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1、气体分子动理论本章内容Contentschapter 14气体压强与温度的统计意义平衡态 概率 统计平均值 equilibrium state , probabiility, statical mean quantitystatical meanning of gas pressure and temperature玻耳兹曼分布律 Boltzmann distribution 麦克斯韦速率分布律 maxwell speed distribution 气体分子的平均自由程 mean free path of gas molecular平衡态一气体系统若不受外界影响（无物质 和能量交换）或只受恒定
2、的外力场作用 的条件下，气体系统的宏观特性（如温 度、压强等）长时间不随时间改变的状 态称为平衡态。处于平衡态中的气体，其分子仍不停 作热运动，但其总体平均效果不随时间 改变，是一种动态平衡。平衡态 概率 统计平均值 物态参量不受（或忽略）恒定外力场作用时， 平衡态气体各部分的宏观性质是均匀的 ；只受恒定外力场作用时，平衡态气体 的密度并不均匀。但这两种情况下气体 的宏观性质都不随时间变化。本章除玻耳兹曼分布一节考虑恒定重力场作用 外，均忽略恒定外力场的作用。描述平衡态的参量称为物态参量或态 参量。如体积、压强、温度等。微观与宏观量描述单个分子特征的量（大小、质量和速度等） 。气体的微观量单个
3、气体分子的运动具有偶然性和随机性。气体的宏观量表征大量分子宏观特征的量（体积、压强和温度等） 。大量分子运动的集体表现具有统计规律性。气体的宏观量是大量分子行为的统计平均表现热现象与物质的分子运动密切相关。大量 分子的无规则运动称为分子的热运动。物态方程物态参量之间所满足的关系式称为物态方程理想气体的物态方程 ：1标准大气压（1atm)=1.103 10 Pa热力学温度=（摄氏温度t +273.15)注8.31气体的压强单位： 帕气体的体积单位： 立方米气体的热力学温度单位： 开气体的质量单位： 千克气体的摩尔质量单位 ： J mol K气体常数摩尔mol千克续上理想气体的物态方程 ：对一定量
4、(mol)的气体三者只要给定 两个就确定了一个平衡态图中的一点 代表一个平衡态若气体受外界影响，某平衡态被 破坏，变为非平衡态。物态随时间 而变化称为过程。图不能表示非平衡态，也不能表示这种非 平衡情况下的动态变化过程。准静态过程准 静 态 过 程若经历非平衡过程后可以 过渡到一个新的平衡态，此 过程称为弛豫，所需时间称 为弛豫时间。若过程进行得充分缓慢， 使过程中的某一状态到相邻 状态的时间比弛豫时间大得 多，则每一中间态都可近似 地看作平衡态。这样的过程 称为准静态过程。准静态过程平衡态平衡态图中的过程曲线 ，都是准静态过程曲线。概率概率 统计平均值概率在所有可能发生的事件中，某种事件发生
5、可能性 （或相对机会）的大小。某事件X 出现的概率事件X出现的次数试验总次数在很多次的试验中概率定义式若可能事件有 种则 种可能事件发生的总次数试验总次数各种可能事件的概率之和等于1。称为概率的归一化条件。归一化条件概率密度函数等概率假设在气体动理论中经常用到一些等概率假设，如假设处于 平衡态的气体，每个分子出现在容器内任何一点处的概率 相等；每个分子朝各个方向运动的概率相等（如在直角坐 标中，分子速度的三个分量的各种统计平均值相等）等。事件出现在 内的概率 与 的位置和 的大小有关 称概率密度或概率密度函数在 附近单位间 隔内出现的概率若表示事X的量 可连续变化（例如在某些随机因素影 响下，
6、多次测量某电机的转速可能在某一范围内变化） 。概率密度函数若函数的形式已知则统计平均值对某量 进行 次测量，测量值出现次数测量值乘以出现次数 的统计平均值若 值可连续变化 则连续变量的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分。气体微观模型气体的压强与温度的统计意义一、理想气体的微观模型气体分子的大小与分子间的平均距离相 比可以忽略。分子除碰撞瞬间外，无其它相互作用。碰撞视为完全弹性碰撞。这是由气体的共性抽象出来的一个理想 模型。在压力不太大、温度不太低时，与 实际情况附合得很好。理想气体压强二、理想气体的压强公式宏观：器壁单位面积所受的压力微观：大量气体分子频繁碰撞器壁对器壁单位面积的平均冲力标
7、准状态下气体的分子数密度的数量级为个亦即个其数量之多已 能很好满足微 观统计的要求要考虑分子速度 （大小及方向） 不同的因素对各种不同速 度间隔的分子 碰壁冲量求和考虑单位时间作 用在单位面积上 的冲量就是压强运用统计平均 值及平衡态概 念得到压强与 微观量的关系推导思路压强公式推导容器盛同种气体，分子质量 ，居平衡态射向器壁面元 的某分子束碰壁后反射（不与法向平行的速度分量，其相应的动量无变化）速度为 的某分子弹碰中的动量变化为反X向在 时间内，入射分子束斜园柱体的 体积 中速度基本为 的分子，都能碰撞器壁一次。其光 滑 器 壁若气体中速度基本为 的分子数密度为 则该组分子与 碰撞而发生的动
8、量变化为续上容器盛同种气体，分子质量 ，居平衡态射向器壁面元 的某分子束碰壁后反射（不与法向平行的速度分量，其相应的动量无变化）速度为 的某分子弹碰中的动量变化为反X向在 时间内，入射分子束斜园柱体的 体积 中速度基本为 的分子，都能碰撞器壁一次。其光 滑 器 壁若气体中速度基本为 的分子数密度为 则该组分子与 碰撞而发生的动量变化为气体中速度基本为 的分子数密度为 该组分子与 碰撞而发生的动量变化为将上式对平衡态气体中从各个不同方 向、以不同速度射向 的各组分子 求和，其总动量变化为（负射向分量 ）此式包含和因平衡态中两者各占一半，故的分子才能与 相碰 。的分子。只有能与 碰撞的所有分子的总
