万有引力与航天讲义

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1、教教学学过过程程万有引力与航天万有引力与航天一、行星的运动一、行星的运动1、 开普勒行星运动三大定律开普勒行星运动三大定律第一定律（轨道定律）：第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。第二定律（面积定律）：第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。推论：推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。第三定律（周期定律）：第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。即： 其中 k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。推广：推广：对围绕同一中心天体运动的

2、行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量例例. .有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半径之比是 1：2，则它们绕地球运转的周期之比 为 。二、万有引力定律二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立、万有引力定律的建立 太阳与行星间引力公式（牛顿）卡文迪许的扭秤实验测定引力常量 G 2、万有引力定律、万有引力定律 内容：内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量和的乘积成正比，1m2m 与它们之间的距离 r 的二次方成反比。即： 适用条件适用条件 （）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 运用运

3、用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 例例. .设地球的质量为 M，赤道半径 R，自转周期 T，则地球赤道上质量为 m 的物体所受重力的大小 为？（式中 G 为万有引力恒量）GMm/R2-42mR/T2（2）计算重力加速度 地球表面附近（hR） 方法：万有引力重力 地球上空距离地心 r=R+h 处 方法： 在质量为 M，半径为 R的任意天体表面的重力加速度 g 方法： 32akT2MmFGr12 2m mFGr2RMmGmg 2 )(hRMmGmg2 RmMGmg 2RMmGmg （3）计算天体的质量和密度 利用

4、自身表面的重力加速度： 利用环绕天体的公转： 等等 （注：结合 得到中心天体的密度）例例. . 宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度 V0 沿水平方向抛出一个小球，经过时间 t，球落 到星球表面，小球落地时的速度大小为 V. 已知该星球的半径为 R，引力常量为 G ，求该星球的质 量 M。例例已知月球绕地球运动周期 T 和轨道半径 r，地球半径为 R 求（1）地球的质量？（2）地球的平均 密度？经验总结“天上”：万有引力提供向心力“地上”：万有引力近似等于重力（4）双星：两者质量分别为 m1、m2，两者相距 L特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。 双星轨道半径之比： 双星的线

5、速度之比： 三、宇宙航行三、宇宙航行1、人造卫星的运行规律、人造卫星的运行规律例例. .两颗人造卫星 A、B 绕地球作圆周运动，周期之比为 TA：TB=1：8，则轨道半径之比和运动速 率之比分别为（ ） 2、宇宙速度、宇宙速度第一宇宙速度：V1=7.9km/s 第二宇宙速度：V2=11.2km/s 第三宇宙速度：mgRMmG2rTmrmrvmrMmG22 22243 34RM122121 mm vv RR22(1) :MmGMvGmvrrr卫地地 卫由得2 23(2) :M mGMGmrrr卫地地 卫由得232242(3) :M mrGmrTrTGM卫地 卫 地由得2GMgR黄代换：金2Mma

6、=mmFGr22 2v2=mr=mrrT一条龙：rTmrmrvmrMmG22 2224332T=2.GMGMGMrMvaGrrr ， ， ，V3=16.7km/s注：（1）宇宙速度均指发射速度（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度3、地球同步卫星、地球同步卫星（通讯卫星）（1）运动周期与地球自转周期相同，且 T=24h；（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；（3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为 T 不变） ；（4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。对同步卫星：运动规律：由于同步卫星的运动周期确定（为 T=24h）

7、 ，故而 其其 r、 v、T 、a 、g 均为定值。均为定值。第六章第六章 万有引力与航天万有引力与航天 典型习题典型习题 1设土星绕太阳的运动是匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为，土星绕太阳运动周期是 ，已知万有引力恒量为，根据这些数据，能够求出的量有（ ） 土星线速度的大小 土星加速度的大小 土星的质量 太阳的质量 2对于万有引力定律的数学表达式 F= ，下列说法正确的是（ ） A公式中 G 为引力常数，是人为规定的。 Br 趋近于零时，万有引力趋于无穷大。 Cm1、m2之间的引力总是大小相等，与 m1、m2的质量是否相等无关。 Dm1、m2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对

