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1、让抛物线焦点弦的倾斜角从幕后走向台前姚建明 （ 江苏省南京市大厂高级中学 ）纵观近几年全国各地的高考数学试题， 对抛 物线几何性质的考查几乎年年都有， 而且有相当多的省、 市对抛物线的考查以难题形式出现， 仔细分析这些考题后发现， 焦点弦是常考常新的一类重要题型 表是近年来全国各地对抛物线焦点弦的考查情况统计表表年 份考查内容： 抛物线的焦点弦 年 天津理 重庆理 安徽文 ， 理福建文 北京理 年 江西文 山东文 年 湖南理 重庆理 重庆文 山东文 年 福建理 湖北文 全国文 全国理 年 江西理 全国 理 广东文 广东理 从表可以看出， 高考对抛物线焦点弦的考查每年都会出现， 并且文理科都有涉
2、及， 题目难度也大多偏难， 因此熟练掌握抛物线焦点弦的性质将有助于高考许多学生和教师都有过这样的体验： 遇到抛物线焦点弦问题时， 通常采用的求解思路是先设出该焦点弦所在的直线方程， 然后与抛物线方程联立， 消元化简， 通过解方程的办法求解 此种解法思路简单易懂， 但由于计算量较大， 要快速准确地解出结果， 实为不易 但如果我们能注意到焦点弦的倾斜角这个常常被我们在解题中忽略的几何元素， 充分挖掘其在抛物线中的性质， 推导出与之相关的一些有用结论，这对我们的学习将大有裨益， 同时也可以方便、 快速、 准确地求解相关高考题以抛物线 （）为例定义： 连结抛物线上任意两点的线段叫抛物线的弦， 特别地，
3、 经过焦点的弦叫焦点弦定义： 当焦点弦垂直于轴时， 该焦点弦称为抛物线的通径记焦点弦端点（，） ，（，） ， 过， 分别作准线的垂线， 垂足分别为，为焦点，为直线 的倾斜角（ 下同） ， 则有如下两个结论：图结论 如图， 梯形 与焦点弦的倾斜角相关， 且（） ， ； （）梯 形 的面积为 ；（）若 ， ， 则 ， 槡 ， 证明 （） 因为直线 过焦点 ，（）， 从而设直线 的方程为 （ 其中 ） ， 即 ， 代入抛物线 ， 得 ， 所以， ， 同时， 由于 （）， 所以 ， 由抛物线几何性质得 （） （） 同时，（）槡 说明 由性质（）可知， 当倾斜角 时， 最小， 由此也可说明抛物线的焦点弦
4、 中通径最短（）梯形 面积 （ ） ， 将性质（） 代入可得梯形 面积 说明 由性质（）可知， 当倾斜角 时， 梯形面积最小（）过点 作 ，垂 足 为，在 中， 年第期 中学数学月刊 ， 所以 槡 结合性质 可得 图结论 如图， 切线与焦点弦的倾斜角相关若为的中点， 则直线和分别与抛物线相切于点和点， 且两切线的倾斜角分别为和 证 明先 证 直 线，与抛物线相切由 于为 线 段的 中 点， 可 设，（），于 是 直 线的 方 程 为 ， 与 联立消去， 得（） 化简得， 即 ， 此时， 可知直线与抛物线相切于点同理可证， 直线与抛物线相切于点下证两切线的倾斜角分别为和由抛物线的几何性质及平行线
5、性质，可知 平 分 ， 平 分 ， 于 是 所以在 中， 又因为 ， ，所 以 同 理， 由全等得到平分，平分， 于是 ， 即两切线和互相垂直另一方面， 由全等知 ， 所以切线的倾斜角为， 又由可得切线的倾斜角为说明 由全等还可以得到如下有用结论：（） ； （） 的面积等于梯形 面积的一半， 即 性质的应用 例 （ 年天津卷理科第 题）已知抛 物线 （） ， 焦点为， 准线为， 过抛物线上一点作的垂线， 垂足为， 若 ， 点的横坐标是， 则 图解 在 中，因为 ， 所以 为 等 边 三 角形， 于是 ， 因此 在 中， ， 即 ， 即 （）， 计算得 解后反思 本题直接使用倾斜角， 设而不求，
6、 大大简化了运算若采用常规方法， 用解方程（ 组）的方法求解则较为繁琐用此法还可方便地求解 年全国卷文第 题、 理第 题以及 年北京卷理第 题等图例 （ 年江西 卷理科第 题）过抛物线 （） 的焦点作倾斜角为 的直线，与 抛 物 线 分 别 交 于，两点（ 点在轴左侧） ， 则 解 设 ， ， 则对于抛物线 （） ， 由结论（） 有 （） ， 即 由于倾斜角 ， 所以 ， ， 即 解后反思 本题巧妙之处在于灵活使用了焦点弦的倾斜角， 从而使问题轻易得到了解决 用此法还可方便地求解 年重庆卷理第 题、 年安徽卷文第 题以及理第题、 年江 西卷文第 题、 年重庆卷理第 题、 年中学数学月刊 年第期
7、福建卷理第 题、 年全国卷理第 题等 表中所列的绝大部分高考题 另一方面， 由此也可以看出， 近五年高考对抛物线焦点弦的考查大多集中在对焦点弦长度和焦半径长度的计算上例 （ 年湖南卷理科第 题）过抛物 线 （） 的焦点作斜率为的直线，与抛物线分别交于，两点，在轴上的正射影分别为， 若梯形 的面积为槡 ， 则 图解 对于抛物线 （） ， 由结论（） 有梯形 的面积为 （） ， （） 本题斜率为， 故 因为梯形 的面积为梯形 的面积与矩形 的面积之和， 而矩形 的面积为 槡， 所以槡 槡 槡 ，所以解后反思 本题灵活使用了与焦点弦的倾斜角相关的梯形面积公式等， 从而大大减少了该题的计算量， 使问题
8、顺利得到解决例 （ 年湖北卷第 题）如图， 过抛物线 （） 的焦点的直线与抛物线相交于，两点， 自，向准线作垂线， 垂足分别为，（）求证： ；（）记 ， ， 的面积分别为， 试判断 是否成立， 并证明你的结论证明 （）由抛物线的几何性质及平行线性质， 可知 平分 ， 平分 ，于是 ， 即 （） 成立证法 不妨令 ， ， 直线图的倾斜角为，则 ， 则 的面 积 ， 的 面 积 （） 由余弦定理可得 （ ）， （）（ ）， 所以 的面积 （ ） （ ） ， 故结论成立证法 由证法得 的面积 ， 的面积 （） 由结论（） 得 的面积 另一方面， 由结论（） 可得 槡 ， ， 计算可得 （）， 而 （
9、）， 所以 成立解后反思 本题（）的证明， 两种方法都充分利用了焦点弦的倾斜角这一变量， 特别是证法， 倾斜角的作用发挥得淋漓尽致， 起到了化难为易、 化繁为简的作用例 （ 年高考全国卷第 题） 已知 抛物线的焦点为， 点，是抛物线上的两个动点， 且 （） ， 过，两点分别作抛物线的切线， 设其交点为（）证明 为定值； （）设 的面积为， 写出（） 的表达式， 并求出的最小值解 （）因为 ， 所以，三点共线， 于是 为焦点弦 过，分别作准线的垂线， 垂足分别为和 因为直线和分别为抛物线在焦点弦端点，处的切线， 所以由结论的证明可知，点在准线 上， 且为的中点， 于是由结论的说明可知， ， 因此 年第期 中学数学
