯和欧洲中世纪无限和运动的研究无限和运动的研究 在整个中世纪，希腊文化遗产在某种程度上是由逐渐缩小的、以君士坦丁堡为中心的 拜占庭帝国保存下来的.但是，在黑暗时代的几个世纪中，有效地利用这些遗产，并且最后 把它们输送到西欧去的，却是地中海地区的阿拉伯政权. 代数和三角学的确立代数和三角
5、学的确立.从 7 世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到 8 世纪，它已成为一个 地跨亚、欧、非三洲，阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力 进行天文观测，编制星表，集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期， “阿拉伯数学”却成了这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人” 的工作才得以保存下来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是 东西科学文化交流的桥梁，今天通行的“印度阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明” 等，都是通过阿拉伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件. 有继承才有发展，阿拉伯人在保留古希腊
6、罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角学的确立就是他们对数学所做出的贡献. 对无限和运动的研究对无限和运动的研究.这一时期，除了“印度阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角 学已经确立以及数学符号化已有端倪外，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数 学家们注意的中心.例如德国的红衣主教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成边数最多和 边数最少的多边形，把无限大和零分别看成自然数的上界和下界.他还说尽管“世界不是无 限的，但毕竟不能认为它是有限的，因为世界没有一条把它包围起来的界限” ，这表明了他 把无限看作一个过程的潜无限思想.14 世纪英国很有声誉的数学家苏依塞斯的重要著作算
7、 术中，已有变量、极大和极小概念的原始形式，预示了变数和导数即将进入数学领域.他 所使用的“流数” 、 “流量”等概念，被 300 年后的牛顿所采用.在无限问题上他指出，要解 决所有关于无限的诡辩，只要认识到有限和无限不能有它们的比就行了，这是关于对有限 和无限应有不同的论证的最早认识. 1.3 古代中国古代中国面积、体积与极限思想的丰富面积、体积与极限思想的丰富 简单几何图形面积和体积的计算简单几何图形面积和体积的计算.在微积分的发展历史上，对任意封闭的平面曲线围成 图形面积的计算，和任意封闭的空间曲线包围立体图形体积的计算，是产生积分概念的主 要途径之一.计算面积和体积可以追溯到原始农业社
8、会，根据我国甲骨文记载，约在 300 年 以前的殷代，就把耕种的土地分成方形小块以求面积.积分概念就是在初等几何计算面积和 体积的基础上逐渐形成的. 庄子庄子和和墨经墨经中的极限思想中的极限思想.极限概念是微积分区别于初等数学的特有概念，没 有极限概念就没有现代的微积分.战国时代的庄子天下篇中，有不少极限思想，其中 最脍炙人口的一句话是：“一尺之椎，日取其半，万世不竭.”可以理解为无穷无尽、永远 达不到极限的潜无限思想.无穷或无限概念，是极限概念的特殊情况，是微积分的重要概念. 墨经也是战国时代的重要著作之一，该书对有穷和无穷作了明确的区分.该书说， “穷， 或有前，不容尺也” ，意思是有穷就
9、是有边界的区域，用尺沿一个方向去量它一定能量完； “穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也” ，即有穷就是能量尽这个区域，如果量不尽， 就是无穷.与此同时墨经也有丰富的微分思想，比如：“端，体之无厚而最前者也” ； “端，无间也” ；“非半则不动，说在端”.第一句话就是说， “端”就是不可度量且位于物 体的最前面的东西.第二和第三句是说，如果没有空隙、也不能再进行分割的就是端.这是对 构成物质的最基本的元素相当精确的定义，实际上就是对物体经“化整为零”后的微分概 念. 极限思想的运用极限思想的运用割圆术割圆术.我国三国时的数学家刘徽提出的“割圆术” ，他从圆内接 正六边形做起，令边数成倍地增加，
10、逐步推求圆内接正 12 边形，正 24 边形，直到 正 3072 边形，用这个正 3072 边形面积来逼近圆面积，就得到 的较精确的值 3.1416， “割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这 就包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法. 另外，古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关 的极大、极小值问题，如郭守敬授时历中求“月离迟疾” （月亮运行的最快点和最慢点） 、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值（郭守敬甚至称之为“极数” ）等问题，但东 方学者以惯用的数值手段（“招差术” ，即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变
