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1、遗传H E R E D I T A S ( B e i j i n g ) 6 ( 6 ) “ 2 3 -2 5 1 9 8 4约束 选择问题的回 归 分析解法探 讨刘 松 源杨 德 新毕 中 立李 润 藩 张 敬（ 吉林省农业科学院畜牧研究所， 公主岭）了回归分析直接求解的方法。 一 、月 U舀家畜有多种经济性状，选择方法有三：单 项选择法、 独立水平法和综合指数法。 一般以综合指数法的效率最高。 综合指数法：假定家畜的综合经济育种值 （ 记作H ） 是各项经济性状育种值（ 记作A I ） 的 线性函数， 即：H二艺W洲， 式中 W、 为i 性状 的经济权系数， 亦称经济重要性。 据此推导出
2、 估计H值的一般综合指数式为： 了 二f , 一Zb i x i 二 ， 为 i 性状的表型成绩或复合育种值。以上假定并不适 用于一切性状。一些辅助 性状往往表现为非线性关系。例如奶牛体重在 一定饲养条件下有一个最适值，其时经济效益 最高， 要求将其改良量约束在零水平， 即实行约 束指数选择。体重过大过小时，在经济上都不 利， 要求按一定比例改良到最适值， 即实行最宜 指数选择。这两种选择方法仅存在约束水平的 差异。 因此本文一般统称为有约束综合选择， 或简称约束选择。 约束选择在数学上属于有约束非线性规划 范畴，正规解法是引人不定乘子，如吴仲贤著 “ 统计遗传学刀 然。该法在育种实践上遇到的
3、困 难除了计算比较复杂外，主要问题是要求预知 各性状的W值。我们知道，直接说明产品数量 的性状 ， 其W值比较容易确定 ， 对于与H呈非线 性函数关系的性状来说，其W值的估计就比较 复杂。W值依国情而异， 我国尚无现成资料， 又 正值经济改革， 难以实际测定。在这种情况下， 直接采用不定乘子法就有困难。 我们在盛志廉、吴常信副教授、张乃武研究员的指导下，探讨二、原理 和 方 法设 i 为非约束性状， k 为约束性状， 问题可以表达为： 约束条件：及 性状改良量D A k a k , k 二s 1 ,了 2 ， 二，了 ” 目标函数：那： M A X A H 一艺 W i A A i 艺 W k
4、 A A k （ ） 左= 1 k = c l上式中， Wi , A A ， 分别为 E 性状经济权系数和 改良量； W 为约束性状及 的经济权系数； a k 为 约束性状k 的计划改良量（ 常数） ；A H为种畜 综合经济育种值的改良量。 解题原理是， 因 A 等于一已知常数 a k , W 在一特定时期也为一常数， A A对性状 和 H的相关反应也必为一常数。或者说， 月 的 最大化与 k 性状无关 ，完全由非约束性状所决 定。于是， 我们可以先不考虑约束性状， 只以非 约束性状作信息， 用回归分析求 H 最大化的 偏回归系数b ， 的解， 再由相关反应原理求约束 性状偏回归系数 b k
5、，最后由 b ， 组成综合指数份了 ” 式 ：I 一f , 一万 b i x i 艺 b k x k o i = 1 k =r 1（ 一）求非约束性状偏回归系数 （ 简记作 b ; ）回归方程通式为：叉 C O V i ib ， 一见 C O V ( i i ) W i , i= 1 i 1Z 0 1 ， 2 ， ， 。 2 )L i u S o n g y u a n e t a l . : S t u d y o f R e g r e s s i o n A n a l y s i s S o l u t i o n f o r Re s t r i c t e d Se l e c t
