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1、微分方程的基础知识与练习微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念：（一）微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2） ，且在该曲线上任一点 M（x,y）处的切线的斜率为 2x，求这条曲线的方程。解 设曲线方程为.由导数的几何意义可知函数满足)(xyy )(xyy （1）xdxdy2同时还满足以下条件：时， （2）1x2y把（1）式两端积分，得即 （3）xdxy2Cxy2其中 C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得， 1C由此解出 C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：（4）12 xy（2）列车在水平直线路上以 20的速度行驶；当
2、制动时列车获得加速度sm/.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶2/4 . 0sm了多少路程？解 设列车开始制动后t秒时行驶了s米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数满足：)(tss （5）4 . 022 dtsd此外，还满足条件：时， （6）0t20, 0dtdsvs(5)式两端积分一次得：（7）14 . 0Ctdtdsv再积分一次得（8）2122 . 0CtCts其中都是任意常数。21,CC把条件“时”和“时”分别代入（）式和（）式，0t20v0t0s 得0 ,2021CC把的值代入（7）及（8）式得21,CC（9）,204 . 0tv（10）tts202 .
3、02在（9）式中令，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：0v。)(504 . 0 20st再把代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程5t).(5005020502 . 02ms上述两个例子中的关系式（1）和（5） ， （6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。1微分方程的概念微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程
4、方程。又如，方程是四阶微分方程。 xyyyyy2sin512 10 44一般地，阶微分方程的形式是n（11）( )( , , . . . ,)0,nF x y yy其中 F 是个变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，是必须出2n)(ny现的，而等变量则可以不出现。例如阶微分方程)1(,.,nyyyxn01)(ny中，除外，其他变量都没有出现。)(ny由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数
5、（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例 1 中的条件（2） ，例 2 中的条件（6） ，便是这样的条件。设微分方程中的未知函数为，如果
6、微分方程是一阶的，通常用来确)(xyy 定任意常数的条件是时，0xx 0yy 或写成 00|yyxx其中，都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的0x0y条件是：时，0xx 0yy 1yy 或写成 ，00|yyxx0|1xxyy 其中，和都是给定的值。上述条件叫做初始条件。0x0y1y确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。求微分方程满足初始条件的特解这样一个问),(yxfy 00|yyxx题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作（13） .|),(00yyyxfyxx二阶微分方
7、程的初值问题是000( , ,),|,|1xxxxyf x y yyyyy 3、 例题例 1 验证：函数（14）ktCktCxsincos21是微分方程（15）02 22 xkdtxd的解。解 求出所给函数（14）的导数,cossin21ktkCktkCdtdx)sincos(sincos212 22 12 22 ktCktCkktCkktCkdtxd把及的表达式代入方程（15）得22dtxdx+)sincos(212ktCktCk)sincos(212ktCktCk0函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。用程序来实现： syms k t
8、 C1 C2; x=C1*cos(k*t)+C2*sin(k*t); diff(x,t,2)+k2*xans =k2*(C1*cos(k*t) + C2*sin(k*t) - C1*k2*cos(k*t) - C2*k2*sin(k*t) simple(ans)（二二）微分方程的解微分方程的解一、几个会用到的函数：一、几个会用到的函数：1、solve 函数：函数：Matlab 中 solve 函数主要是用来求解线性方程组的解析解或者精确解。solve 函数的语法定义主要有以下四种：solve(eq) solve(eq, var) solve(eq1,eq2, , eqn) g = solve(
9、eq1, eq2, , eqn, var1, var2, , varn)eq 代表字符串形式的方程，var 代表的是变量。例 1：解方程02cbxax程序是：syms a b c x;solve(a*x2+b*x+c) （ 也可写成 solve(a*x2+b*x+c=0) ）当没有指定变量的时候，matlab 默认求解的是关于 x 的解，求解的结果为：ans =-(b + (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a)-(b - (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a)d当指定变量为 b 的时候：solve(a*x2+b*x+c,b)求解的结果为：ans =-(a*x2 + c)/xs
10、= -(a*x2 + c)/x例 2：对于方程组的情况 5111 yxyxS=solve(x+y=1,x-11*y=5);S.xS.y S=S.x,S.y(这里或者写成 x=S.x y=S.y) 如果解得是一个方程组如果解得是一个方程组，而且而且 采用了形如采用了形如a,b=solve(a+b=1, 2a-b=4ab) 的格式的格式，那么那么，在在 MATLAB R2014a 中没问题中没问题，可以保证输出的可以保证输出的 a，b 就等于相应的解就等于相应的解，但是在但是在 R2012b 等等 早先版本中不能保证输出的顺序就是你声明变量时的顺序。所以最好采用早先版本中不能保证输出的顺序就是你声
11、明变量时的顺序。所以最好采用 g=solve(a+b=1, 2a-b=4ab)这种单输出格式，这样输出的是一个结构体，这种单输出格式，这样输出的是一个结构体，g.a 和和 g.b 就是对应的解。就是对应的解。S = 4/3, -1/3一、微分方程的解析解 格式：格式：dsolve(方程方程 1, 方程方程 2,方程方程 n, 初始条件初始条件, 自变量自变量) 记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2y、D3y 等表示求高阶 微分. 任何 D 后所跟的字母为因变量， 自变量可以指定或由系统规则选定为确省，默认自变量是 t例如，微分方程 应表达为：D2y=0.022 dxyd例 1
12、：求解微分方程，并加以验证22xxexydxdy求解本问题的 Matlab 程序为： syms x y %line1 y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x) %line2 diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x2) %line3 simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x2) %line4说明： (1) 行 line1 是用命令定义 x,y 为符号变量这里可以不写，但为确保正确 性，建议写上； (2) 行 line2 是用命令求出的微分方程的解： 1/2*exp(-x2)*x2+exp(-x2)*C1 (3) 行 line3 使用所求得
13、的解这里是将解代入原微分方程，结果应该为 0，但这里给出： -x3*exp(-x2)-2*x*exp(-x2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x2)*x2+exp(-x2)*C1) (4) 行 line4 用 simplify() （simple()）函数对上式进行化简，结果为 0， 表明的确是微分方程的解)(xyy 例 2：先求微分方程的通解，再求在初始条件下的特0xeyxyey2) 1 (解，并画出特解函数的图形 求解本问题的 Matlab 程序为： syms x y y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0, x) 结果 y = (exp(x)+C1)/x 求特解两个方法 1
14、.y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1), x) 结果 y =(exp(x)+exp(1)/x 2. C1= solve(2*exp(1)=exp(1)+C1,C1) 结果 C1 =exp(1) y =(exp(x)+exp(-x2) 结果(exp(x)+exp(1)/xezplot(y) 例 3：求微分方程组在初始条件下的特解， 035yxdtdyeyxdtdxt0|, 1|00ttyx并画出解函数的图形 求解本问题的 Matlab 程序为： syms x y t a=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0,x(0)=1,y(0)=0,t);x=a.x y=a.y simple(x); simple(y); ezplot(x,y,0,1.3);axis auto %坐标刻度选默认值例例 4 先求微分方程的通解，再求微分方程的特解.15)0( , 0)0(029422yyydxdy dxyd程序是：dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x) ans =(3*sin(5*x)/exp(2*x) 例例 5 求微分方程组的通解.
