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1、用心 爱心 专心1九年级数学九年级数学 第一章第第一章第 1-2 节你能证明它们吗；直角三角形节你能证明它们吗；直角三角形 北师大北师大版版【本讲教育信息本讲教育信息】一、教学内容：一、教学内容： 你能证明它们吗及直角三角形二、知识点二、知识点 1、公理 （1）两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； （3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； （SAS） （4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； （ASA） （5）三边对应相等的两个三角形全等； （SSS） （6）全等三角形的对应边相等，对应角相等FEDCBA2、推论
2、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS） 3、定理 （1）等腰三角形性质定理 等腰三角形的两个底角相等. （等边对等角） 等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上的高三条线重合（三线合一） （2）等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） （3）等边三角形的判定定理 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 （4）直角三角形相关定理 在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30 直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半 勾股定理及其逆定理 直角三
3、角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） （5）互逆命题和互逆定理： 两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是 第二个定理的条件. 用心 爱心 专心2在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两 个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一 个就为原命题. 三、重点难点三、重点难点 重点： 1. 等腰三角形的性质定理和判定定理 2. 等边三角形的判定 3. 直角三角形的性质定理和判
4、定定理 难点： 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。探求证明 思路，特别是反证法的思路含义. 四、考点分析四、考点分析 本节知识是中考命题的重要内容，主要考查等腰三角形，直角三角形的性质定理及判 定定理的运用和证明，在各类题中都可以出现。【典型例题典型例题】例例 1、已知：如图，A=D，B=E，BC=EF. 求证：ABCDEF.FEDCBA证明：证明：A=D，B=E（已知） ， 又A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于 180） ， C=180（A+B） ， F=180（D+E） ， C=F（等量代换） 。 又 BC=EF（已知） ， ABCDE
5、F（ASA） 。例 2、已知：如图，在ABC 中，AB=AC，BD、CE 是ABC 的角平分线. 求证：BD=CE. 4 23 1EDCBA证法证法 1：AB=AC，用心 爱心 专心3ABC=ACB（等边对等角）. 1= ABC，2= ABC，12121=2. 在BDC 和CEB 中， ACB=ABC，BC=CB，1=2. BDCCEB（ASA）. BD=CE（全等三角形的对应边相等） 证法证法 2：AB=AC，ABC=ACB. 又3=4. 在ABD 和ACE 中， 3=4，AB=AC，A=A. ABDACE（ASA）. BD=CE（全等三角形的对应边相等）. 例 3、已知：如图，在 RtAB
6、C 中，C=90，BAC=30. 求证：BC= AB. 12DCBA分析：分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD. 证明证明：在ABC 中，ACB=90，BAC=30，B=60. 延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD（如图所示）. ACB=90ACD=90 AC=AC，ABCADC（SAS）. AB=AD（全等三角形的对应边相等）. ABD 是等边三角形（有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形）. BC= BD= AB. 1212例 4、已知：如图：在ABC 中，AB2+AC2BC2 求证：ABC 是直角三角形. 用心 爱心 专心4CAB