6、 i o n I nd i c e s2 3东 为选择强度；a , 为选择指数标准差。当进行最宜指数选择时 ， （ 约式可用逐步逼 近的方法求解：开始时令U p ) 二I ，代人（ 5 ） 式 解出h (0 )s，再将b (0 )s代人（ 6 ） 式， 算出。 1) 再将 a ft I ， 代人（ 5 ） 式， 解出彭， ，将彭 。 代人（ 6 ） 式， 解 出时 七 如此循环， 直至上、 下两次a 1 值差异小于 1 % 时为止。 当进行约束指数选择时， 由于a 为零矩阵， 问题可一次解出， 或还可将（ 2 ) , ( 4 ） 两式联立成 一组方程 ，同时解 出非约束性状和约束性状的 偏回归
7、系数。2 4本公式的推导略。解得的矩阵公式为： 吞 _P - 1 _A 里( 3 ) 在（ 2 ) ( 3 ） 式中： lp为性状间表型协方差矩阵； L为性状间遗传协方差矩阵；C O V i ， 为 、 i 两性状间表型协方差。COV i i y i ib i ly i C O V ( ii ) 为i , f 两性状间遗传协方差。C 0 V (i i ) r (i i )a (i )a ( i) r i i 和 r ( i i ） 分别为i , y 两性状间表型相关和遗传相关。 Q ， 和U i 分别为i , i 性状的表型标准差。 a (i ） 和。 “ ） 分别为 i , i性状的育种值标
8、准 差。叭 ， ） h ia i ; 氏 6 ) ” h ia i（ 二）求约束性状偏回归系数（ 记作 b a或 瓦） 按指数I 选择引起的及 性状相关反应为：本公式推导略。已知 A 等于常数 。 ， b i 已由( 2 ) 式 解 出 ， 干是 卜 式可 以写 为，解得矩阵式为：n火 1丫 ”n丫 1”丫 m m 火 1( 4 b )( 5 )上式 中：三、 举例 例 1 吴仲贤 ， 根据皮尔希勒 （ P ir c h n e r , 1 9 5 9 ） 资料， 用不定乘子法制订了一个乳牛乳脂 率（ 2 号） 不变，包括乳量（ 1 号） 的约束指数式： I = 8 .5 1 2 x 1 +
9、6 .3 4 5 x 2 。 本文试用回归分析法 求解， 所用协方差参数（ 省略单位） 如表t o表 t 性状的表型协方差（ 左） 和遗传协方差（ 右）解 ： 1 求非约束性状的偏回归系数因主选 性状只有一个即产乳量，可令其经济权系数为1 ， 代 人 （ 2 ） 式 ， 艺 C O V ; ; b ， 一艺 C O V U ; ) W ; 广 t i I假定 W1 1 ， 得：oi b ， 二a i r ) , b , 6 i 1 ) a I1 6 08 . 04， 。 止 二一 二 二 二 二 0 . 5 3 5 2 5 5 30 0 4 . 2 5 2 求约束性状的偏回归系数这里约束 性状
10、代号k一L一2 ， 已知约束量。 二。 2 =0 , 1 1 , b ， 一b ， 一0 . 5 3 5 2 5 5 ， 代入（ 4 ） 式， 得：a (z ) b zL(z ) b z 0 一 C O V (2 ,1 )b 1 , b 2 二 - u v v ( 2 ,1 ) 0 1 U 2(2 ) 一 （ 一 1 3 8 . 6 4 ) X 0 . 5 3 5 2 5 518 6 0 . 3 9 8 9 6 6 4 5 于是得约束指数式： 1二0 . 5 3 5 2 5 5 x 1 0 . 3 9 8 9 6 6 4 1 5 x 2 , b 值只有相对意义， 令b 1 , b ： 同 乘以
