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1、3.2 参数假设检验假设检验与参数股估计都属于统计推断的范畴,但它们的提法是不同的,处理问题的方法也各具特色.我们看下面的例子:“某班语文课教学采用研讨式方法后,对其中 10 名同学测验,平均成绩为85 分.已知这个班过去测验成绩服从正态分布,其均值保持在 82 分左右,这意味着总体参数是给定的,那么现在问采用研讨式方法后,其平均成绩是否和原来一致?”显然这不是估计问题.如果我们假设和原来一致,则需要判断这种假设对不对?如果对,对的把握性有多大?如果不对,那么平均成绩比原来是增加还是减少?当然,我们不能只看到 85 分高于 82 分就认为比原来高了,这是因为抽取样本时受到随机因素的干扰,我们不
2、能以样本参数对总体参数进行单纯比较而简单的下结论.这个例子所反映问题的一般提法是:总体分布已知,对总体参数的取值作一假设,用统计理论来判断这一假设正确与否,统计学上称此为参数假设检验.“某地 6 岁男童的身高是一个总体,那么这个总体确切的理论分布是什么?”由样本数据绘制直方图,如果图形呈现中间高,两头低,对称,我们可以认为这个总体是近似于正态分布的.如果我们假设这个总体服从正态分布,根据样本信息来判断这样个假设正确与否,这就是所谓非参数检验.简单的说,参数假设检验是检验未知参数的假设成立与否, 非参数检验是检验未知总体分布的假设成立与否.一、假设检验的概念1. 假设假设可以看作为一种设想,看法
3、或假定,假设分为参数假设和非参数假设.参数假设指总体分布已知,关于未知参数的假设,教育研究中用的最多的是已知总体服从正态分布,对总体均值,总体方差做出假设.2例如,某校五年级学生期末语文成绩,方差在原有状况下不2,NX2变,而均值在过去常规教学下为 82 分.为了提高教学质量,采用新的教学法后抽测 10 名同学,其平均成绩为 85 分,这时我们提出总体均值为 82 分的假设,记为82:0H称为原假设或零假设,相对于,还要给出一个备选假设,记为0H0H82:1H对这个例子我们不提小于 82 这样的假设,这是因为这样的假设是没有根据的,原因在于样本均值 85 大于 82.非参数假设包括的范围很广,
4、可以说,一个假设如果不是参数假设就称为非参数假设, 非参数假设一般指关于总体分布的假设.例如,某地 6 岁男童的身高为一总体,若给出样本数据,基本呈现正态性,X我们提出假设.:,:10 为非正态分布正态分布XHXH如果肯定,自然就否定.0H1H2. 假设检验对于一个假设,我们关心的是”假设”是否成立.判断假设成立与否的方法叫假设检验，最简单的检验是显著性检验.所谓显著性检验是指只对一个假设进行检验.例如，已知，对进行检验而不是提出备选假0H1 ,NX0:0H设.尽管没有提出，但我们可以认为,这样备选假设就没0:1H1H0:1H有必要明确提出来了,本章将集中讨论显著性检验方法.无论“假设“的类型
5、多么复杂,进行检验的基本思想却是很简单的.为此，我们先讨论一个为人们所接受的,否合客观规律的原理小概率原理.3. 小概率原理(实际推断原理)首先明确什么叫小概率事件，顾名思义，概率很小的事件叫小概率事件. 概率小到何种程度才算小?这是一个相对概念,一般统计学中,概率值如低于0.01,0.05 或 0.10,0.25 则认为小,把这些值统一记为,称为显著性水平.在区间估计中我们已经看到，那里的称为置信水平.例如，从 10 万张奖票中买一张中头奖（设 10 万张奖票中只有一个头奖） ，这个事件发生的概率只有十万分之一，当然是小概率事件.乘一次飞机发生事故，这也是一个小概率事件.不知其号码锁号码，拨