7、分析：分析：要从边的关系，推出A90是不容易的，如果能借助于ABC 与一个直角三 角形全等，而得到A 与对应角（构造的三角形的直角）相等，即可证. 证明：证明：作 RtABC，使A90，ABAB，ACAC（如图） ，CAB则 AB2AC2= BC2.（勾股定理）. AB2AC2BC2，ABAB，AC=AC BC2BC2 BCBC ABCABC（SSS） AA90（全等三角形的对应角相等）. 因此，ABC 是直角三角形. 例 5、如图，在已知AOB 的两边上分别取点 M，N，使 OM=ON，再过点 M 作 OA 的 垂线，过点 N 作 OB 的垂线，两垂线交于点 P，那么射线 OP 就是AOB
8、的平分线. 求证：AOP=BOP. NMPOBA证明：证明： MPOA，NPOB，OMP= ONP=90. 在 RtOMP 和 RtONP 中， OP=OP，OM=ON. RtOMPRtONP（HL 定理）. AOP=BOP（全等三角形的对应角相等）. 例 6、已知：RtABC 和 RtAB C，C=C=90，BC=BC，BD、BD分别是 AC、AC边上的中线且 BD=BD （如图）. 求证：RtABCRtABC. 用心 爱心 专心5DABCCDBA证明：证明：在 RtBDC 和 RtBDC中， BD=BD，BC=BC， RtBDCRtB D C （HL 定理）. CD=CD. 又AC=2CD
9、，A C =2C D ，AC=AC. 在 RtABC 和 RtA B C 中， BC=BC ，C=C =90，AC=AC ， RtABCRtABC（SAS）. 【方法总结方法总结】 在证明过程中，感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，借助数 学符号语言从中获取严格的证明思路。【预习导学方案预习导学方案】 线段的垂直平分线（一）预习前知 1. 线段垂直平分线的性质，利用尺规画线段的垂直平分线，画出三角形三边的垂直平分 线，它们交于同一点吗？ 2. 直角三角形的斜边中线有什么性质？（二）预习导学如图，BA1、A、B 表示两个仓库，要在 A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓
10、库的距 离相等，码头应建在什么位置？ 反思：线段的垂直平分线有什么性质？ 2、观察下列各图，在不同类型的三角形中的三边的线段垂直平分线的交点位置有什么不 同？用心 爱心 专心6反思：三角形三边的线段、垂直平分线的交点到三边的距离有什么关系？【模拟试题模拟试题】 （答题时间：（答题时间：60 分钟）分钟）一、填空题 1. 在ABC 中，ABAC，A44，则B 度. 2. 已知等腰三角形两条边的长分别是 3 和 6，则它的周长等于 *3. 如图，已知 ABAC，FDBC 于 D，DEAB 于 E，若AFD145，则EDF . 4. 等腰直角三角形中，若斜边为 16，则直角边的长为 . 5. 如图，
11、在ABC 和ABD 中，C=D=90，若利用“AAS”证明ABC ABD，则需要加条件 _或 ； 若利用“HL”证明ABC ABD，则需要加条件 或 . DCBA二、选择题 6. 一个正三角形的边长为 a，它的高是（ ）A. a B. a C. a D. a22 2312 337. 在ABC 内部取一点 P 使得点 P 到ABC 的三边距离相等，则点 P 应是ABC 的哪 三条线的交点？ （ ） A. 高 B. 角平分线 C. 中线 D. 边的垂直平分线 8. 如图，ABC 中，ACBC，直线 l 经过点 C，则 （ ）用心 爱心 专心7第第8 8题题图图 A. l 垂直 AB B. l 平分
12、 AB C. l 垂直平分 AB D. l 与 AB 的关系不能确定 9. 等腰三角形的对称轴有（ ） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 1 条或 3 条 *10. 三角形一腰上的高与底边的夹角为 45，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形三、解答题 11. 已知：如图，点 D 是ABC 内一点，ABAC，12. 求证：AD 平分BAC. *12. 如图，若A15，AB=BC=CD=DE=EF，则DEF 等于多少度？FDE CBA13. 如图，在ABC 中，已知 D 是 BC 中点，DEAB，DFAC，垂足分别是 E、F，DEDF. 求证：AB=AC*14. 如图，在 ABC 中，DB 平分ABC，DC 平分ACB，过 D 作直线 EF/BC，交 AB、AC 于 E、F，若 AB=8，AC=7，则 AEF 的周长等于多少？用心 爱心 专心8【试题答案试题答案】一、1. 68；2. 15；3. 55；4. ；28 5.BDBCADACDBACBADABCAB,二、6. B；7. B；8. D；9. D；10. D. 三、11. 提示：证明 ADBADC；12. DEF=60. 提示：用等腰三角形的性质和外角定理等. 13. 提示：先证，再利用等角对等边。)(HLCDFBDE14. AEF 的周长等于 15.
