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1、第二章 材料科学研究中常用的数值 分析方法典型模拟方法及所对应的模拟尺度材料模拟技术中对应的时间空间尺度 在科学技术及工程领域，许多力 学及物理问题已经得到了反映其规 律的基本方程（微分方程）和相应 的定解条件。但只有少数性质较简 单、边界较规整的问题能通过精确 的数值计算得到解析解。n 解决此类问题的通常途径：n对方程及边界条件加以简化，得到问题 在简化条件下的解答；（只在少数情况下 有效，因为过多的简化会引起模型失真， 导致较大的误差，甚至得到错误的结论）n采用数值解法，得到模型的数值解。随 着计算机技术的发展和应用，数值分析方 法已经成为求解科学技术问题的主要工具 。n目前，常用的数值分
2、析方法大致分为两大 类：有限差分法和有限元法。 n直接法和间接法。n直接法：精度高，重复工作量小，但编制 计算程序复杂，对计算机资源占用较多。n间接法：即迭代法。计算程序简单，占用 内存小，但重复工作量大，计算精度取决 于迭代次数。第一节 线性方程组的数值解法一、直接法：可经过有限次运算，求得在一定舍入误差内的精确 解。1、高斯顺序消去法 解线性方程组AXb，对增广矩阵A：b顺序作初等 行变换，把矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得 到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中， aii(i)0 .x1=1,x2=2,x3=3.课堂作业 ：解：X(1，1，1)T 2、高斯列主元消去法 课 后
3、 作 业 （高斯列主元消去法）在四位十进制的限制下，分别用顺序高 斯消去法和列主元消去法求解下列线性 方程组。用顺序消去法得：x1=-104.0,x2=100.0,x3=5.546 用列主元消去法得：x1=17.46，x2=-45.77,x3=5.546 3、追赶法方程组的解可用递推公式表示为：课堂作业 （追赶法）答案：x1=0.2,x2=0.2,x3=-0.5,x4=0.8,x5=0.3 二、间接法（迭代法） 直接法比较适用于中小型方程组。对高 阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但 在运算中很难保持稀疏性，因而有存储 量大，程序复杂等不足。 迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计 算简单，编制程序
4、容易的优点，并在许 多情况下收敛较快。故能有效地解一些 高阶方程组。对于方程组 AX=b，构造一个x(k)值，代入 方程组，得出x(k+1)值，再不断迭代，使迭代 值收敛于方程组的精确解。这个逼近的过程 称为迭代法。迭代法分为：简单迭代法；高斯赛德尔迭 代法；超松弛法等。1、雅可比(Jacobi)迭代法（简单）课堂练习课 后 作 业用Jacobi迭代法求解方程组，要求解为：x10.231087，x20.147055,x30.508393 2、高斯塞德尔（Gauss-Seidel) 迭代法 用Gause-Seidel迭代法求解方程组，要求课 后 作 业3、超松弛迭代法课 后 作 业 试用1.25
5、的超松弛迭代法求解方程组 ，要求解为，x11.50005，x23.33331,x3-2.16667 31/24ElectronicAtomicContinuum计算材料科学中的多尺度问题Time (s)Length (m)10-1410-710010710-910-610-3100Microstructual 应力 应变 温度 流场 相分数 晶粒尺寸 组织形貌 浓度场 晶体结构 缺陷运动 有限差分方法是计算机数值模拟最早采用的 方法，至今仍被广泛运用。 该方法将求解区域划分为差分网格，用有限 个网格节点代替连续的求解域。 有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控 制方程中的导数用网格节点上
6、的函数值的差 商代替进行离散，从而建立以网格节点上的 值为未知数的代数方程组。 该方法是一种直接将微分问题变为代数问题 的近似数值解法，数学概念直观，表达简单 ，是发展较早且比较成熟的数值方法。 第二节 有限差分法（FDM）差分的概念：某物理量的增量。n1、向前差分：n(1)一阶差分:n(2)二阶差分：n一般的m阶差分用m-1阶差分定义：n 称为向前差分算子。 2、向后差分： （1）一阶差分： （2）二阶差分： m阶差分为 称为向后差分算子。 3、中心差分表示中心差分算子。二阶中心差分： 4、差商：为函数差分与自变量差分之比。l概述实质是以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数
7、值计算 代替数学推导的过程，将连续函数离散化 ，以有限的、离散的数值代替连续的函数 分布。有限差分法的主要步骤：n差分方程的建立在建立差分方程前 ，均需对所求解区域进 行离散化。 1、合理选择网格布局及 步长将自变量x,y分别 沿x,y轴方向离散，形 成离散化网格。网格交 点称为节点（或结点） ，依次将节点编号。i,j+1i,ji-1,ji+1,ji,j-1xy2、将微分方程转化为差分方程n实际上是以差分代替微分，以差商代替微 商，是以有限小量代替无限微量的近似化 过程。有限差分法计算的误差分析nuiu(x)n将离散化的i+1,i-1结点的函数值ui+1,ui-1分 别按Talor级数展开：例
