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1、上 海 中学数 学 2 0 1 2年第 1 2期 追求本质简单 自然的数学教学 “一元二次不等式 的解 法“ 教 学设计 与思考 2 2 6 0 0 1 江 苏省 南通 市第一 中学 张红梅 一 、课题 分析 二 、课 堂 实录 “一元二次不等式 的解法” 具 有 以下三个特 点 ： 1 一元二次不等式 的解法是一元一 次不 等 式 的解法 的延续 和 深化 ， 它对 集合 知 识起 到重 要 的巩 固和运 用的作 用 ， 也 与后继 的函数 、 三 角 函数 、 线性规划 、 直线 与圆锥 曲线 以及 导数等 内 容 紧密 相关 许 多 问题 的解决 都要 建 立在 一 元 二次不 等式 正
2、确求解的基础 上 可见 ， 一元二 次 不等式 的解法 在高中数学 中具 有极强 的基础性 和工具 性 ； 2 一元二次不 等式 的解法 只需以初 中所学 的一元 一次不 等式 的解 法 、 一 元 二次 方程 的求 解及 二次函数 图像 等 为基 础 ， 故 对实 施 教学 的 对象要 求不高 ； 3 很多数学教师认 为“ 一元 二次 不等式 的 解 法” 内容平淡 ， 难以“ 出彩” 基 于 以上 特点 ， 类 似 于 “ 一 元 二 次 不 等式 的解法 ” 的课题 常 被选 用 于 各 类 研讨 课 、 评 优 课 笔者就 参 加 市 优课 评 比活 动 时所 执 教 的 “一元二 次
3、不等式的解法” ( 苏 教版教 材 ) 的教学 设计对此类课题 的课堂教学作进一步探究 的不同( 必须满足关于原点对称 ) 有无数个 第二 ， 从奇偶 函数 的图像特征 出发 这样 的函数 若 存在 ， 其 图像 既 关 于原 点对 称 ， 又关于 Y轴 对称 ， 因此其 图像 只能是 轴或 -一，轴 的一部分 ， 即函数值 为常数 0 同样 ， 函数可 根据定义域 的不 同( 必须满 足关 于原点 对称) 有 无数个 函数 图像关 于 Y轴对 称 、 关 于 原 点对 称是 两种 比较特 殊 的对称 ， 任何 具 有对 称 性 图像 的 函数 ， 经过坐 标变 换后 都 可 以使它 们 在新
4、 坐标 系里成为偶 函数 或奇 函数 ， 即普遍 性 寓 于特殊 性之 中 因此 函数 奇 偶性 的研 究 涵盖 了所 有 函 数 图像对称性 的研究 此外 ， 这节 课 上研 究 函数 图像 对 称性 的具 笔者在研究教材 、 教参 的基础 上 ， 立足 于课 题特征 ， 以“ 追求本 质 、 简单 、 自然 的数学 教 学” 的理念为指导 ， 设计并实施 了“ 一元 二次不 等式 的解法” 的教学 学程 1 定 义 、 理 解 、 辨 析 “ 一 元 二 次不 等 式” 教师 ：不 等 式 一 3 0我 们 很 熟 悉 ， 是 ? 学生 ：一元一次 不等式 教师 ： 称 其为“ 一 元”
5、， 因为? 学生 ：只含有一 个未知数 教师 ： 称其 为“ 一 次” ， 因为? 学生 ：未知数的最高次数是 1 教师 ：同学们 ， 你们能不能试着 给出一个一 元二次不等式来 ? 学生 1 ：3 x +,T -3 0 教师 ： 为什 么说 它是一元 、 二 次呢?你 能不 能试着给一元二 次不等 式下个 定义? 学生 1 ： ， 只 含有 一个 未知 数 ， 并 且未 知数 的最 高次数 是 2的不等式 即一元 二次不 等 式 教师 ： 很好 同学 们 ， 请 观察以下不等式 ， 试 体 方法 ， 即 由函数 图像 的对称 一 点 与点 的对 称 一点的坐标 间的关 系一 函数 解 析式
