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1、thProceedings of the 25 Chinese Control Conference 7-11 August, 2006, Harbin, Heilongjiang 以纯滞后时间作为参变量的根轨迹的研究 刘洪源，左志强，王一晶 天津大学电气与自动化工程学院, 天津 300072 E-mail: 1 引言(Introduction) 纯滞后环节广泛存在于各种生产过程之中。如 果纯滞后环节位于反馈环内，将向系统的闭环特征 方程引入纯滞后因素1。在这种情况下，纯滞后时间的改变将使系统的闭环极点相应地发生变化。研 究纯滞后时间的变化对系统性能的影响，对系统的 分析、设计有着重要的意义。
2、 在Evans提出根轨迹方法后不久，一些学者就开 始应用根轨迹法分析含有纯滞后的反馈系统123。由于纯滞后环节的传函se不能直接表示为零极点 形式，人们在绘制根轨迹时引入了若干种改进的方 法。一类常用的简化处理方法是将传函se近似表 示为零极点形式，然后再使用经典的根轨迹法。在 这一类方法中，最常见的是采用纯滞后环节的Pad 近似式1或采用极限表达式lim 1nnsnes=+（）进 行近似3。这一类方法使用简便，但却忽视了对纯滞 后 系 统 根 轨 迹 的 特 征 进 行 分 _ IEEE Catalog Number: 06EX13101. 析和挖掘，因而在实际应用中有一定的局限性4。与此相
3、对应的另一类方法，则不依赖于对纯滞后环 节的近似处理，直接采用图解法处理或直接分析根 轨迹方程，有利于揭示根轨迹的本质特征。对于第 二类方法，进行的研究还不是很多。本文所进行的 工作，不借助近似方法而直接分析根轨迹方程，属 于第二类方法的范畴。 以往的工作，主要集中在以开环增益为参变量 的根轨迹的研究上，但对于以纯滞后时间作为参 变量的根轨迹未见到相关结果。本文就对这种特殊 的根轨迹进行了研究。在此基础上，可以应用各种 根轨迹改进分析方法，对系统性能作进一步的研究 56。 2 系统模型(System Model) 作为研究对象的单回路 SISO 系统， 其方框图可 用下图表示。 将前向通道和反
4、馈通道传函中的纯滞后环节单 独列出。如果其中不含纯滞后环节，相应的纯滞后摘 要: 针对反馈环内含有纯滞后环节的单回路 SISO 系统, 研究了以纯滞后时间作为参变量的根轨迹的对 称性、0+时和 +的根轨迹点、 在实轴上的分布以及分离点和与虚轴的交点等性质, 并在此基础上 讨论了纯滞后时间变化对系统稳定性的影响. 最后介绍了一种应用计算机扫描算法获得以纯滞后时间作为参变量的根轨迹的方法. 关键词: 纯滞后,根轨迹,单回路 SISO 系统 Research on the Root-Locus Properties as Time Lag Varies Hongyuan Liu, Zhiqiang
5、Zuo, Yijing Wang School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072 E-mail: Abstract: For the single-loop SISO system which has pure time delay in its feedback loop, several properties of the root-locus as time lag 0+ varies were studied, including the symmetry of th
6、e loci, and +points, loci and breakaway points on the real axis and intersections with the imaginary axis, etc. The effect on the system stability while time lag varies was also investigated on the basis of previous conclusions. Finally, a scanning method that can be employed on computer to get the
7、root-locus was provided at the end of this paper. Key Words: Pure time delay, Root-locus method, Single-loop SISO system 50时间就是 0。这样就有 ( )( )( )Fs CPFGs GsGs e=，( )( )Bs BH sGs e= 其中和中不含纯滞后环节。 ( )FGs( )BGs图 1 单回路 SISO 系统的方框图 于是， 在不考虑扰动( )F s时， 闭环传函可写为： ()( )( )( )( )( )1( )( )FFBFBs FF sss FBFBG s e
8、G sseG s G s eG s G s e+=+可以看出，纯滞后环节的存在不影响系统的闭环零 点，却直接影响闭环极点。可以将闭环特征方程写 为： ()1( )( )FBs FBGs Gs e+0= 或 ()()0 111 (1) 0mj js ni iKsz e sp= += 其中，K为开环增益，其值为大于 0 的固定值。z 和0jip分 别 为 系 统 的 开 环 零 点 和 开 环 极 点 。FB=+，其变化范围是()0 +，。这表明：反 馈环内出现纯滞后环节的位置不同，不影响闭环特 征方程的形式；不同位置上的纯滞后环节改变相同 的纯滞后时间，对闭环极点有等效的影响。 对于扰动通道，可
