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1、财务工程学 第2章远期及远期的定价*2从本章开始，我们将介绍财务工程的基本定价 技术，其中的关键是衍生金融工具的定价。 定价（pricing）是确定衍生工具的理论价格， 它既是市场参与者进行套期保值、投机和套利 的依据，也是金融工程师CHUANG造金融工具 对外报价的依据。 定价技术是基于对市场作为一定的假设下得到 的，实际的交易价格以此为基础。 将介绍远期、期货、互换、期权，这四种金融 工具的定价方法。 从理论上说，任何复杂的金融工具的定价都可 以据此推导出来。产生的背景： 19世纪30-40年代,芝加哥成为美国中西部地区的重要的农 产品集散中心.由于农产品具有很强的季节性,在农产品收 割季
2、节,农产品大量涌入芝加哥各类农产品交易市场.产生 了很大的问题. 交通运力不足的问题 交通道路问题 仓储问题 短时间内供大于求 完成交易的粮食的及时疏散问题 导致农产品价格在丰收季节价格暴跌,大量谷物无人问津, 不仅严重挫伤了农民的积极性也造成了严重的浪费. 到了第二年春季青黄不接的时候,因粮食短缺,价格飞涨,造 成加工企业原料不足生产困难,消费者成为最终的受害者. 粮食商人在供求矛盾的不断冲击下,开始行动起来 在交通要道的两旁建立仓库,收获季节从农民手中 收购粮食,然后根据市场供应情况,再不断的发往 外地.但是这样虽然解决农民卖粮难的问题,但是 另一个问题也产生了 粮食商人处于严重的价格风险
3、中 为了解决这一问题,粮食商人购入粮食以后,立刻 开始寻找粮食加工商,销售商签订供货合同,以事 先确定的价格确定未来的粮食销售,以确保利润. 1848年芝加哥的82位商人发起成立了芝加哥交易所 (Chicago Broad of trade).起初这个交易所仅仅是一个商会 组织,致力于改进运输和仓储条件,为会员提供价格信息服 务,促进买卖双方达成交易. 由于当时的交通,通信条件的限制,粮食运输很不可靠,从美 国东部等其他地方传来的供求消息很长时间才能到达芝加 哥,粮价波动很大.客观上需要避嫌工具. 1851年芝加哥交易所引进了第一份远期合约.农场主可以 利用远期合约来保护他们的利益,避免粮食运
4、到芝加哥市 因价格下跌或需求不足而造成损失;加工商或销售商也可 以利用远期合约减少各种原因而引起的加工费上涨的风险 ,保护自身的利益.*62.1 远期合约的结构 远期合约是衍生工具的基本组成元素。 定义2.1：远期合约（forward contract）是 买卖双方约定未来的某一确定时间，按确 定的价格交割一定数量资产的合约。 标的资产（underlying asset）：任何衍生工具 都有标的资产，标的资产的价格直接影响衍生 工具的价值，即由标的资产衍生。 交割日（delivery date）：交割时间交割价格（delivery price）：合约中规定的价 格*7 多头（long posi
5、tion ）和空头（short position）：合约中标的资产的买方和卖方 记号：t时刻标的资产的价格St，K代表交 割价格，到期日为T。 到期日远期合约多方的收益为ST-K 空方的收益为K-ST 注意：任何衍生金融工具都是零和博弈。 *9 定义2.2 ：远期价格（forward price）：任 意时刻t，使远期合约价值为零的价格为远 期价格。根据无套利原理，远期合约签订之日，远期合 约价值为零，交割价格远期价格。随着时间推移，远期理论价格有可能改变，而 原有合约的交割价格则不可能改变，因此原有 合约的价值就可能不再为零,交割日远期价格为 多少？远期价格与现货价格紧密相连，理解：小麦远期