6、的特 征 ， 也 可 以推广到研 究更 为一 般 的情 况 ： 函数 图像 关 于任意轴对称 ， 例如 一1 ； 或 函数 图像关于任意 点 对称 ， 例如点( 1 ， 1 ) ， 将 特殊推广 到一般 ， 提高 了课堂教学 的有效 性 ， 让学 生在 课 后对 此类 问 题 的研究做到举一反三 整堂课 下 来 ， 学 生 不仅掌 握 了 函数 奇偶 性 的定义与判断方法 ， 奇偶 函数 的图像性 质 ， 并且 掌握 了如何 由“ 形” 到“ 数” 进行 函数 图像对 称性 的研究方法 ， 通过创设 问题 的层层 推进 ， 学 生在 探究 的氛 围中， 带着质 疑和批判 的精神 ， 对 数学
7、结论进行严谨 的推理求 证 ， 思维 得到 了锻炼 ， 在 课堂上 的主体地位真正 凸显 出来 上 海 中学数 学 2 0 1 2年 第 l 2期 判断它们是否为一元二次不等式 一7 x+1 2 O ； ( +1 ) ( T 3 ) 3 x 点评与思考让学生通 过 回顾一元 一次不 等式的定义 ， 类 比得到一元二 次不等式 的定义 ， 这样既能加深 对定 义 的理解 ， 又 能建 立新 旧知 识之间的联系 ， 形成 知 识 网络 同时 ， 为探 求一 元二次不等式的解法提供思 路 对 的辨析 。 使 得学生能 自然 地形 成结 论 ： 一 元 二次不 等 式 的 一般式 a ,I + - +
8、c O ( 口 。 +6 +c O ； O； O ； 当 一0时 O ” 的? 学生 3 ：当 一4时 ， 在 图像上 可 以找到 一 个对应点 A( 4 ， ) ， 且点 A 位 于 轴上 方 ， 故 点 A 的纵坐标 Y 0 ， 即当 一4时 ， O 对于问 题 ( 2 ) ， 教 师 与学 生 进 行 了 如 下互 动 ： 教师 ：我们能够 找到 一个 的值 使得 Y 0 ， 但 我们 知道 ， 使 得 0的 的值并 不唯一 ， 那我们如何 观察图像 ， 以得到使 y O即 一3 0的 的取值集合? 学生 4 ：找类似 于点 A 的 轴上方的点 教师 ：我们发现这样 的点 有无穷个 我们
9、要 找 的仅仅是这些点 ， 还是这些点的其它什 么? 学生 4：这些点 的横坐标 教师 ：对 其 实我们 只要把这些点正投影到 轴上 ， 就很容易得 到其 横坐标 的取值 范 围， 即 3 ( 结合图像演示 ) 教师 ：那它 的解集是什么? 学生 ： 3 点评 用 集合语 言 表述解 集 ， 对 已有 的集 合知识起到重要的巩固和运用 的作用 教师 ： 如何结合 一3的图像 ， 求 r 一3 dO的解集 ? 学生 ：观察 图像位 于 -一r 轴下方 的部分 ， 将 图 像上 的点正投 影 到 轴上 ， 得 到点 的横坐 标 的 范 围为 0为例 ， 请 大家 思考 给学生约 3 分钟 的时间进
10、行探究 ， 1至 2分 钟的时间进行讨论交 流 学生 6 ： 跟一元一次不等式 的解法类 似 ， 先 解 方程 ， 再 画图像 ， 根据 图像给解集 教师 ： 很好 你上来把解题过程展示一下 学生 6 在 教 师 的点 拨下 基本讲 清 思路 ： 解 方程得到 图像与 T轴交点的横坐标一 结合 开 口 方 向画简 图一结合 图像给解集 教师 ：学生 7 ( 有针对性 的选 择学生 ) ， 你来 评价 下学生 6的讲解 学生 7 ： 正确 、 简练 教师 ： 说说你 的解 法? 学生 7 ： 我是 配方 ， 画对称 轴 、 找与 r轴 的 交点作 图的， 较繁 教师 ： 如何精简过程 ? 学生
