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1、随机变量的 分布函数随机变量的 分布函数单调不减性单调不减性规范性规范性右连续性右连续性离散型随机变量 的概率分布律离散型随机变量 的概率分布律非负性非负性抽样数据的抽样数据的抽样数据的抽样数据的 描述统计描述统计描述统计描述统计连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 1)定义定义:如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数的分布函数F x( )存在 非负函数存在 非负函数( )x，使对于任意实数，使对于任意实数x xR,，有，有F xt dtx( )( )， 则称， 则称X为连续型随机变量，其中，为连续型随机变量，其中，( )x称为称为X的概率密度函数。的概率密度函数。2)性质：
2、性质： (1)( )x 0;(2)( )x dx 1;2.4 连续型随机变量2.4 连续型随机变量3)已知概率密度求分布函数已知概率密度求分布函数 21)()()(1221xxdxxxFxFxXxP . 4)已知分布函数求概率密度：已知分布函数求概率密度： 即即X落在区间落在区间,(xxx上的概率近似地等于上的概率近似地等于( ) xx.若若( )x在点在点x处连续，则处连续，则Fxx( )( )即即( )lim()( )xF xxF x xx 0xxxXxPx )(lim 0当当x0时，时，xxFxxxxXxP)()()(5)结论：结论：(1)对连续型随机变量对连续型随机变量X，P Xc 0
3、 (2)P aXbP aXb()() )(bXaP )(bXaPF bF a( )( ) (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数。连续型随机变量的分布函数是连续函数。连续型随机变量与离散型随机变量的区别：连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1)由于连续型随机变量由于连续型随机变量X是在一个区间内取值， 所以它的所有可能取值不能一一列举出来，因 而不能用分布律来描述它。是在一个区间内取值， 所以它的所有可能取值不能一一列举出来，因 而不能用分布律来描述它。2)它在任一指定值的概率为它在任一指定值的概率为 0。即：。即：P Xc() 0例例 1.一个靶子是半径为一个靶子是半径为 2 米的圆盘
4、，设击中靶上任一同 心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设 射击都能中靶，以米的圆盘，设击中靶上任一同 心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设 射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离， （表示弹着点与圆心的距离， （1）试求随机变量）试求随机变量X的分布函数的分布函数F x( )；（；（2）将靶 的半径）将靶 的半径 10 等分， 若击中点落在以等分， 若击中点落在以 0 为中心， 内外径分别为为中心， 内外径分别为210i 及及i 1 102的圆环内，则记为的圆环内，则记为()10 i环，求一次射击得到环，求一次射击得到()10 i环的概率环的概率(, , )i 019。解：（
5、解：（1）求）求)(xFx2当当0x时，时，xX 是不可能事件，则是不可能事件，则 0)(xXPxF 当当20x时，时， )(xXPxF00xXPXP220xkxk kkXP42202 而而20X是必然事件，因此，是必然事件，因此，120XP即即14k，41k。4)(2xxF当当x 2时，时，Xx是必然事件，是必然事件， 1)(xXPxFF xx xxx( ),00402122（2）)102()10) 1(2()10) 1(2 102(iFiFiXiP1 441 1001 44 10021 10022()iii(, , )i 019环数概率1 1003 1005 1007 1009 10011
6、 10013 10015 10017 10019 10012345678910例例2.随机变量随机变量X的分布函数为的分布函数为 RxRxRxxxF, 10,0, 0)(22， 求求X的概率密度。的概率密度。 解：解： 其它, 00,2 )(2RxRx x注意：注意：xR时，左导数为时，左导数为2 R，右导数为，右导数为 0 ，所以，所以，F x( )在在xR不可导，现规定不可导，现规定( )( )RFR 0。 即：。 即：( )x在在xR间断间断.(密度函数密度函数f x( )不一定连 续。不一定连 续。)例例 3.使用使用t小时的电子管在以后的小时的电子管在以后的t小时内，损坏的概 率为小
7、时内，损坏的概 率为tot(),0，求电子管寿命（即电子 管损坏前已使用的时数）的分布函数。，求电子管寿命（即电子 管损坏前已使用的时数）的分布函数。 解：设电子管的寿命为解：设电子管的寿命为T，它的分布函数为，它的分布函数为)(tTPtF。 当当t 0时，时，F t ( ) 0 当当0t时，时，)(ttTPttF ttTtPtTP |)(tTPtTttTPtF )(1)()(tFtottF 即即F ttF ttotF t()( )()( )1)(1 )()()(tFttot ttFttFlim()( )lim()( ) ttF ttF t ttot tF t 001F tF t( )( )1
8、 0, 00,1)(ttetFt 。例例 4.设随机变量设随机变量X具有概率密度为具有概率密度为 ( ), ,xkex xx 3000， 试确定常数试确定常数k，并求，并求P X(. ) 01及及F x( )。解 ：解 ： (1)( )x dx 1，kedxx301，kex 1 3130， k3，即即 ( ), ,xex xx 30 003(2)P Xx dxedxx(. )( ) .01330 10 1 ex30 10 7408.(3) 当当x 0时，时，F xdxx( ) 00一般，随机变量一般，随机变量X的分布密度为的分布密度为 ( ),xexxx 000， 0，则称，则称X为指数分布，
9、记为为指数分布，记为e( )。 （常用在产品的寿命）。 （常用在产品的寿命）当当x 0时，时，F xdxedxxx( ) 03030 eexxx3031 F xexxx ( ),10003例例 5. 设连续型随机变量设连续型随机变量的密度函数为的密度函数为 其它，010,4)(3xxxp（1） 若已知存在） 若已知存在a， 使， 使aPaP， 试求常数， 试求常数a （2） 已知） 已知05. 0(bP，试求常数，试求常数b。 解: (1)解: (1). 1 aPaPaP 5 . 0, 0 aPaPaP 由密度公式显然可设由密度公式显然可设)1, 0( a4 043000|40)()()(at
10、dttdttpdttpdttpaPaaaa .8409. 05 . 04a(2)41314bdttbP b .9873. 095. 005. 0144b例例 6.连续型随机变量连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为( ), ,xAxex xkx 2120 00其中，其中，k为正整数。求系数为正整数。求系数A的值。的值。 , 1222 kAk2212kAk.ktedtk t 2210 令令xt 2，则，则Atedtkk t 22121210解：解：( )x dxAxedxkx 212 01连续型随机变量连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 0,00,221)(2122xxexkxxkk 称随机变量称随机变量X服从自由度为服从自由度为k的卡方分布，记为的卡方分布，记为Xk( )2。函数：函数：( ),xedxx100函数的性质：函数的性质：()( )1 ()!nn1( )1 2
