第三讲 古代希腊数学(下)

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1、第三讲 古代希腊数学（下）古希腊罗马博物馆亚历山大（匈牙利, 1980）亚历山大时期：希腊数学黄金时代从公元前330年左右到公元前30年左右，希腊数学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。亚历 山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希腊埃及 ，其首都亚历山大城成为希腊文化的中心。 托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执政 后修建了（亚历山大）缪斯艺术宫，这实际上是 一个大博物馆，收藏的图书和手稿据说有5070万卷。当时的许多著名学者都被请到亚历山大里 亚，用国家经费供养着。 学者云集，人才辈出！先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。一、欧几里得

2、与几何原本 欧几里得欧几里得( (公元前公元前325-325-前前265265年年) )欧几里得（约公元前330260），应托勒密一 世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基 人。欧几里得系统地整理了以往的几何学成就 ，写出了13卷原本，欧几里得的工作不仅 为几何学的研究和教学提供了蓝本，而且对整 个自然科学的发展有深远的影响。 爱因斯坦说：“西方科学的发展是以两个伟大的 成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式 逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过 系统的实验发现有可能找到因果关系（在文艺 复兴时期）。” 一几何原本的产生公元前约300年 欧几里德（Euclid）集前人工作之大成，把欧多

3、克斯、泰特托斯、 希波克拉底等人的著作收入几何原本， 加以整理和系统化意义：欧几里德几何原本的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。二几何原本的内容简介13卷 475个命题 5个公理（一切科学公有的真理） 5个公设（某一门科学所接受的第一性原理）点、线、面原始概念 （不加定义或者说给出描述性定义：实质不 能算作定义）n第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉 斯定理、初等作图法等n第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积n第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切n第五、六卷：比例论与相似形n第七、八、九、十卷：数论n第十一、十二

4、、十三卷：立体几何，包括穷竭 法，是微积分思想的来源五条公理：1. 等于同量的量彼此相等.2. 等量加等量, 和相等.3. 等量减等量, 差相等.4. 彼此重合的图形是全等的.5. 整体大于部分.五条公设： 从任意一点到任意一点可作直线（线段）（也就是：两点决定一条直线）； 有限直线可以继续延长； 以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆； 所有直角都相等； 同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。n几何原本的不足： 1）定义并不严格 2）公理并不总是自明的：关于第五公设n第五公设的等价公设：过已知直线外一点能且 只能作

5、一条直线与已知直线平行 n高斯 、罗巴切夫斯基 、波约 创立非欧几 何 （球面几何、双曲几何、椭圆几何）n这场几何学的革命冲破了欧氏几何传统的束缚 ，从此几何学呈现出更加精彩纷呈的局面 三几何原本思想方法的特点1 封闭的演绎体系2 抽象化的内容3 公理化的方法四几何原本思想方法的深远意义近代西方数学的主要源泉之一对数学认识的一个质的飞跃古希腊数学的最高成就之一对世界数学的发展和数学人才的培养（教育与传播）产生了巨大影响几何原本的影响几何原本对后来数学思想有重要影响。 其一：公理化思想从一些基本的概念和公理出发， 利用纯逻辑推理的方法，把一门学科建立成演绎系统 的方法。后来的许多著作都仿照这种格

6、式写成，如牛 顿的自然哲学的数学原理等；其二：几何直观与严格逻辑推理的结合使欧几里得几何 长期被认为是最正宗的数学知识，笛卡儿在发明了解 析几何后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛 顿在第一次公开他的微积分发明时也要对这一算法作 出几何解释； 其三：导致非欧几何的诞生。 原本具体内容例说第、及（6）卷包含了平面几何的一些基本内容，如全等三角形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等。毕达哥拉斯定理（卷命题47）的证明是用面积来做的。勾股定理之欧几里得证 法： 首先证明ABDFBC ，推得矩形BL的面积 与正方形ABFG的面积 相等（为什么？为什么？ ） ； 同理推得矩形CL

7、的面积 与正方形ACKH的面 积相等。“新娘的轿椅“或“修士的头巾“ 第、卷中涉及所谓“几何代数”的内容，即以 几何形式处理的代数问题。例如卷命题4： 若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正 方形等于两段上的正方形加上以两段为边的矩 形（如图）。相当于代数关系式：第卷讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础的。有人认为这一卷代表了原本的最大成就，因为它在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数学危机。第卷是将比例理论由可公度量推广到不可公度量，使它能适用于更广泛的几何命题证明，从而巧妙地回避了无理量引起的麻烦。同原本的其它部分 相比，第5卷的内容颇引人争议。问题的根本解决，要到19世纪，当人们借

8、助极限过程对无理数作出严格定义之后。比例论举例:定理 如果两 个三角形的高相等, 则它们的面积之比等 于两底长之比比例定义：A，B；C，D 对任何正整数m和n，关系 BmC=m(BC)，ABmC=m(ABC)； DEn=n(DE) ， ADEn=n(ADE)。由已证明的结果，可知 也就是说， 据比例定义，有ABC：ADEBC：DE 第、卷是关于数论的内容，其中陈述了求两数最大公因子的辗转相除法，即著名的欧 几里得算法。这几卷给出了关于整数的一些定 理及其证明，特别是素数分解的唯一性、素数 个数无穷，等等。这些内容说明，将原本 看成是一部纯几何的著作是多少有些误解的。试证：素数有无穷多个.第卷讨