11、7 ：画简图 教师 ：关键是 画出7 上 海 中学数 学 2 0 1 2年第 1 2期 7 3 学生 7 ：图像 与 轴 的交点及开 口方 向 教师 ： 很好 所 以说解 一元二 次不等式的关 键步骤是 ： 解一画一给 教师停顿时 ， 学生依次 说 出： 方 程 、 简 图 、 解 集 同时 ， 教师板 书 点评 与思考 在学 生 已有认 知 的基 础 上 ， 从较 为熟悉 的一 次 函数 、 一元 一次 方 程 与一元 一次不等式 的关 系 出发进 行 研究 ， 学 生易 于探 究 、 理解 ， 在此 基 础上 进一 步研 究 二次 函数 、 一 元二次方程与一元二次不 等式 的关 系 自然
12、就水 到渠成 教学 中， 教师通过 根据学 生情况精 心挑 选 的两名学 生具 体解 题过 程 的对 比 ， 让 学生 自 主发现解题 的关 键及 提高 解题 速度 的技巧 ， 显 得简单 自然 ， 又有利于学生 把握 问题 的本 质 另 外 ， 对于此不等式的求解也 可通过 因式分解 ， 转 化为( 一 1 ) ( +5 ) 0， 进 而 还原 为 一 次 问题 f ： ： 或 ： 进 行 处 理 ， 但 该 方 法 仅 能 处理能够 因式 分解 的一 元 二次 问题 ( 或者 说 是 对应 的一 元 二 次 方程 有 根 的 问题 ) ， 具 有 局 限 性 故一元二 次不等式 的解法 宜
13、采取 图像法 ， 还 原 为一 次问题 的处 理方 法 ， 了解其 思 想方 法也 是有必要 的 ， 适合根据 学情在适 当的时候 ， 让学 生 自主体验 学 程 3例题解析 ， 加深理解 例解下列不等式 ： z 一7 x+1 2 0； 一 一2 x 十3 0 ； +2 x + 1 o的解 集 是 ? 学生 ： rl 一1 ) 教师 ：不 等 式 + 2 x+ 1 0的解 集 是 ? 学生 ：实数集 R 点评 与思 考 借助 特殊 不等 式 的求解 ， 培养学生数 学符 号语 言 、 文 字语 言及 图形语 言 问的转 换 能力 ， 进一 步增 强数 形结 合 的应用 能 7 4 上海 中学数
14、学 2 0 1 2年第 1 2期 提 问在 数学教学 中的灵活运用 2 0 1 7 1 3 上海市青浦 区东湖 中学 金 芬芳 提 问是数学教学过程 中常用 的一种富有 艺 术 生命 的教学方法 ， 是 沟通师生 教与学 的桥梁 ， 是传授知识 的有 效途径 提 问得 法 ， 可 以启 发学 生积极思维 ， 提 高学 习效 率 ； 而提 问不 当， 不 仅 对教学无 益 ， 还会 堵 塞 学 生 思 路 ， 窒 息课 堂 气 氛 把握课堂教 学 中的提 问是 教师 专业 发 展 的 力 、 关注细节( 端点值) 的数学思维品质 问题在 问题 的基 础 上迎 刃而 解 ( 过程 略) 学程 4课
15、堂练习 巩固迁移 练习 1 ： 解下列不等式 一5 a +6 0； 一9 w +6 r 一 1 0 ； 一2 一 3 练习 2 ： 求 函数 l o g 。 ( 3 ， 一 一4 ) 的定义域 ； 若函数 一 3 r 一是 I ， +4 的定义域为 R， 求实数 k的取值集合 教学安排 ： 练习 1 请学 生板演 ， 以强化 图像 法的思想方法 及解 题 的规范 性 ； 练 习 2根 据 时 间设置 ， 可采取 口述或板演的方式 点评与思 考 练 习 1涵 盖 了判 别式 大 于 、 等于 、 小于零 的三种 情形 ， 有 利于 对 图像法 解一元二次 不等 式进 行全 面巩 固 ， 为 课 堂小结 打下基础 ； 练 习 2 难度不 大 ， 但 恰到好 处地将 知 识进行 了整合 、 迁移 ， 符合新授课 的定位 学程 5课堂小结 ， 内化 整合 教学安 排 ：1 学 生 回顾 要 点 ； 2 填 写 表 格 ( 利 用教材 7 1页 的