6、一次就能把锁打开这同样是一个小概率事件.所谓小概率原理是说：小概率事件在一次试验是实际上不可能发生的，同样，大概率事件在一次试验中是实际上必然发生的.这个原理是客观存在的，我们可以做这样的设想，如果小概率事件在一次试验中发生，那么买一张奖票就能中头奖，坐一次飞机必定会发生事故，比一次号码就能把锁打开，显然这是不切合实际的.我们再看一个例子来说明实际推断原理在假设检验中所起的作用：“箱中有白、黑球共 100 个，设：其中有 99 个白球.如果是对的，0H0H则从箱中任取一球为黑球（记为事件 A）的概率只有 1/100.”显然 A 是一个小概率事件，而根据实际推断原理，抽一个球是黑球实际上是不可能
7、发生的，如果从箱中抽一个球恰好是黑球，说明小概率事件发生了，这样，自然要怀疑的正确性，也就是说有很大的可能是不对的，这时就要做出否定的结0H0H0H论.那么作出这样的结论是完全正确的吗？回答是未必的，这是因为小概率事件本来就有可能发生，只是发生的可能性很小而已.如果成立，那么箱中有一0H个黑球，当然就有可能抽一次球正好抽到黑球.同样的道理，10 万张奖票中尽管只有一个头奖，但总有一个“走运”的人得到头奖，坐一次飞机发生事故的可能性很小，但总有一个“倒霉”的人在某次乘机中丧生.通过以上分析，想通过一次试验来否定而要完全正确是不可能的，也就0H是说在检验中要允许犯错误，才能通过次试验来否定或接受.
8、当然我们要0H0H求犯错误的概率尽可能小，至于小到什么程度，怎样确定这个概率，我们在下一节讨论.但这里如果给定，我们可以说否定，有的可能性犯错误，有0H的可能性是正确的.上例中，那么如果否定，犯错误的可能性101. 00H只有 0.01.一个检验允许犯错误，但错误的性质一般是不同的，这需要我们区分错误的不同类型，从而针对不同的后果确定犯错误可能性的大小.4. 两类错误统计学上有两类错误:第一类错误是, 符合实际情况,但检验结果却否定了,称为“弃真“,记0H0H其概率为.)/(00为真否定HHP实际上,显著性水平就是犯第一类错误的概率, 取的越大,发生否定的可能性就越大.0H通俗的理解第一类错误
9、,即把”对”说成”不对”,把“真“说成”假”.第二类错误是, 不符合实际情况,但检验结果却肯定了,称为”取伪”0H0H,”伪”即为”假”的意思, 记其概率为.)/(00为假接受HHP犯这两类错误的后果通常是不一样的,例如,我们检验某人是否患某种疾病,若设:该人患有此种疾病，则第二类错误（无病当作有病）造成由于使用不0H必要的药物而引起该人的痛苦和经济上的损失，但第一类错误（有病当作无病）就有可能使该人延误病情而发生意外.可见犯第一类错误的后果较第二类错误的后果严重.又如检验一批降落伞的质量，设:这批伞质量合格，则第二类错误0H（次品当正品）会导致使用降落伞的人出现生命危险，而第一类错误（正品当
10、次品）至多报废一部分产品造成一些经济上的损失，可见犯第二类错误的后果较第一类错误的后果严重，也就是说宁愿犯第一类错误也不犯第二类错误.当然我们希望所做出的检验使犯这两类错误的可能性尽可能小，最好全为零，但实际上这是不可能的，当样本数据取定后，犯这两类错误的概率不能同时被控制.对一定样本容量，一般来说，减小，则增大，减小， 则增大.同时，n对于固定的，适当增加样本容量可以减小.n通常情况下，样本容量如果固定，需要平衡两类错误的后果，如第一类n错误后果严重，则显著性水平取的小一些.一般，取为 0.05 或 0.01，而不能太小，最好大于 10.n综上，我们要检验一个假设成立与否，先给出假设，然后在
11、此假设成立0H条件下，借助于统计量的概率分布，选择一个合适水平，找出一个小概率事件 A，再抽取一组样本数据，如果 A 发生，则出现矛盾，违反实际推断原理，矛盾的来源在于原假设，这是我们做出否定的结论，但可能犯错误，而犯错0H误的可能性为.反之，如果 A 没有发生，我们不能否定，但不能不加分析0H地得出正确的结论，我们只能说实验结果与原假设无显著差异或暂时接受假0H设留待进一步观察.实际工作中如果需要我们立即作出明确表态时，我们常常采取接受原假设的态度.5. 检验的一般步骤第一步 建立原假设.0H第二步 在成立的条件下，构造一个能够检验假设的统计量0H，确定的分布.),(1nxxTT第三步 给定
