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1、OPTICS第1章 费马原理与变折射率光学OPTICS1.11.5 费马原理1.1 折射率及其意义1.2 光程概念及其意义1.3 费马原理及其数学形式1.4 由费马原理导出几何光学三定律1.5 物象等光程性1.7 某些特例(某些特殊的共轭点)1.6 费马原理应用于球面折反系统OPTICS1.1 折射率它是透明介质的光学物性参数。最初源于折射定律：有-Snell定律。写成不变量形式，OPTICS1.1 折射率标识 符号色视 觉波长 /nm冕牌玻 璃特重火 石 F绿486.11.5286 1.7328D黄589.61.5230 1.7205C红656.31.5205 1.7076典型数据：色散本领
2、：色散率： 倒数for c.g.for f.g.OPTICS1.1 折射率v惠更斯原理次波源、微观次波面，宏观包络面，中心 切点连线。应用于“界面的反射、折射”时，将赋 与折射率以新的物理意义：于是 （ ）介质相对折射率n (相对真空, )真空光速/介质光速OPTICS1.1 折射率v进而，导出如何导出? 据 波速 = 频率波长有显然，得OPTICS1.1 折射率v物理考虑在线性介质的光场中，扰动的时间频率f仅由光源决定，与介质无关f 光源的本征频率。最终得例如，某 (橙色)在水中, ，变为(兰色?)OPTICS1.1 折射率v可见光波长区间与频率量级( peta ) ( M.G.T.P. )
3、v联系视觉色效应 v所谓“色散关系”、“色散理论”，给出 函数，或者 , .OPTICS1.2 光程(optical path)均匀介质光程介质分区均匀光程变折射率介质：光程OPTICS1.2 光程(optical path)v其初步意义a. 相位差与光程的关系图1.5 由光程导出相位差沿波的传播方向，相位逐点 落后，所以有：即（普遍）OPTICS1.2 光程(optical path)b. 时差与光程的关系即，或给出光程的又一定义：光线经历QP两点的光程等于传播 时间乘以真空光速，虽然光实际上传播于介质中。OPTICS1.3 费马原理实际光线的传播路径，与邻近各种可能的 虚拟路径相比较，具有
4、什么特别的“品性”?OPTICS1.3 费马原理v表述：光线沿光程为平稳值的路径而传播。 v解说：v示意图：OPTICS1.3 费马原理v数学表达式注意到被称为泛函or程函，eikonal.通俗道，“函数的函数”。“平稳值”满足变分为零，或简写其中， 为变分 运算符号上述方程为变分方程，旨在求出泛函的极值。变分原理可见，费马原理开创了以变分原理反映自然 规律的研究路线或表述方式。OPTICS1.4 由费马原理导出几何光学三定律由费马原理导出均匀介质，光的直线传播定律；介质界面，光的反射定律；介质界面，光的折射定律。如是，则说明费马原理是几何光学三定律的一个理 论概括。OPTICS1.4.1 反
5、射光束的等光程性M为动点，入射-反射光程为L（QMP）； M为待定的反射点，以满足L（QMP）为 极值： 引入镜象对称点Q，则 , 且于是 ，它成为极小值的条 件是 为直线，当 时。即 反射角等于入射角，反射线与入射线同在一个入射面内。这正是光在界面的反射定律。OPTICS1.4.2 折射光束的等光程性M为待定点，设 ，有 入射折射光程于是，普遍的变分方程 ,在 此被简化为一元微分方程即得此即Snell定律。OPTICS1.5 物像等光程性v费马原理的一个推论：物象之间各条光线的光程是相等的。 物象等光程性。物点Q 象点Q 同心光束 同心光束 ( 同心光束的共轭变换 )等光程性是指即与i无关。
6、可取反证法证之。OPTICS1.5 物像等光程性v意义：严格等光程严格成象近似等光程近似成象非等光程不成象v表明：有了这个推论，便将“成象”的理论，推 进到现实的可操作的理论分析的境界。OPTICS1.6 费马原理应用于球面折反系统v1.6.1 由费马原理导出球面镜傍轴成象及 其物象公式图1.11待求“象点” ，镜面半径 ，镜心于左， ；镜心于右， 思路：提出等光程要求：在同一介质中，上述要求即为其中（ 1)OPTICS1.6 费马原理应用于球面折反系统(同等近似处理)代入等光程方程(1)，有（消去d）（与d无关，成象，近似成象）物象距关系式: 焦距 (当s = )正负号约定： 物象点在左,
7、物象点在右, OPTICS1.6 费马原理应用于球面折反系统v1.6.2由费马原理导出球面折射傍轴成象及 其物象关系任意倾角入射线 ， 相应的折射光线为 ， 显然光程 是与x的函数。令求解x (是否有解)。利用反射时曾经出现的近似结果，即傍轴条件有OPTICS1.6 费马原理应用于球面折反系统求导整理 (此方程决定的x与无关)显然， 得以满足.namely,上述方程表明， 球面傍轴确实能够成象，令 得像方焦距 令 得物方焦距OPTICS1.6 费马原理应用于球面折反系统v1.6.3 讨论“极大值”情况实际光线光程为“极大植”的一个情形经象点Q，到达Q(向右位移 )，则实际 光线 与邻近的比较，
