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1、1【成才之路成才之路】2015】2015 届高考数学二轮复习届高考数学二轮复习 专题专题 2 2 第第 2 2 讲讲 三角变换与三角变换与解三角形素能训练(文、理)解三角形素能训练(文、理)一、选择题1若三角形ABC中,sin(AB)sin(AB)sin2C,则此三角形的形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形答案 B解析 sin(AB)sin(AB)sin2C,sin(AB)sinC0,sin(AB)sin(AB),cosAsinB0,sinB0,cosA0,A为直角2在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2c2b2)tanBac,则角3B的值为(
2、)A.B. 6 3C.或D.或 65 6 32 3答案 D解析 由(a2c2b2)tanBac得,tanB,再由余弦定理3a2c2b2 ac3cosB得,2cosBtanB,即 sinB,角B的值为或,故应选 D.a2c2b2 2ac332 32 33(文)在ABC中,已知bcosCccosB3acosB,其中a、b、c分别为角A、B、C的对边,则 cosB的值为( )A.B1 31 3C.D2 232 23答案 A解析 由正弦定理得 sinBcosCsinCcosB3sinAcosB,sin(BC)3sinAcosB,sinA3sinAcosB,sinA0,cosB .1 3(理)(2013
3、东北三省四市联考)在ABC中,若 tanAtanBtanAtanB1,则 cosC2的值是( )AB.2322C.D1 21 2答案 B解析 由 tanAtanBtanAtanB1,可得1,即 tan(AB)tanAtanB 1tanAtanB1,所以AB,则C,cosC,故选 B.3 4 4224设 tan、tan是方程x23x20 的两根,则 tan()的值为( )A3B1C1D3答案 A解析 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式由已知 tantan3,tantan2,所以 tan()3.故选 A.tantan 1tantan3 12点评 运用根与系数的关系,利用整体代换的思想使问题
4、求解变得简单5(2014哈三中二模)在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且a2c22b,3,则b等于( )tanA tanCA3 B4 C6 D7答案 B解析 3,sinAcosC3sinCcosA,tanA tanBsinBsin(AC)4sinCcosA,b4c,b2c2a2 2bcb22(a2c2)4b,b0,b4.6(文)函数ycos(x)sin(x)具有性质( ) 2 3A最大值为 1,图象关于点(,0)对称 6B最大值为,图象关于点(,0)对称3 6C最大值为 1,图象关于直线x对称 63D最大值为,图象关于直线x对称3 6答案 B解析 ysinxcosx sinx
5、321 2(sinx cosx)sin(x),3321 23 6最大值为,图象关于点(,0)对称3 6(理)给出下列四个命题:f(x)sin(2x)的对称轴为x,kZ Z; 4k 23 8函数f(x)sinxcosx最大值为 2;3函数f(x)sinxcosx1 的周期为 2;函数f(x)sin(x)在,上是增函数 4 2 2其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 由 2xk,kZ Z, 4 2得x(kZ Z),k 23 8即f(x)sin(2x)的对称轴为x,kZ Z,正确; 4k 23 8由f(x)sinxcosx2sin(x)知,3 3函数的最大值为 2,正确;f(
6、x)sinxcosx1 sin2x1,函数的周期为 ,故错误;1 2函数f(x)sin(x)的图象是由f(x)sinx的图象向左平移个单位得到的, 4 4故错误二、填空题7已知ABC的一个内角为 120,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则ABC的面积为_答案 1534解析 设三角形的三边长分别为a4,a,a4,最大角为,由余弦定理得(a4)2a2(a4)22a(a4)cos120,则a10,所以三边长为 6,10,14.ABC的面积为S 610sin12015.1 238(文)(2014新课标理,14)函数f(x)sin(x2)2sincos(x)的最大值为_答案 1解析 f(x)sin