11、1 5 .9 0 2 7 0 0 5 8 ， 得：I 8 .5 1 2 x , - f- 6 . 3 4 5 x 答案与不定乘子法完全一样。但后者要求预知 各性状经济权系数，而回归分析法是在各性状 经济权系数不明的情况下解出来的。 例2 皮尔希勒曾用上例资料制订了一个 无约束综合指数： I二9 .4 x ， 一0 . 7 4 x , ，在选 择强度 i = 0 . 1 7 5时，估计各性状改良进展为 A A ， 一5 . 1 6 , A A ： 一一0 . 4 9 。现在我们反其意设题， 求约束乳脂率改良量A A , -0 . 4 9 的最 宜选择指数式， 资料同上例。解： 上例已解出非约束性
12、状偏回归系数 b , 0 . 5 3 5 2 5 5 ， 又已知。 ： 一0 . 4 9 , i =0 . 1 7 5 ，令 a ll 0 ， 一1 ， 解得砂） 0 .3 9 6 3 3 2 ， 将b b 护 ） ， a aQ l f此， C O V ,z 的值代人（ 6 ） 式， 解得： 。 b 拐 2 b , b (20 ) C O V , a V 2 0 ) 1 2 。 21 o r( 3 0 .4 2 8 8 ) 2 , 算出的3 0 . 4 2 8 8 为时 。 ，将砖 。 代人（ 4 ） 式， 解 得： b 三 ， 一一0 . 0 5 9 0 9 8 0 6 ， 将 班 。 代（
13、 6 ） 式， 得 。 卿一2 9 . 4 2 6 6 ， 将时 2 ) 代人（ 4 ） 式， 得b 尹一 0 . 0 4 4 0 1 5 ， 将b (2 2) 代人（ 6 ） 式， 得。 ( 3 )r2 9 . 3 9 7 7 . 这时时 3) 与时2十分接近，相对差异小于 1 并， b (2 2 )可确定为最终解，于是 I 0 . 5 3 5 2 5 5 x , -0 . 0 4 4 0 1 5 x , ，按本选择指数选择时，各性状改 良 进展估 计为：A A , 5 . 1 6 0 0 0 9 , A A , 一 0 . 4 9 0 4 8 2 0 8 , 满足了 A a 一0 .4 9
14、 的约束条件。 A A ， 以及指数式也都与皮尔希勒的十分接近。 由上可见， 用回归分析法解以上诸例， 实际 没有用到经济权系数。不仅约束性状不一定预 先侧定经济权系数，非约束性状也不一定专门 测定经济权系数，而可代之以 “ 1 ”或单价等。 所谓约束条件，实际上就是育种指标，它有点 象山田行雄的按育种指标综合选择法 5 ,6 ， 不同 之处在于本文的方法只约束部分目标性状 ，而 以总产量（ 或总值） 最大化为总的目标函数。本 文采用的逐步逼近的方法稍嫌麻烦，如果借助于P C - 1 5 0 0 , T I - 5 9 等程序电算器， 数分钟就可 解出。各地如欲试用， 作者乐于提供程序。参考文
15、献 1 吴仲贤 ：1 9 7 7 。统计遗传学， 科学出 版社。 【 2 盛志廉等：1 9 8 % 数量遗传学基础， 东北农学院。 3 1 李维铮等： 1 9 8 2 。 运筹学， 清华大学出版社。 4 中国科学院数学研究所运筹室： 1 9 8 0 。 最优化方法， 科学出版社。 5 I 阿部猛夫 山田行雄 西田 朗：1 9 6 9 。制限。音避拔 指数式0作h方1 o4 C 。家禽会靛， 6 . 2 0 4 -2 0 8 0 6 山田行雄 横内田生 西田 朗：1 9 7 4 0通拨指数式0 突用 面b . ; 。 检讨， 家禽会豁， 4 ; 1 4 3 -1 5 0 , 7 Me l t o i v , B . E . e t a l . : 1 9 7 9 . A n i m. P r o d . , 2 8 : 2 7 9 - 28 6 .2 5性状代号协方差12产奶量13 0 0 4 . 2 5 ( 1 6 0 8 . 0 4 )一5 1 8 1 （ 一1 3 8 . 6 4 )乳脂率2一5 1 8 （ 一1 3 8 . 6 4 )5 5 4 . 5 7 ( 1 8 6 )
