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1、第二章 内容回顾分布函数的性质q F ( x ) 单调不减，即q 且q F ( x ) 右连续，即用分布函数表示概率（abp.d.f. 连续随机变量密度函数f ( x )的性质1 2常利用这两个性质检验一个函数能 否作为连续性 r.v.的 d.f. 3在 f ( x ) 的连续点处，f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率数学期望的性质(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X)2.3.2 方差的性质(1) Var(c)=0. 性质 2.3.2(2) Var(aX+b) = a2 Va
2、r(X). 性质 2.3.3(3) Var(X)=E(X2)E(X)2. 性质 2.3.1（ ）.2.3.3 切比雪夫不等式切比雪夫不等式注：易知 越大的取值越分散切比雪夫定理(泊松定理) 在n重伯努利试验中, 事件A 在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验 次数n有关), 如果n时, npn(0为常数).则对于任意给定的k, 有超几何、二项、泊松分布之间的近似关系定理 超几何分布的极限分布是二项分布即，在超几何分布中对于固定的 n，k ，如果lim N+ = p 则有极限关系：lim N+ = Cnk pk (1 p )n k 对所有的 0 k n 都成立。一般当 n 0.1 N 时可以
3、用这个近似的计算公式M NCMk CN M n kCNn常用离散分布的数学期望 几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 泊松分布 P() 的数学期望 = 常用离散分布的方差 0-1 分布的方差 = p(1p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P() 的方差= 几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2P( X m+n | X m ) = P( X n )几何分布的无记忆性指数分布的无记忆性常用连续分布的数学期望 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数分布
4、Exp() : E(X) = 1/ 正态分布 N(, 2) : E(X) = 伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = / 贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)常用连续分布的方差 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指数分布 Exp() 的方差= 1/2 正态分布 N(, 2) 的方差= 2 伽玛分布 Ga(, ) : Var(X) = /2 贝塔分布 Be(a, b) : Var(X) = ab/(a+b)2(a+b+1)(x) 的计算(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x a) =1(a);(3) P(a 0 时， Y = kX
5、 Ga (, /k).定理2.6.5 设 X FX (x)，若FX (x)为严格单调增的连 续函数，则Y = FX (X) U(0, 1).均匀分布的有用结论分布从哪里来？为什么事件发生的次数常使用泊松分布？伽马、贝塔、威布尔分布看起来冗长难懂，又会有什么作用？分布来源于问题的提出。心理学家认为: 一个正常人, 在整个睡眠时间中, 异相睡眠所占的比例服从B( 12, 48)非寿险精算：常用的损失分布为对数正态、伽马分布、贝塔分布、帕累托分布索赔次数分布：泊松分布、二项分布、负二项分布可靠性问题可靠度：测量仪器在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率。它是时间的函数，记作R(t)。R(t
6、) = p(T t) 式中：T 为测量仪器寿命，t为规定时间，当t = 0 时，R(0) = 1；当t = 时，R()=00tNn(t)失效分布函数0tNn(t)t+ t n(t)产品工作到时间t时刻后，每单位时间内发生失效的频率为：威布尔分布环断裂概率ntt收益问题统计数据表明，一位40岁的健康者在5年内仍然活着或自杀的概率为p，在五年内死亡(非自杀)的概率为1-p，保险公司开办5年人寿保险，条件为参保者缴纳保费a元，若5年内死亡，公司赔偿b元，问b的取值应为多少保险公司才能获益？虫卵发育问题设一只昆虫所生的虫卵数为X，服从参数为的泊松分布，每个虫卵发育为幼虫的概率为p，各虫卵是否发育为幼虫
7、相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y的数学期望与方差。数学期望问题1设随机变量X的概率密度为：求E(min|X|,1)数学期望问题2对圆的直径进行测量，其值X均匀的分布在区间(a,b)内，求圆面积的数学期望。银行等待问题设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从 指数分布，其密度函数为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，就离 开。该顾客一个月到银行5次，以Y表示一个月 内他未等到服务而离开窗口的次数。请写出Y 的分布。离散随机变量与连续随机变量设F(x)与G(x)都是分布函数，且a0,b0，为常数，且有a+b=1。证明H(x)=a F(x)+b G(x)为分布函数，并对H(x)的离散与连续性展开
8、讨论奇异型随机变量F(X)00.5问题1解：记 B = “至少出现一次双6点”，则所求概率为两颗骰子掷 24 次，求至少出现一次 双6点 的概率.问题2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验 发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.例2令 A 表示“抽到2 张都是假钞”. B表示“2 张中至少有1张假钞”则所求概率是 （而不是 ！）.所以 15511515125115215115问题3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品， 2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （3）取三次，第三次才取得一等品的概率;例3问题4某人有2盒火柴，吸烟时从任意盒中取1根，经过若干时间，发现一盒火柴已用完，假设每盒火柴在未启用时各有n根，求另外一盒剩余r根的概率。摸球问题从n 个球 中摸 m个 球摸球方式摸法有放回记序不记序无放回记序不记序物品放入盒子问题m个 物品 随机 放入 n个 盒子放入方式摸法盒子可以 容纳任意 个物品物品可辨物品不可辨每盒最多 容纳一个 物品物品可辨物品不可辨