12、检验水平，由的分布，通过查表得到临界值，T2/1 T，使得2/2 T.)()(1)(2/12/22/22/1 TTPTTPTTTP或称为接受区域， （）和（）为否定区域.),(2/22/1TT2/2TT 2/1TT 第四布 有样本数据计算，如果T或，否定，反之接受.2/2TT 2/1TT 0H0H此时，我们说否定，有的可能性犯错误，有的把握性是正确的.0H1一般，随着检验问题的不同，选择的统计量也不同，但其基本方法和步骤是一样的.二、总体均值的检验总体均值的检验方法有两种:检验和 检验.ut1.检验u利用标准正态分布统计量进行的检验叫做检验.Uu检验用来检验三类问题u已知总体方差，单正态总体，
13、关于总体均值的检验.2双边检验01设为来自正态总体的一个样本, 已知,设),(1nxx ),(2N200:H)(0为一已知常数在成立条件下,构造统计量,由定理 2.3.20HU(3.2.3).1 , 0( 20_N nXU 取定显著性水平,查标准正态分布双侧临界值表(附表 3)得到临界值为,由正态分布的对称性,另一临界值为,则有2/u2/u()和()为否定域,这是因为()=()2/uU 2/uUP2/uU P2/uU= 即(),()为小概率事件.2/2/uU 2/uU再由一次样本观察值计算出值,如果u()或(),则与实际推断原理矛盾,因而否定,说明总体2/uu 2/uu0H均值与有显著差异.0
14、例 1 某校五年级学生语文期末成绩,采用新教学法后,抽到 1024 ,82 NX名同学其平均成绩为 85 分,问同采用新教学法后平均成绩与原来有无显著性差异?解 设82:0H一般把原来的成绩作为原假设,检验者在处理时总是偏于保守的,在没有0H充分证据时不轻易否定.由于0H),1 , 0( 104822_NXU给定查附表 3 得到而,05. 0,96. 12/u,96. 138. 210482852u从而否定,说明采用新教学法后平均成绩与原来有显著性差异.但这种差0H异是偏大还是偏小?如果我们只考虑一个侧面的差异情况,还需进行单边检验.单边检验02设为来自正态总体的一个样本, 已知,设),(1n
15、xx ),(2N2由于故,:00H,0nX20_, 2_nX从而()()=,P nX20_uP nX2_u可见, ()更是一个小概率事件. nX20_u因此,否定域为().uU 由()=,查附表 2 得到,如果,则否定.PuU 1uuU 0H例 1 中,如设82:0H由查附表 2 得到=1.65.,05. 0u而故否定.,说明总体均值显著偏大,即采用新教学法后平,65. 138. 2u0H均成绩显著提高了.有人会说,由 85 分高于 82 分,故不经过检验也能得到上述结论,这种说法是片面的,因为 85 分高于 82 分只能说明样本均值提高了,也就是说结论在某种程度上是正确的,我们通过检验否定了反面假设但结论有 0.05 的可能性犯,0错误.这样,我们在 0.05 的显著性水平上不仅说明样本均值提高了,更重要的是说明全体同学的均值也提高了.同理,如果考虑总体均值是否显著偏小,我们设而,:00H()()=P nX20_uPnX2_u因此,否定域为().uU2)双正态总体，方差，已知，独立样本，比较两总体的均值 和2 12 21.总体均值有无差异的检验在教育研究中占有重要位置.例如，实验班与普通2班学习成绩有无显著差异，高年级学生和低年级学生学习能力有无显著差异，同类考题在不同地区是否引起差异等都属于总