7、(x2)2sincos(x)sin(x)coscos(x)sin2sincos(x)sin(x)coscos(x)sinsinx1.最大值为 1.(理)(2014天津理,12)在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知bca,2sinB3sinC,则 cosA的值为_1 4答案 1 4解析 2sinB3sinC,2b3c,又bca,1 4ba,ca,3 41 2cosA .b2c2a2 2bc9 16a21 4a2a22 3 4a1 2a1 49在ABC中,(3),则角A的最大值为_ABACCB答案 6解析 由已知可得(3)0,3,由数量积公式可得ABACCBABCBACCBac
8、cosB3abcos(C)3abcosC,可化为ccosB3bcosC,由正弦定理可得 sinCcosB3sinBcosC,化简得 sinA2sinBcosC,可得 cosCyDxy答案 C解析 yxcosAcosBsinAsinBcos(AB)cos(C)cosC,ABC为锐角三角形,cosC0,yxg(x2)其中真命题的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 f(x)sinxcosxsin(x),g(x)sinxcosxsin(x),2 42 4将f(x)的图象向右平移个单位,可以得到g(x)的图象,故为真命题;又 2yf(x)g(x)sin2xcos2xcos2x为偶函数,故为真
9、命题;yfx gx9tan(x),故其最小正周期为 ,为真命题;sinx4sinx4sinx4cosx4 4取x1,则f(x1)sin(),x2R R 都有g(x2),不存在5 425 4 422x2R R,使f()g(x2),故选 C.5 4二、填空题16(文)在ABC中,sin2CsinAsinBsin2B,a2b,则角C_.33答案 6解析 由正弦定理知c2abb2,3所以 cosCa2b2c2 2aba2 3ab2ab,a 3b2b2 3b 3b2b32又C(0,),所以C. 6(理)(2014福建理,12)在ABC中,A60,AC4,BC2,则ABC的面积等3于_答案 23解析 本题
10、考查正弦定理及三角形的面积公式,由正弦定理得,2 3324 sinBsinB1,B90,AB2,S 222.1 233三、解答题17(文)(2013浙江文,18)在锐角ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且 2asinBb.3(1)求角A的大小;(2)若a6,bc8,求ABC的面积解析 (1)由 2asinBb及正弦定理,得 sinA.3a sinAb sinB32因为A是锐角,所以A. 3(2)由余弦定理a2b2c22bccosA,得10b2c2bc36,即(bc)23bc36.又bc8,所以bc.28 3由三角形面积公式SbcsinA,得1 2ABC的面积为.7 33(理)(2
11、013北京理,15)在ABC中,a3,b2,B2A.6(1)求 cos A的值;(2)求c的值解析 (1)因为a3,b2,B2A,6所以在ABC中,由正弦定理得,3 sinA2 6sin2A所以,故 cosA.2sinAcosA sinA2 6363(2)由(1)知 cosA,63所以 sinA.1cos2A33又因为B2A,所以 cosB2cos2A1 .1 3所以 sinB,1cos2B2 23在ABC中,sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.5 39所以c5.asinC sinA18(文)(2014唐山市一模)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且4bsin
12、Aa.7(1)求 sinB的值;(2)若a,b,c成等差数列,且公差大于 0,求 cosAcosC的值解析 (1)由 4bsinAa,根据正弦定理得 4sinBsinAsinA,77所以 sinB.74(2)由已知得 2bac,11由正弦定理以及(1)得,sinAsinC.72设 cosAcosCx,22,得 22cos(AC) x2.7 4又由条件知abc,ABC,所以 0B90,cosAcosC,故 cos(AC)cosB ,且x0.3 4代入式得x2 .7 4因此 cosAcosC.72(理)已知ABC中,a,b, c分别为角A,B,C的对边,a2b2c2,且 sin(2C) 2 .1 2(1)求角C的大小;(2)求 的取值范围ab c解析 (1)a2b2c2,cosC0,a2b2c2 2abC,故 2C2, 2由 sin(2C) ,得 cos2C , 21 21 22C,即C;4 32 3(2)ab csinAsinB sinCsinAsin3Asin23sin(A),1 2sinA32cosA3223 3由C,知 0A,故A,2 3 3 3 32 3sin(A)1,32 312,即 1.2332ab c23ab c2 33