6、与小麦现货，可以把它们作为两种 商品对待。*10 远期合约是适应规避现货交易风险的需要 而产生的 。 远期合约是非标准化合约。优点：灵活性较大。在签署远期合约之前，双 方可以就交割地点、交割时间、交割价格、合 约规模、标的物的品质等细节进行谈判，以便 尽量满足双方的需要。*11缺点： 1. 非集中。远期合约属于柜台交易，没 有固定的、集中的交易所。不利于信息交 流和传递，不利于形成统一的市场价格， 市场效率较低。 2. 流动性较差。非标准化，每份远期合约 千差万别，这就给远期合约的流通造成较 大不便，故远期合约要终止是很难的。 3. 没有履约保证。当价格变动对一方有利 时，对方有可能无力或无诚
7、意履行合约， 因此远期合约的违约风险较高。 *122.2 现货-远期平价定理 在远期合约的最初，交易双方同意一个就 某项资产到期时候的执行价格，这个价格 如何确定呢？它到底与现货价格有什么关 系。 例子：蒙娜丽莎的现货价格与远期价 格，假设你拥有它，并想卖掉她如果立即交付， 蒙娜丽莎的现货价格市 场价格*13 假设有个买主想要将蒙娜丽莎的交付 期推迟一年机会成本：如果现在出售，卖主则可以得到现 金，投资于无风险债券，因此，一年延期的成 本就是放弃的利息收入，当然还有保管费、保 险等费用收益：可以开办画展等 所以，远期价格随着机会成本的增加而上 升，且随着标的资产收益的增加而下降。*142.2
8、现货-远期平价定理 回顾：连续复利的概念若名义利率为r，一年（期）平均付息m次 ，则相应的有效利率rm为后者为连续复利，如果是T年（期），则*16 定理3.1（现货-远期平价定理）：假设远期的到 期时间为T，现货价格为S0，则远期价格F0满足 F0=S0erT。 证明：（反证法）我们可以采用套利定价的方法 来证明上述结论。假设F0S0erT ，考虑下述投资策略：投资者在当前（0时刻）借款S0用于买进一个单位的标 的资产，同时卖出一个单位的远期合约，价格为F0， 借款期限为T。在远期合约到期时（T时刻），投资者用持有的标的资 产进行远期交割结算，因此获得F0，偿还借款本息需 要支出S0erT。*
9、17 因此，在远期合约到期时，他的投资组合的净收 入为F0-S0erT ，而他的初始投入为0，这是一个无 风险的套利。 反之，若F0S0e rT，即远远期价格小于现货现货 价格的 终值终值 ，则则套利者就可进进行反向操作，即卖卖空标标 的资产资产 S0，将所得收入以无风险风险 利率进进行投资资 ，期限为为T，同时买进时买进 一份该标该标 的资产资产 的远远期 合约约，交割价为为F0。在T时时刻，套利者收到投资资 本息S0erT，并以F0现现金购买购买 一单单位标标的资产资产 ， 用于归还卖归还卖 空时时借入的标标的资产资产 ，从而实现实现 S0erT-F0的利润润。 上述两种情况与市场上不存在
10、套利机会的假设矛 盾，故假设不成立，则F0=S0erT。证毕。*18理解：现货-远期平价定理 一个农民想把他的牛卖掉，若今天的价格 为S0，那么如果他1天（月、年）后卖掉， 即为牛的远期价格F0，不计牛的饲养成本 ，那么牛远期应该比牛现货价格高？若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无 风险利率投资就获得利息。F0=S0erT*19 如果这只牛在10天后交割，而这只牛 在此期间会产下一头小牛，假定这只 小牛的现值为I，那牛的远期价格该是 多少？ 如果这只牛在交割后才会产下一头小 牛，那牛的远期价格该是多少？*20两个推论以上证明的是标的资产本身不带来利息的 远期价格。如小麦远期。但是，对于持有 期间
11、可以生息的资产，则需要对公式进行 调整，如债券远期。 1. 若空方持有的标的资产在远期合约在 到期前获得收益的现值为I，则*212. 如果远期的标的资产提供确定的红利。 假设红利是连续支付的，红利率为q。由 于具有红利率q，该资产的价格才为S0， 它等价于价格为的无红利资产。由无红利的资产的定价公 式可得*22补充证明：以债券为例注意：债券的贴现率不等于无风险收益率？*23远期合约的价值 0时刻：远期合约的价值为零。即交割价格 为 t时刻：根据定义t时刻的远期价格为此时，远期合约的价值（现值）不为零为*24 显然有 注意：t时刻标的资产的远期价格随现货价格变 化而变化，而可能不在等于交割价格K
