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1、北师大版数学九年级下册知识点总结及例题北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系1正切：在 RtABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，即;的邻边的对边 AAAtantanA 是一个完整的符号，它表示A 的正切，常省去角的符号“”；tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A 的对边与邻边的比；tanA 不表示“tan”乘以“A”；tanA 的值越大，梯子越陡，A 越大； A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。例例 在 RtABC 中，如果各边长度都扩大为原来的 2 倍，那么锐角 A 的正弦值（ ） A.扩
2、大 2 倍 B.缩小 2 倍 C.扩大 4 倍 D.没有变化2. 正弦：在 RtABC 中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即;斜边的对边AAsin例例 在中，若，则的周长为 ABC90C1sin2A 2AB ABC3. 余弦：在 RtABC 中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即;斜边的邻边AAcos例例 等腰三角形的底角为 30，底边长为，则腰长为（ ）2 3A4 B C2D2 32 24. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。例例 ABC中，A，B均为锐角，且有，则2| tan3 |2sin30BA（）ABC是（ ） A直角（
3、不等腰）三角形 B等腰直角三角形 C等腰（不等边）三角形 D等边三角形5.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角6.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。7.在ABC 中，C 为直角，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：AB=90；30 45 60 sin2122 23cos23 22 21tan3313(3)边与角之间的关系：,tan,cos,sinba
4、AcbAcaA,tan,cos,sinabBcaBcbB(4)面积公式:(hc 为 C 边上的高); chcab21 21S例例 在ABC中，C90，下列式子一定能成立的是（ ） ABCDsinacBcosabBtancaBtanabA8.解直角三角形的几种基本类型列表如下：例例 中，C=90，AC=，A 的角平分线交 BC 于 D，且 AD=ABC52，1534则的值为AtanA、 B、 C、 D、1558333 31例例 已知，四边形 ABCD 中，ABC = ADB =，AB = 5，AD = 3，BC = 090，求四边形 ABCD 的面积 S四边形 ABCD. 32图 3图 49.如
5、图 2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母 i 表示，即Alhitan例例 一人乘雪橇沿坡度为 1:的斜坡滑下，滑下距离 S（米）与时间 t（秒）之3间的关系为 S,若滑动时间为 4 秒，则他下降的垂直高度为2210tt A、 72 米 B、36 米 C、米 D、米 33631810.从某点的正北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC 的方位角分别为 45、135、225。11.正北或正南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图 4，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是；北偏东 30，南偏东 45(东南方向)、南偏西为 60
6、，北偏西 60。图 2hi=h:llABC第二章第二章 二次函数二次函数1.二次函数的概念：形如的函数，叫做 x 的二次函数。)0,(2acbacbxaxy常常常常（1）自变量的取值范围是全体实数。 （2）是二次函数的特例，此时常数 b=c=0.)0(2aaxy（3）在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。2.二次函数 yax2的图象是一条顶点在原点且关于 y 轴对称的抛物线。描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随 x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与 x 轴的交点等方面来描述。函数的定义域是全体实数；抛物线的顶点在
7、(0，0)，对称轴是 y 轴(或称直线 x0)。当 a0 时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当 a0 时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。函数的增减性：A、当 a0 时 .,0;,0 增大而增大随时增大而减小随时 xyxxyxB、当 a0 时 .,0;,0 增大而减小随时增大而增大随时 xyxxyx当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。最大值或最小值：当 a0，且 x0 时函数有最小值，最小值是 0；当 a0，且 x0 时函数有最大值，最大值是 03.二次函数的图象是一条顶点在 y 轴上且关于 y 轴对称的抛物线caxy2二次函数的图象中，a 的符号决定抛物线的开口方
8、向，|a|决定抛caxy2物线的开口程度大小，c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。4.二次函数的图象是以为对称轴，顶点在（，cbxaxy2 abx2ab 2）的抛物线。（开口方向和大小由 a 来决定）abac 4425.二次函数的图象与 yax2的图象的关系：cbxaxy2的图象可以由 yax2的图象平移得到，其步骤如下： cbxaxy2将配方成的形式；（其中 h=，k=cbxaxy2khxay2)(ab 2）；abac 442把抛物线向右（h0）或向左（h0）或向下（k0，则当 x时，y 随 x 的增大而增大。ab 2若 a时，y 随 x 的增大而减小。ab 2最值：若 a0，则当
9、 x=时，；ab 2abacy442最小若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点；acb42=0 抛物线与 x 轴有 1 个交点；acb42抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）；acb42例例 已知二次函数，且，则一定有（ ）A. B. C. D. 0例例 已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是_.例例 已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_.第三章第三章 圆圆1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点 O叫做圆心；线段 OA 叫做半径；以点 O 为圆心的圆，记作O，读作“
10、圆 O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆上 d=r;点在圆内 d dr.例例 若A的半径为 5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P的位置为（ ）A、在A内 B、在A上 C、在A外 D、不能确定例例 若O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 a，最小距离为
11、b（ab） ，则此圆的半径为（ ）A B C D2ba 2ba 22baba或baba 或3. 圆的对称性: （1）与圆相关的概念：弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以 CD 为端点的弧记为“”，读作“圆弧 CD”或“弧 CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重
12、合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。（4）定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的
13、弦相等、所对的弦心距相等。推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.例例 两个同心圆的半径分别为 3 cm 和 4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_ cm.例例 已知O 的半径为 2cm,弦 AB 长为cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的32中点的距离为( ) A 1 B 2 C 3 D 4例例 如图为直径是 52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深 CD 为 16cm,那么油面宽度AB= cm.4. 圆周角和圆心角的关系:（1）弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成 360 份时,每一份的角都是 1的圆心角,相
14、应的整个圆也被等分成 360 份,每一份同样的弧叫 1弧.（2）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成AOB= ,这是错误的.（3）圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.（4）圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论 2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；例例 下面四个命题中,正确的一个是 ( ) A 平分一条弦的直径必垂直于这条弦DOBCAB 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C 圆心角相等,圆心角所对的弧相等 D 在一个圆中,平分一条弧和它所对弦的直线必经过这个圆的圆心例例 如图，ABC 内接于O，若A=40，则OBC 的度数为（ ） A20 B40 C50 D70例例 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的 尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径 时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位， 则圆的直径为（ ） A12 个单位 B10 个单位 C1 个单位 D15 个单 位5.确定圆的条件:（1）确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心
