《线性代数下14矩阵分析简介》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数下14矩阵分析简介（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数2杨晶杨晶2012年年 5月月28日日第十四讲第十四讲 矩阵分析简介矩阵分析简介走马观花1 1 (?, ?) = (?, ?) 在某组 在某组SOB下下 AAH=AHA： ?= ?(?), ?) = (?, *(?), ( ?, ? V) 作用在第一分量相当于作用在第一分量相当于*作用在第二分量上作用在第二分量上, 反之亦然反之亦然 在同一组在同一组SOB下，下，=* B=AH.上讲复习上讲复习 线性变换线性变换的共轭运算的共轭运算* 正规变换与正规矩阵正规变换与正规矩阵(1)* (2)*(3)* (4)* (5)*()*()* ( (idikdk ()(1)(2)(3)(4)(5)(
2、HHHHHHHHHHHIIAAkABABkAAABBASOB性质性质(1) 正规 正规 ?与与?有相同的特征向量有相同的特征向量性质性质(2) 正规不同特征值的特 征向量相互正交正规不同特征值的特 征向量相互正交.性质性质(3) 正规变换在某正规变换在某SOB下为对角阵；正规矩阵可酉对角化下为对角阵；正规矩阵可酉对角化.2上讲复习上讲复习 Hermite变换与变换与Hermite矩阵矩阵 ? = ? 在某组 在某组SOB下下 A =AH(?, ?) = (?, ?)性质性质(1) 为为Hermite变换 变换 为正规变换为正规变换 性质性质(2) Hermite变换的特征值均为实数变换的特征值
3、均为实数. 性质性质(3) Hermite变换在某变换在某SOB下为下为实实对角阵；对角阵； Hermite矩阵可酉对角化为矩阵可酉对角化为实实对角阵对角阵.1 11(,)A ,.nn HH nijijijji ijf xxa x xxaaxAA 其中即其中即 Hermite二次型二次型 惯性定理惯性定理, 规范形规范形 正负惯性指数正负惯性指数 p+q=r n； 有定有定Hermite二次型二次型, 及其等价判则及其等价判则. 当当AAH=AHA=I 时，时，A为酉阵；为酉阵； 当当A=AH, 即即AAH=AHA=A2 时时,A称为称为Hermite矩阵矩阵3上讲复习上讲复习实数域实数域 R
4、复数域复数域 C欧氏空间酉空间内积：对称欧氏空间酉空间内积：对称+双线性双线性+正定内积：半对称正定内积：半对称+1.5线性线性+正定正交变换正定正交变换/正交矩阵酉变换正交矩阵酉变换 / 酉矩阵转置运算酉矩阵转置运算AT转置转置+共轭运算共轭运算AH对称变换对称变换/对称矩阵对称矩阵Hermite变换变换 / Hermite矩阵矩阵共轭变换、正规变换共轭变换、正规变换(实实) 二次型二次型Hermite二次型二次型4数学的分类（金字塔）第11章所 处位置第11章所 处位置5 5本讲提要本讲提要矩阵分析简介矩阵分析简介一、一、函数矩阵函数矩阵及其微积分及其微积分二、二、函数向量函数向量的线性相
5、关性的线性相关性三、三、矩阵序列矩阵序列与与矩阵级数矩阵级数四、四、 矩阵函数矩阵函数1、 矩阵的谱矩阵的谱，及其谱上的函数，及其谱上的函数2、 矩阵函数的定义与性质矩阵函数的定义与性质3、 矩阵函数的幂级数表示矩阵函数的幂级数表示6一、函数矩阵及其微积分一、函数矩阵及其微积分 从分析到代数：生产生活中的实例：从分析到代数：生产生活中的实例：S-boxf(x)1y 1x 2x 3x 2y 3y f fn fnm 1212nnmmf ()fm n m nM 本节讨论的为本节讨论的为7 从代数到分析：从代数到分析：1111,nijmmnaaAaF aa 之前所学的矩阵其中域代数学产生的过程：代数学
6、产生的过程：实物数字实物数字字符字符(未定元未定元)111212122212A function matrix is a matrix whose entries are all functions of :( )( )( )( )(Defination 11.1 (P. 78)( )( )( )( )()Annmmmnxaxaxaxaxaxaxxaxaaxx 812specific form of ( ).If( )( )So,is( ) ( )An array function is of the formIn particular:)( ), (ijjniA xvaxaA xAAa x
7、axxax ，. 9 如此推广，原来矩阵的代数运算将如何推广？如此推广，原来矩阵的代数运算将如何推广？( )( )( )( );ijijm nA xB xaxbx 加法：( ) ( )( ( )( );ijm nk x A xk x ax 数乘：1( )( )( )( );nm nn likkjm l kA xB xax bx 乘法：( )( );T m njin mAxax 转置：1 2121 2() 12det( ( )( 1)( )( )( );nnnj jj jjnj j jjA xax axax 行列式：*( )( )( );T ijijAxAxAx伴随：，其中为代数余子式( )(