12、。对于0时刻以k价格购买远期的投资者，如果t时 刻现货价格降低，则根据远期现货平价公式 ，远期价格也降低，这样t时刻该合约就处在负 值状态。*25无红利资产有红利资产：已知红利的现值I有红利资产：已知红利率为q（连续复利）例子：远期价格与远期合约价值 A股票现在（0时刻）的价格是25美元，年平均红 利率为4（连续复利），无风险利率为10， 若以股票为标的资产，其6个月的远期合约之交 割价格为27美元，求该远期合约的价值？*27 回忆远期价格的定义，该远期合约的价格 是多少？公式应用：股指套利 我们可以把股票指数看作一种连续支付红 利的投资品种。对应于构成指数的成分股 股票组合，其红利就是该投资
13、组合的持有 者的收入。由于指数通常包含大量股票，并且股票支付红 利的时间是间隔开来的，因此，我们可以近似 地假设红利是连续支付的。根据无套利定价原理，股票指数（现货）与股 指期货应满足平价公式。*29 假设红利率为q，其他因素不计，则股指期 货就相当于股指远期，其价格为其中，S0为当前的股票指数。指数套利（低买高卖）：若上述的等式不成立， （1）前者（F0）大于后者，则购买指数对应的股票 投资组合S0 ，同时卖空股指期货可以盈利； （2）反之，若后者大于前者，则卖空指数对应的股 票投资组合同时买进股指期货可以盈利。*30 由于指数涉及市场上所有股票，指数套利 有时只买卖数量较少的、有代表性的股
14、票 样本构成的投资组合，它的价值变化跟踪 了股票指数的变化轨迹，就存在跟综误差交易策略：跟踪误差最小化和交易成本之间的 权衡。 指数套利通常是通过程序化交易来实现的 。所谓程序化交易，就是利用计算机来产生交易 指令。*31案例：美国股灾 1987年10月19日，在正常情况下，股指期 货与股票指数满足 但是，在市场暴跌时，二者的关系可能会 严重背离，为什么？*32 1987年10月19日，美国股市跌幅超过20%。 在这一天的大多数时候，相对于标的指数而 言，股指期货的价格都显著地偏低。 标准普尔500指数来说，当天的收盘价位为 225.06点(下跌了57.88点)，而相应的12月份期货 价格为2
15、01.05（下跌80.75）。在当天的市场条件下，尽管指数与股指期货严重 背离，但是如果就此进行指数套利将是非常危险 的，因为市场可能会继续恶化。 10月20日，指数与股指期货之间的裂缝继续扩大 ，12月份的股指期货的价格曾经低于指数18%。*332.3 远期利率协议（FRA） 象其他的衍生金融工具一样，FRA不交易 本金，因此，它是资产负债表的表外项目 。 名义本金（nominal principal） 由于FRA市场不采取“逐日盯市”制度， FRA市场只由信用很好的机构组成。 FRA市场在很大程度上是以美元计值的银 行同业市场。*342.3.1 基本概念 FRA（forward rate
16、agreement）：交易双 方为规避未来利率风险或利用未来利率波 动进行投机而约定的一份远期协议。 它是在某一固定利率下的远期对远期名义 贷款，不交割贷款本金，只交割协议利率 与参考利率的利差部分。远期对远期：远期借款对远期还款利率上升则多方获利，空方损失，反之则反。*35 多方：是名义上承诺借款、支付利息的一方；空 方：名义上提供贷款、收取利息的一方。 协议金额、名义金额名义上借贷本金的数量 。 标价货币或协议货币协议金额的面值货币。最大的市场是美元、英镑、欧元、日元 协议利率FRA中规定的借贷固定利率，一旦 确定是不变的。 参考利率市场决定的利率。可变的，参考利 率通常是被市场普遍接受的利率，如LIBOR（伦 敦同业拆借利率