9、动量变化为续上光 滑 器 壁气体中速度基本为 的分子数密度为 该组分子与 碰撞而发生的动量变化为将上式对平衡态气体中从各个不同方 向、以不同速度射向 的各组分子 求和，其总动量变化为（负射向分量 ）此式包含和因平衡态中两者各占一半，故的分子才能与 相碰 。的分子。只有能与 碰撞的所有分子的总动量变化为能与 碰撞的所有分子的总动量变化为容器中气 体总体的分 子数密度的统计平均值得应用动量定理 ，分子受器壁 作用的平均冲力为壁对气器壁 受气体分子作用的平均冲力壁对气气对壁续上光 滑 器 壁能与 碰撞的所有分子的总动量变化为容器中气 体总体的分 子数密度的统计平均值得应用动量定理 ，分子受器壁 作用
10、的平均冲力为壁对气器壁 受气体分子作用的平均冲力壁对气气对壁器壁 受气体分子作用的平均冲力壁对气气对壁由于分子向 X、Y、Z方向运动概率相等 又因则可推知得气对壁定义气体分子的平均平动动能为大量气对壁理想气体的压强公式由此推得：压强统计意义三、理想气体压强的统计意义定义气体分子的平均平动动能为大量气对壁理想气体的压强公式气体的宏观量压强，是大量气体分子作用于器壁的平均冲 力，由微观量的统计平均值 和 决定。 理想气体压强公式是反应大量分子行为的一种统计规律， 并非力学定律，只对个别分子而言，气体压强没有意义。注 ：推导过程中的和在宏观上很小，但在微观上相对于分子的大小 和作用时间应当足够大，保
11、证在 时间内有大量分子与 发生 碰撞 。平衡态中同种气体的分子全同，其出现位置和各向运动概率相等，这已 包含了分子之间相互碰撞因素的一种动平衡，推导中不必考虑此类碰撞 。气体温度公式气体温度的统计意义气体分子的平均平动动能物态方程理想气体可用另一形式表达其中分子质量 总分子数 阿伏伽德罗常数 分子数密度玻耳兹曼常数即压强公式理想气体理想气体的 温度公式1玻耳兹曼常数阿伏伽德罗常数注 ：6.02 1.3810231023mol J K1温度的统计意义气体分子的平均平动动能理想气体的 温度公式气 体 温 度 的 统 计 意 义气体的热力学温度 与 气体分子的平均平动动能 成正比 。 气体的热力学温
12、度可看作是对分子热运动剧 烈程度的量度。气体的温度是大量分子热运动的集体表现， 具有统计意义。 离开大量分子，温度失去意义 。凡例1标准大气压（ 1atm)=1.103 10 Pa某氧器瓶内，氧气的压强1.00 atm温度27 C视为理想气体，平衡态氧分子的平均平动动能；分子数密度由3 2 1.38102327+2733 2 J 6.21 1021由323 23 21.103 1056.21 1021252.6610个虚设联想由KC难以实现太阳表面温度 5490 C标准状态下（0 C，1atm）理想气体的分子平均平动动能 分子数密度3.53102ev 2.921025m3个一个电子经过1伏特电
13、势差加速后所获的动能为1电子伏特（1ev) = 1.602 1019J 如果某理想气体系统的分子平均平动动能要达到1ev, 其温度将会有多高？玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布律数学表达麦氏速率分布处于平衡态的气体，其分子沿各向运动的机会均 等，这并非意味着每个分子的运动速率完全相同， 而是大量不同运动速度（大小和方向）的分子，在 一定条件下所形成的一种热动平衡状态。首先引用一种简明的实验方法，说明气体的分子 数按速率分布的客观规律性：麦克斯韦速率分布律，是表示气体处于热平衡时 ，气体的分子数按速度大小（速率）分布的规律。麦克斯韦速率分布律麦氏速率分布实验实验动态示意麦氏分布实验速率分布含义分布曲线总分
14、 子数+速率间隔内的分子数处于到速率分布函数 （速率 附近单位间隔内 的分子数与总分子数之比 ）速率分布函数快减快增两者相乘曲线pp若m、T 给定 ，玻耳兹曼常数 ，函数的形式可概括为曲线曲线有单峰，不对称速率分布曲线速率 恒取正归一化条件速率在 到 区间内的分子数 与总 分子数 之比 若将速率区间扩展至 到即具有一切可能速率的分 子数与总分子数之比应为对分子质量为m 、热力学温度为T 、处于平衡态的气体最概然速率与此函数的极大值对应的速率 称为最概然速率或令即易得因则不同条件比较 （或 ）相同相同用进行比较平均速率麦克斯韦速率分布律应用举例平均速率（算术平均速率）根据某连续变量 x 的平均值
15、等于该 量与概率密度函数乘积的积分的定义 。在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到分子的算术平均 速率概念；在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念。 麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数 。或也有类似注意到方均根速率方均根速率（ 的统计平均值的开平方）即 作为参与统计平均的连续变量或也有类似则得回忆 联系注意到速率小结特征速率例题氧气摩尔质量3.20 10mol 温度27 C处于平衡态气体分子的和27 273 300 （ k ）483 ( m s )394 ( m s )447 ( m s )归一化例题假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为均为正常数，且 为已知画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数求速率在 区间的粒子数+抛物线方程得Max续上概率分布函数应满足归一化条件本题 要求得均为正常数，