11、化率.总 之，在 17 世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是较少的.2 2 微积分孕育的半个世纪微积分孕育的半个世纪在历史上，积分概念和方法的产生先于微分.积分的原理，溯源于古希腊人所创造的计 算面积、体积和弧长相联系的求和方法，在古代的穷竭法中就已萌芽.微分思想虽然可追溯 到古希腊，但它的概念和法则几乎是 16 世纪下半叶后与近代力学同时产生和发展起来的.微分思想和积分思想起初互不相干，基本上是平行而又独立地发展着，都是对具体问题采 取具体的方法，尽管在思想上有某些相似之处，但毕竟没有形成统一的方法.这两个统一方 法形成后建立起其间联系又晚一些. 直至 17 世纪上半叶，以力学为中
12、心的一系列问题向数学提出了挑战，迫使数学家探 索新的数学思想和方法来解决求曲线的长度、曲线围成的面积和体积、物体的重心、变化 率和切线、函数的极值、物体在任意时刻的速度和加速度等大量生产、科研实践中提出的 数学问题.对上述问题的研究以及对二项式定理和级数的讨论所形成的数学思想和方法的成 熟和发展，孕育了微积分的诞生. 2.1 积分学概念和方法的产生积分学概念和方法的产生 在积分概念和方法的形成过程中，最有代表性的工作主要有： 2.1.1开普勒的同维无穷小方法开普勒的同维无穷小方法 开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)是德国著名天文学家、力学家 和数学家，在大学学习时曾接
13、触到哥白尼学说，他的思想受毕达哥拉 斯和柏拉图的影响较大，认为宇宙是上帝安排的和谐的体系，但他不 象前人那样盲目相信，而是尊重事实.他寻求宇宙是和谐体系的显著成 绩是先后总结出行星运动三定律，其中第一定律认为行星绕日运动并 非是匀速运动，其轨道也不是圆而是椭圆.这就从根本上打破了传统的、 权威的观念，是对哥白尼的天文学的重大发展. 图 5-1 开普勒开普勒的父亲好喝酒，以开酒馆为业，少年时期的开普勒常帮父亲营业.他发现当时酒 商求奥地利酒桶容积的方法不精确，经过研究在 1615 年发表测量酒桶的新立体几何 ， 该书分为三个部分，第一部分是阿基米德式的空间几何，其中大约有 90 个旋转体的体积是
14、 阿基米德没有研究过的；第二部分重点是研究酒桶体积的求法；第三部分是这一方法的应 用.在该书中，开普勒对古希腊的原子论方法作了发展用无数个同维小元素之和来确定 曲边形的面积及旋转体的体积.例如，把圆当作无限多个边的正多边形从而把无限多个以圆 心为顶点的等腰三角形面积之和计为圆面积，于是得到圆面积等于周 长乘半径之半. nSSSA21212 21rrs图 5-2他还认为球的体积是无数个小圆锥的体积之和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的 一部分；将圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一.开普勒还用类似的方法算出了圆柱、 3142RRV
15、圆环以及苹果形、柠檬形等的体积.开普勒的方法并不严格.比如，当圆分解为其底为一点之等腰三角形时，无异于说这时 的三角形是一个线段，圆的面积是无数条线段（即半径）之和.在一些问题中，开普勒也确 认面积就是直线之和.用无数个同维无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，虽然 还不严格，但确有合理之处，这也是开普勒方法的精华，他化曲为直和微小元求和的思想， 对积分学很富有启发性. 2.1.2 卡瓦列里和托里拆利的不可分量法卡瓦列里和托里拆利的不可分量法 rSiO“不可分元”并无严格的定义，费尔马、帕斯卡和罗伯瓦尔等都 有类似思想，但是以卡瓦列里的思想最典型. 卡瓦列里(Bonaventura Ca
16、valieri,1598-1647)是意大利的牧师，也是伽俐略的学生.他的积分思 想同古代原子论一脉相承，但比开普勒的方法更普遍，称之为“不可 分元法”.这一思想集中体现在他的用新方法促进的连续不可分量 的几何学(1635)和六个几何问题中两部著作之中.卡瓦列里认为 线是由无限多个点组成，就象链条由珠子穿成的一样；面是由无限多 条平行线段组成，就象布是由线织成的一样；立体则是由无限多个平行平面组成，就象书 是由每一页积累成的一样；不过它们都是对无穷多个组成部分来说的.换句话说，他把几何 图形看成是比它低一维的几何元素构成的：线是点的总和，平面是直线的总和， 图 5-3 卡瓦列里立体是平面的总和，他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”.他建立了一条关于 这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称： 两个等高的立