9、论不可公度量，并试图进行分类。该卷篇 幅最大，实际上欧几里得在这里仅涉及了可表为的无理数。最后的三卷（、）主要是立体几何的内 容，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的 体积定理以及对正多面体的讨论（在卷中证 明了正多面体只有五种）。卷中详细陈述了穷 竭法。穷竭法是古希腊数学家证明面积、体积定 理时经常使用的一种得力方法。它由安提丰首创 ，但完善、成熟的穷竭法主要归功于欧多克斯， 也就是原本卷中所记载的方法。穷竭法古希腊的安提芬(Antiphon 480-403BC)最早表述 了穷竭法，他在研究“化圆为方”问题时，提出了 使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。后来，古希腊数学家欧多克斯(

10、Eudoxus of Cnidus, 408-355 BC)改进了安提芬的穷竭法。 将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得 任意小”。 （联想古代庄子的说法！）即原本卷 命题2圆内接正方形的面积等于外切正方形面积的一半；圆内接正方形的面积大于圆面积的一半；圆内接正八边形的面积与圆内接正方形面积之差大于圆与内接正方形面积之差的一半；圆内接正2n边形与正n边形面积之差必大于圆与正n边形面积之差的一半。n1482 第一个拉丁文印刷本(威尼斯)n1607 中译本几何原本(徐光启,利玛窦)二、阿基米德的数学成就 阿基米德( (公元前公元前287-287-前前2

11、12212年年) )阿基米德（Archimedes，公元前287-212） 出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大 跟欧几里得的学生学习过，离开亚历山大 后仍与那里的师友保持联系，他的许多成 果都是通过与亚历山大学者的通信而保存 下来的。因此，阿基米德通常被看成是亚 历山大学派的成员。 阿基米德的著作很多，内容涉及数学、力 学及天文学等。 n穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数学家普遍用来证明面积和体积的方法。穷竭法可以用来严格证明已经猜想出来的命题，但不能用来发现新的结果。阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计 算相关的问题。在圆的度量中，阿基米德 将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。他从圆

12、内接正三角形出发，边数逐次加倍，计算到正 96边形而得到圆周率的近似值22/7（约率） ；355/113作为密率 ，是由中国数学家祖冲之计 算得出的，又称祖率。又，祖冲之利用刘徽的割圆术 ，从圆内接正 六边形出发一直连续计 算到正24576边形，得 到3.14159263.1415927。n阿基米德发明了求面积和体积的“平衡法”， 求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证明。 阿基米德“平衡法”与“穷竭法”的结合是严格 证明与创造技巧相结合的典范。n阿基米德用“平衡法”推导了球体积公式。刻 在阿基米德墓碑上的几何图形代表了他所证 明的一条数学定理：以球的直径为底和高的 圆柱，其体积是球体积的3/2

13、，其表面积是 球面积的3/2。n在1906年，一位叫海伯格的丹麦学者在君士坦 丁堡发现了一份新的阿基米德手稿。那是一本 羊皮书，表面看是一本祷告书，但在杂乱的祷 告文字下，竟然掩藏着公元十世纪拜占庭时期 制作的阿基米德著作抄本，其中包括一篇过去 从不为人所知的作品-阿基米德致另一位希腊 数学家埃拉托塞尼的一封信, 阿基米德在信中 陈述了15 个命题,借以阐释发现求积公式的方 法, 即通常被称为“平衡法”的方法, 此文因此又 以方法论著称。 n“平衡法”实质上是一种原始的积分法，我们下 面要介绍的阿基米德球体积公式的推导，基本 上是方法论中命题2 的复述。海伯格的发现轰动一时，那份被称作阿基米德

14、羊皮书 的手稿被誉为“20世纪最重大的考古发现”。正当更 多的人期望一探真容时，阿基米德羊皮书又神秘 地离开了它长期藏身的君士坦丁堡东正教修道院图书 馆。此后羊皮书曾转辗于法国巴黎古董商和私人 收藏家之手，直到1998年出现在纽约克里斯蒂拍卖行 。一位不愿透露姓名的买家以200万美元的巨款购得 这本看上去破旧不堪的羊皮书，不久将它托交美国巴 尔的摩华特艺术博物馆并允其公开展示。目前，阿 基米德羊皮书在华特艺术博物馆得到了现代技术的 维护和修复，并有一个很强的专家组对其进行全面深 入的研究阿基米德 圆柱容球图: 球;圆柱;圆锥球： （设球片半径r，则有圆锥：圆柱：(球+圆锥)2R:求和: 2R

15、(球体积圆锥体积)4R圆柱体积*2R (球体积 球体积 ） * 阿基米德认为:每一小片至定点的力矩和相当于整体置于中心至同一点的力矩.n与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用数 学家。在论浮体中论述了浮力原理、在论 平面图形的平衡或其重心中论述了杠杆原理。 曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉古国王亲 手移动了一只巨大的三桅货船，他说：“给我一个 支点，我可以移动地球”。在保卫叙拉古的战斗中 发明了许多军械如石炮、火镜等。后被罗马士兵 杀害，死时75岁。传说曾下令不要杀死阿基米德 的罗马主将马塞吕斯事后特意为阿基米德建墓。 应用数学家阿基米德阿基米德之墓碑阿基米德之死三、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线

16、论 阿波罗尼奥斯( (约公元前约公元前262-262-前前190190年年) )阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前262- 190）出生于小亚细亚（今土尔其一带 ），年轻时曾在亚历山大城跟随欧几里 得的学生学习，后到小亚细亚西岸的帕 加蒙王国居住与工作，晚年又回到亚历 山大。 阿波罗尼奥斯的主要数学成就是在前人 工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲 线理论，编著圆锥曲线论。 n全书共8卷，含487个命题。在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线，阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线，并给它们以正式的名称：亏曲线、齐曲线、盈曲线（李善兰翻译时取意译名椭圆、抛物线