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1、 Chapter 3 參數曲線(Parametric curve) 有很多的曲線無法以單純的 y=f(x) 或 x=g(y) 來表示 例如上圖曲線至少需以三個 y對 x之函數來表示，十分不便。 若採用參數曲線,亦即 x=f(u), y=g(u), aub, 則表達上相對容易許多!例如平面 上圓的方程式為 x2+y2=r2,其參數式為 x=r cos(u), y=r sin(u), 0u2. 又在電腦 繪圖中,曲線皆以參數式表達. P(u)= (x(u),y(u), ou1; x(u),y(u)通常為 u的多項式! 回顧之前的 LaGrange 內插與 Hermit 內插,首先: 1. Lagr
2、ange 內插： 內插Pii=0n,首先引進i=i/n, i=0,1,n 再分別求出通過(xi,i)i=0n和(yi,i)i=0n的 Lagrange 多項式 x(u) = i=0n xiLn,i(u), y(u) = i=0n yiLn,i(u) 或寫成 P(u) = i=0n PiLn,i(u) 同理 2. Hermit 參數曲線亦可以求出,但在微分的處理上需稍加注意. 以下圖 Hermit 參數曲線作為例子說明: ( )xfy1=( )xfy2=( )xfy3=1P2P3P4P5PnP6P0P1P已知 Pii=0 , x,0 與x,1 , 則其 Hermit 多項式最多為三次, 今欲以參
3、數是表示: x = d/d = d/d/d/d = u/u 所以x,i =u,i/u,i 則題目變成已知Pii=0 ,Pu,ii=0 , 求其 Hermit 參數曲線, 吾人將不用第二章的 Hemite 多項公式,而另行推導 P(u) = au3+bu2+cu+d, -(3,1) 亦即 (u) = axu3+bxu2+cxu+dx, -(3,2) (u) = ayu3+byu2+cyu+dy, -(3,3) 又(3,2), (3,3)中有八個未知數待求,可由 P(0) = d -(3,4) P(1) = a+b+c+d-(3,5) Pu(0) = c-(3,6) Pu(1) = 3a+2b+c
4、-(3,7) 求出, 其解為 a = 2 P(0) -2 P(1) + Pu(0) + Pu(1) -(3,8) b = -3P(0) +3 P(1) -2 Pu(0) - Pu(1) -(3,9) c = Pu(0) -(3,10) d = P(0) -(3,11) 將(3,8)(3,11)代入(3,1)整理後可得 P(u) = (2u3-3u2+1)P(0) + (-2u3+3u2)P(1) + (u3-2u2+u)Pu(0) + (u3-u2)Pu(1) = F1P(0) + F2P(1) + F3Pu(0) + F4Pu(1) -(3,12) 與第二章的 Hermit 多項式 H3,i
5、和 ?3,i相通, 但(3,12)比傳統的 Hermit polynomial (2,20), (2,21)較為節省運算量, (ps.當然若把 u2視為 u*u , u3視為 u2 * u 來運算會比較省時) 通常在電腦繪圖(CG)或電腦輔助幾何(CAGD)上,皆好用(3,12)的形式表示, 其中 P(0), P(1), Pu(0) 和 Pu(1) 稱為控制點, 而 F1, F2, F3 和 F4 稱為基底函數(basis function)或摻和函數(blending function) 而(3,12)可寫成 P(u) = F1(u) F2(u) F3(u) F4(u) P(0) P(1)
6、Pu(0) Pu(1) t 矩陣相成的型態,簡寫成 P(u) = Ft B -(3,13) 其中 F = F1(u) F2(u) F3(u) F4(u)t ; B = P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t 對任何的 B, F 都不變. 習慣上, (3,1)稱為代數形式,可改寫為 P(u) = au3+bu2+cu+d = u3 u2 u 1 a b c d t =Ut A -(3,14) 其中 U=u3 u2 u 1 t ; A=a b c d t (3,13)稱為 P(u)之幾和形式, (3,14)稱為 P(u)之代數形式, P(u) = Ft B = Ut A 可進一步合併 P(
7、u) = F1(u) F2(u) F3(u) F4(u) P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t = u3 u2 u 1 2 -3 0 1 同理 F2 F3 F4 亦可以此種形式表示, 故 Ft = F1 F2 F3 F4 =u3 u2 u 1 MF = Ut MF -(3,15) 其中 MF 稱為 Hermit Basis transform matrix. 將 (3,15) 代回 (3,13) ? P(u) = Ut MF B -(3,16) 而 Ft = Ut MF , A= MF B, 將(3,16)展開來為 P(u) = u3 u2 u 1 MF P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t , 0u1, 結論： 在電腦繪圖(CG)或電腦輔助幾何(CAGD)上,亦常以 (3,16)表示, 對不同的基底函數有不同的 MF 而已 上一章 回本頁 下一章