9、以证明：纯滞后环节的存在， 同样不会影响系统的闭环零点，且扰动通道的闭环 特征方程总和控制通道相同。 综上分析，式(1)中闭环特征方程的形式具有一 般性。本文就根据此闭环特征方程研究以为参变 量的根轨迹。 3 以纯滞后时间为参变量的根轨迹特性 (Root-locus Properties as Time Lag Varies ) 3.1 根轨迹的起始点和终止点 (and0+ +Points) 在绘制以纯滞后时间为参变量的根轨迹时， 式(1)中的闭环特征方程可以用两个条件描述。令 sj=+，这两个条件分别为： 模值条件 ()()0 111mj j ni iKsz e sp= = (2) 相角条件
10、 ( )R s( )C s( )F s( )PGs( )CGs+ +( )H s()() 112 ,0, 1, 2mnji jis zs pk k = = += ?(3) 我们注意到，式(2)和(3)都不能推出对方。因此 这两个条件中任意一个都不是确定以为参变量的 根轨迹的充要条件。当纯滞后时间取特定值时， 对于平面上的点，只有同时满足模值条件和相角 条件时，才是根轨迹点。 s根轨迹的起始点是时闭环极点的位置； 终止点是0+ +时闭环极点的位置。 定理 1： 以为参变量的根轨迹起始于排除所有 纯滞后环节后的系统在开环增益等于时的闭环 极点和平面无穷远处。 0K s 证明： 当0=时， 系统的闭
11、环特征方程正是系统在排 除所有纯滞后环节后的闭环特征方程。由于闭环特 征方程是确定根轨迹的充要条件，故排除所有纯滞 后环节后的闭环特征方程的解就是根轨迹在平面 有限范围内的起始点。 解的个数s p（,maxm np=） 就是根轨迹起始于平面有限范围内分支的个数； 每个解的重数s 就是起始于此点的分支的个数。 因为闭环特征方程是一个有无穷多解的超越方 程7， 所以以为参变量的根轨迹有无穷多条关于实 轴对称的分支。由于仅有有限的p条根轨迹起始于 平面有限范围内， 因此有无穷多条分支起始于s平 面无穷远处。 s定理 2：以为参变量的根轨迹终止于坐标原 点、位于左半平面上的开环零点和位于右半平面上 的
12、开环极点。 证明： 1?. 当 +时，如果时根轨迹有垂 直渐近线s =，则 ()() 11mnji jiszsp=常数 而 ，显然不可能满足根轨迹的相角条件。 即 +时， 如果存在的分支,则该分支无 垂直渐近线。 s 令和分别代表系统开环零点和极点的个 数。如果mn mn=，则根据根轨迹的模值条件，在 +，s时有 0，即根轨迹有垂直渐51近线。这种情况不可能满足根轨迹的相角条件。 如果，根据模值条件(2)，在mn及00， 使得0 时，在根轨迹的这条分支上存在无穷多对根轨迹点 ( )( )( ) 111nnsjn=+和( )( )( ) 222,1,2nnnsjn=+=? 满足( )( ) 12
13、0nn= 且( )( ) 12nn=zjmn时的证明与此类似。综上，根轨迹不终 止于平面上无穷远处。 s 2?. 根据相角条件，易于证明：平面上既不 是坐标原点又不为系统开环零、极点的点不是根轨 迹的终止点。 s3?. 任取一个系统的开环零点，将其记为ddd=+ cossindsjzrjr。则可以将平面上的点表示为s =+=+，于是dszr=。 将式(2)中的模值条件写为的表达式，并代入 根轨迹的相角条件消去，有 ()()()()01,111sinlncosmn d ji jj didm Ks zj j n s pi irs zs pr= = =+ +2,0, 1, 2kk=+= (4) 其中
14、，当 r 取特定值时 ()()()()01,111sinlncosmn d ji jj didm Ks zj j n s pi irs zs pr = = =+ +是的连续有界函数。当 r 取值足够小时，等式(4) 左边将成为的单调函数。 由于可以在), 内连续取值， 当足够小 时，对于每一个r，都有唯一的r ，即有唯一的一 个点使式(4)成立。 当时，0r+()()0 11lnmj j ni iKszsp= 。根据 模值条件， 只有0d变化时， 等式(5)左边可以 在无穷大范围连续取值， 因此等式(5)有无穷多的解。 并且根据根轨迹的模值条件，在时，对于任 意满足式(5)的0r+ 值，都有
15、+。因此，平面 的坐标原点是根轨迹的终止点。 s综上，对于一个位于左半平面上的开环零点或 位于右半平面上的开环极点，都只有唯一的一条根 轨迹分支终止于此。有无数条根轨迹分支终止于 平面的坐标原点。 s3.2 实轴上根轨迹的分布与分离点 (Loci and Breakaway Points on the Real Axis) 定理 3： 以为参变量的根轨迹， 在实轴负半轴 上，等同于排除所有纯滞后环节后的系统满足 时的常规根轨迹；在实轴正半轴上，等同于 排除所有纯滞后环节后的系统满足时 的常规根轨迹。 0KK00KK00时 ， 00KK000KK0， 即它们都起始于右半平面；类似，如果smn s00K后系统失稳。图中只画出了两对起始 于无穷远处的根轨迹分支。A、B、C 三点为排除所 有纯滞后环节后的系统在开环增益为 2 时的闭环极 点，是根轨迹的起始点。 6 结束语(Conclusion) 本文讨论了单回路 SIS