8、：利用差分法求解方程v对此高阶方程组求解，即可得各结点的数值解。第三节 有限元法nfinite element methodn有限元分析技术是最重要的工程分析技术之一。n用有限个单元将连续体离散化，是通过对有限个 单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种 数值方法，单元之间通过有限个节点相互连接， 然后根据能量方程或加权残量方程可建立有限个 待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就能 得到有限元法的数值解。n在有限小的单元内设定试探函数。n基本理论要用到数学、力学方面的各种知识。n有限元法的发展离不开计算机。 一、有限元法的基本概念 直接刚度法n只能处理一些比较简单的实际问题，但 对理解和明
9、确有限元法的一些物理概念 很有帮助。n例：杆的一端固定，另一端承受P 1000N载荷，顶部宽w1=2cm，底部宽 w2=1cm，厚度为t=0.125cm，长度 L=10cm，弹性模量E=10.4106MPa。 分析杆沿长度分析不同位置的变形情况 ，杆的质量忽略不计。n将求解区域离散化，划分为5个结点和 4个单元，每个单元的面积为组成该单 元的结点处面积的平均值。n长度为L，具有均一截面A的固体单元 在受到外力F时，1、前处理过程广义胡克定律： 静态平衡要求 作用在每个结 点上的力的总 和为零，得到 以下方程：将以上方程写成矩阵形式，且R1=P。2、求解阶段施加边界条件，由于杆的顶端固定，u10
10、，求解以上方程组， 即可得到各结点位移。3、后处理阶段利用结点位移，可求解各个单元中的平均正应力及应变。二、有限元程序的结构和特点v有限元法的实现必须通过计算机。全部有限元法 的计算原理和数值方法集中反映在有限元法的程序 中。v有限元法程序总体分为三个组成部分：前处理部 分、有限元分析本体程序、后处理部分。v一个使用方便的有限元分析程序不仅要有可供选 择输出内容的文本文件，还需要结果的图形显示。有限元方法是求解偏微分方程的一种数值方法偏微分方程是描述客观世界数量关系的一种重要的数学方法。大量的工 程、科学、技术和生产问题常常归结为微分方程的求解。以前只能采用解析 法求解微分方程，远远不能满足实
11、际的需要。有限元方法原则上可以求解任 何复杂的偏微分方程和任何复杂的求解区域问题。有限元软件是高科技大厦的重要支柱有限元软件适用面广，通用性强。随着科学技术和生产的迅速发展，有 限元方法的应用越来越广泛，今天各企业、设计、科研部门已普遍采用有限 元方法进行生产过程的数值模拟、科研的数值试验和产品的优化设计。有限元方法读输入数据、空间分配、 数据检查施加载荷增量计算等效节点载荷矢量组集矩阵矩阵求解应力计算收敛结果输出下一增量步停止是否迭 代 循 环时间 步循 环否有限元求解的步骤Two way flow of statistical information11e21e41e61e9Enginee
12、ringLength Scales ( )PhysicsChemistryMaterials0A Information flowStatistical filterElectronicNanoscaleMicroscaleMesoscaleContinuum材料的多尺度模拟未来发发展趋势趋势 多尺度模拟拟54应用领域1电子行业按键舒适性分析电视机线性动力学分析热传导和热应力问题分析 共晶焊点热疲劳失效分析复杂几何体的冲击损坏 断裂和材料失效分析应用领域2水工大坝大坝施工过程模拟蓄水模拟快速降水模拟 抗震模拟断裂和材料失效分析应用领域3桥梁工程桥梁施工过程模拟美国金门桥地震响应分析 荆沙长江斜
13、拉桥结构三维仿真荆沙长江斜拉桥模态分析荆沙长江斜拉桥地震响应分析 桥梁基础沉降分析应用领域4隧道边坡隧道开挖问题非饱和膨胀土的开挖问题边坡稳定的剪切带计算应用领域5高层建筑高层建筑结构的振型分析高层剪力墙弹塑性动力分析某博物馆抗震结构分析 应用领域6加工成形工字钢成形过程模拟飞剪过程模拟 厚板材辊压成形过程模拟弯管成形过程的模拟 钣金成形过程的模拟 起皱及掉底模拟应用领域7核工业核反应堆结构热应力分析预应力混凝土压力容器安全性分析核电站地震响应分析 轻水反应堆中管道的安全分析应用领域8汽车工业曲柄连杆机构的模拟缸体温度场分析 整车有限元分析在不平整的路面上行驶发动机密封系统分析汽车冲撞过程模拟应用领域9航空航天波音787飞机蒙皮变形分析F-16复合材料水平尾翼强度分析起落装置的安全性分析 鸟撞事故分析返回式卫星热剥离分析发动机叶片剥离分析应用领域10军事工业子弹穿甲模拟分析子弹穿甲应力场分析潜艇的水下爆炸模拟应用领域11石油化工接管应力分析储液罐罐壁变形分析海底石油管道和海床之间结构分析石油管道焊接过程模拟应用领域12民用医疗心脏支架受力分析人体骨骼强度分析弹簧片损坏分析 有限元（FEM）能够够准确的拟拟合构件的 边边界形状，算法复杂杂。 有限差分（FDM）不能进进行应应力分析