8、)0,( , );ijA xOaxxa b 零元素：1( )( )r(AxA x逆矩阵？、秩？10A matrix function ( ) is said to be invertibleover the interval ( , ) if Definatio( ) such that ( ) ( ),( , )n 11.3 (P. 80) xa b x xxxa b AB BAI1In such a case, ( ) is unique and one writes( )( )xxxBBA11A matrix function ( ) is invertible over ( ,Theo
9、rem ) det( )0,11.1 (P. 80)( , ).xa b xxa b A A1111212122212In such a case, 1( )adj( )det( ) where ( )( )( ) ( )( )( )adj( )( )adjo( )is the algebraic compleint matri( )x of , whose entry ( ) is the .mentnnmmmnijxxxxxx xxxxxxxx AAAAAA AAAAAAAAA 12Find the inverse of1( )sinwhere1,2.Example 11.3 (P. 81
10、)A xxxxex1300The rank of a matrix function ( ) over, is the highest possible order of m is not zero everywhere on Definationi ( , ),nors of ( ) which i.e. , , s.t. det()0and take k11.4m(P. 81)a mxi uAAka bxa bxxa bA xm.fullA matrix function ( ) is said to be of over ( , )if the rank of ( )iranks . n
11、nx a bxnAA:( )( )R( )( )emark A xA xA xA x可逆满秩；但满秩可逆14The ranExamplek of1( )11is just 2, whiledet(P. 8Let 0,2.1) )1AAxxxxx1500A function matrix ( )( ) is said to have the limit as Defination 11.5 (if for all ,lim(P. 1)AAijijijijxxxaxaxxi jxaa ，0In such a case, we writelim( )AA xxx 另一方面，当另一方面，当R上的连续上
12、的连续(单值单值)函数函数, 推广到推广到R上的上的 (多值多值)函数时，连续、微分、积分等分析运算如何 推广？函数时，连续、微分、积分等分析运算如何 推广？ 逐个进行运算逐个进行运算即可，除了遇到矩阵的乘法非交换时即可，除了遇到矩阵的乘法非交换时, 有所不同有所不同.1600The limit at 01210liExamm( ).sinple 11.4 (P. 82)101xxxxxxA17000A function matrix ( )( )is said to be aDefit if continuoufor all ,lim( )nation 11.6 (P. 82s),) (.i
13、jijijxxxaxxjaaixx A00I.e., lim( )() xxxx AA18000differentiaA function matrix ( )( )is said to be at if for all , ,Defination 11( ) is.7 (Pdifferentialble at,i.e.bl,() eexists . 2,.8 )ijijijxaxxi j axxxaA0000 00In such a case, we write()|( )()()lim()x xijdxxdx xxax AAAACall it the derivative of A (x)
14、 at x0190The derivative of 1( )Example 11.5 (P. sinat 0:101082)(0).cos11xxxxxexxe AA20Some properties: (1) ( ) ( , ) is a constant matrix ( )0,for all ( , ),xxa b xxa b A A(2) if ( ), ( ) is are both differentiable) ( )( ) ( )( )( )xxxxxxxABABABABNote:2) ( )( ) ( )( )( )2 ()( )xxxxxxxAAAAAAA21Note also:111( ) ( )( )( )xxxx AAAA(3) if ( ),( ) are both differentiable ( )( ( )( ) ( )( )( )f xx xfxxf xxxf A AAA22Higher derivatives:1 ( ) 1( )( )( )kk k kkdddxxxd