8、其光程 系非等 光程，是极大?极小?OPTICS1.6 费马原理应用于球面折反系统几何分析：光程差：即 经象点中轴光线，其光程这是球面折射面半径r0情况； 若r0或r0，分别对应球心C在球面 顶点的右侧或左侧；物距 或 ，分别对应物 点 在球心C的左方或右方；像距的正负符号的约定 与物距的相反， 或 ，分别对应像点 在球 心C的右方或左方。有了这一套正负号定则，就使得各种不同情形下 的齐明点位置公式，都可以归结为上面通用的公式。OPTICS1.7 若干重要的特例比如对于图中显示的那种情况，r 0，物方 介质折射率设为n=1.5,像方空气折射率 ，代入 上式，得到 , ，这表 明 ， 点均在球心
9、左侧，显然，这是一个实物形 成虚像的情形。另外，这一对特殊位置的共轭点，联系着若干 几何学上的特殊性质，参见图1.16(b)。从齐明点 Q0发出一入射线，倾角为u，对应的折射角为i， 两者恰好相等， ;同时，对应角的出射光线的 倾角为u与入射角i也相等， ；当入射线倾 角 时，某入射角恰好等于全反射临界角， 此时折射角为 ，即折射光线恰好沿球面在该 点的切线方向。OPTICS1.7 若干重要的特例图1.17为显微镜物镜列举，复合镜头是为了消 色差。OPTICS1.7 若干重要的特例v 1.7.3 阿贝正弦定理显微镜的观察对象是 一个小物，如右图所示。 小物上各点是否均处于齐 明点位置，均能以宽
10、光束 出射而严格成像?利用球体的中心对称性， 让轴光线QCO绕球心转一角度 ，显然与齐明点(Q，Q)同 在一圆弧上的各点，比如(P ，P)，均是一对齐明点。 即弧形线 确能严格成像 于 。OPTICS1.7 若干重要的特例v 当圆弧很短时被很好地近似为一条直线，即 ， 这表明置于齐明点位置的傍轴小物可以宽光束严格成像。 v 用像差语言表达：工作于齐明点位置的傍轴小物，既消除了 一般轴上物点产生的球差(spherial aberration) ，也消除 了一般轴外小物产生的彗差(comatic aberration)。 v 有意思的是，入射光线倾角u、小物线度y和物方折射率n三 者(n,y,u)
11、，与像方对应量 之间有一个关系式：这是德国物理学家阿贝，在蔡司公司工作期间为研究改 善显微镜成像质量而发现的一个重要定理，现今依然是光学 设计的基本依据之一，被称为阿贝正弦定理(Abbe sine theorem)。兹证明如下(参见图1.18)。（式1.23)OPTICS1.7 若干重要的特例证明： 在QCM和MCQ中 ，分别利用三角正弦定理，得故有再利用折射定律，改写为 ； 利用相似三角形定理，将轴向的物像距之比 转 化为横向物像线度之比 ,即 。于 是，上式成为 ，再写成不变 量形式如（1.23)式。OPTICS1.7 若干重要的特例v阿贝正弦定理是普遍成立的，适用于复合透镜，它 是傍轴小
12、物很好成像，以消球差和消彗差所必须满 足的条件，故也称其为阿贝正弦条件。在本书论述 显微镜的分辨本领问题和傅里叶光学中的阿贝相干 成像原理时将要用到阿贝正弦条件。 v阿贝正弦定理的价值还在于，它将横向线放大率与光锥孔径角正弦值之比值 联系起来，两者成反比关系： v它表明，如果像被放大了，则光束聚散角要变小。 在露天电影场合，人们可以发觉一束束细锐光束， 从放映机中发出而扫射于屏幕上，就是这个道理。OPTICS1.7 若干重要的特例v1.7.4 双曲面透镜聚焦平行光束 v例题：如图1.19所示，一宽平行光束入射于一透镜 ，要求被严格聚焦于 点。试问透镜第二曲 应当 是何形状?根据系统的轴对称性，
13、 我们只需要确定曲线 的 形状，再绕 轴旋转而形 成的曲面便是待求曲面。设动点为M，取极坐标描述动点的轨迹，它应 当满足等光程性，即 , 其中H点是M点对轴光线的 垂足。OPTICS1.7 若干重要的特例由图可知，光程 ， 故上式化为 即解出：其中 为 长度，是设计参数，事先由焦距要求给出。（1.25）由二次曲线的极坐标标准形式：看出(1.25)式符合此标准形式，且离心率 ，这表 明(1.25)式确定的动点轨迹应当是一条曲线，即待求的曲 面是旋转双曲面。OPTICS1.7 若干重要的特例v例 设计要求是：透镜材料n=1.5，第一表面即圆 形平面的半径为R=5.0cm,焦点F离O点的距离为 D=
14、10.00cm,参见图1.20。根据(1.25)式，将n=1.5代 入，得到极坐标方程的具体 形式为：OPTICS1.7 若干重要的特例据此，首先算得若干特征量如下，最大会聚角 ，最大矢 径长度 ,最短矢径长度 透镜中心厚 度 。接着算出一系列 值，列 表如下：按上列数据，精确绘制如图1.20。OPTICS1.6-1.8 变折射率光学2.1 自然变折射率2.2 人工变折射率2.3 强光变折射率2.4 光线方程2.5 实例2.6 费马原理几度大放异彩OPTICS2.1 自然变折射率-大气光学现象v2.1.1 寒冷海面上空 海市蜃楼高度y ，有T ，有n ， 典型数据：折射率介电常数光密到光疏OPTICS2.1 自然变折射率-大气光学现象海市蜃楼OPTICS2.1 自然变折射率-大气光学现象v2.1.2 炽热地面上空 沙洲神泉高度y ，有T ，有n ，相当于镜像， 故倒像。OPTICS2.1 自然变折射率-大气光学现象v2.1.3 大气电离层(D层)D区折射率变化函数： 当 时，抛物型，被用于研究电 磁波被电离层反射。 理论上的根据：介电常数与温度、浓度的