8、平衡力。 3已知以下哪组数据，可计算出地球的质量 M（ ） 地球绕太阳运行的周期地及地球离太阳中心的距离地日 月球绕地球运行的周期月及月球离地球中心的距离月地 人造地球卫星在地球表面附近绕行时的速度和运行周期卫 若不考虑地球的自转，已知地球的半径及重力加速度 4两个行星的质量分别为 m1和 m2，绕太阳运行的轨道半径分别是 r1和 r2，若它们只受太阳万有 引力作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为：（ ） A1 Bm2r1m1r2 Cm1r2m2r1 Dr22r12 5组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速 率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附

9、近的物体做圆周运动，由此能得到半径为 r，密度为， 质量为 M 且均匀分布的星球的最小自转周期 T，下列表达式中正确的是（ ）A. B. C. D. GMrT3 2GMrT332 GT GT36a 为地球赤道上的物体，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球同步卫星， 正确的是 A.角速度 w(a)=w(c)w(b) B.向心加速度大小 a(a)a(b)a(c)221 rmGmrTmrmrvmrGMm2222)2(C.线速度的大小 v(a)=v(b)v(c) 周期的关系 T(a)=T(c)T(b)7两颗人造卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动，半径之比为 1：4，则下列说法正确的

10、是（ ） A周期之比 TA：TB=1：8，线速度之比1:2:BAvv B周期之比 TA：TB=1：8，线速度之比2:1:BAvv C向心加速度之比，角速度之比16:1:BAaa1:8:BA D向心加速度之比，角速度之比1:16:BAaa1:8:BA 8.关于地球的第一宇宙速度，下面说法中正确的是（ ） A它是人造地球卫星绕地球运行的最小环绕速度 B它是在近地圆形轨道上运行的人造地球卫星的环绕速度 C它是在地面上发射人造地球卫星的最大发射速度 D它是在地球同步轨道上运行的人造地球卫星的环绕速度 9.绕地球作圆周运动的人造卫星中，有一与内壁相接触的物体，这个物体（ ） A受到地球的吸引力和卫星内壁

11、的支持力的作用 B只受地球吸引力的作用 C物体处于失重状态，不受任何力的作用 D受到地球的吸引力和向心力的作用10.下面关于同步卫星的说法正确的是（ ） A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定 B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大； C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是 114 分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造 地球卫星离地面的高度比同步卫星低D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小 11.某人造卫星由于受到大气的阻力，做轨道半径逐渐减小的螺旋线运动，设每时刻可以近似看作 是一个圆周运动（只是半径逐渐减小） ，

12、则卫星的速率_；周期_；动能 _；重力势能_；机械能_(填变大、变小或不变)。12在某星球表面上以 v0竖直上抛一物体，经时间 t 回到抛出点，问在此星球上至少以多大的速度 水平抛出该物，才能使该物不再落回到星球上？（设星球的半径为 R）13人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半 径为 R，探测器运行轨道在其表面上空高为 h 处，运行周期为 T。 （1）该行星的质量和平均密度？（2）探测器靠近行星表面飞行时，测得运行周期为 T1，则行星平 均密度为多少？14在火箭的实验平台上放有测试仪器，火箭起动后以 g/2 的加速度竖直匀加速上升，到某一高度时仪器

13、对平台的压力为起动前对平台压力的 17/18，求：此时火箭离地面的高度？（已知地球半径为 R,地面重力加速度为 g)15在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。 假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为 h，速度方向是水平的，速度大小为 v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆 轨道的半径为 r，周期为 T。火星可视为半径为 r0的均匀球体。16我们的银河系中的恒星大约四分之一是双星。有一种双星，质量分别为 m1和 m2的两个星球， 绕同一圆心做匀速圆周运动。它们之间的距离恒为 L，不考虑其他星体的影响。两颗星的轨道半径 和周期各是多少？课后作业：课后作业：已知地球的半径为 R=6400km，地球表面附近的重力加速度2g=9.8m s，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？