《【5年高考3年模拟】（新课标版）2014年高考数学真题分类汇编12.4离散型随机变量及其分布列、均值与方差理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【5年高考3年模拟】（新课标版）2014年高考数学真题分类汇编12.4离散型随机变量及其分布列、均值与方差理（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、112.412.4 离散型随机变量及其分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2014 北京,16,13 分)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场 12212客场 1188主场 21512客场 21312主场 3128客场 3217主场 4238客场 41815主场 52420客场 52512(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过
2、0.6 的概率;(3)记为表中 10 个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这场比赛中的命中次数.比较 EX 与的大小.(只需写出结论)解析 (1)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场,分别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.(2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命
3、中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6”.则 C=AB,A,B 独立.根据投篮统计数据,P(A)=,P(B)=.P(C)=P(A)+P(B)=+=.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过0.6 的概率为.(3)EX=.2.(2014 天津,16,13 分)某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率;
4、(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.解析 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,则P(A)=.所以选出的 3 名同学是来自互不相同的学院的概率为.2(2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以随机变量 X 的分布列是X0123P随机变量 X 的数学期望 E(X)=0+1+2+3=.3.(2014 四川,17,12 分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得
5、20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解析 (1)X 可能的取值为 10,20,100,-200.根据题意,有 P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=100)=,P(X=-200)=.所以 X 的分布列为X1020100-200P(2)设“第 i
6、 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-=.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X 的数学期望为 EX=10+20+100-200=-.这表明,获得分数 X 的均值为负.因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.4.(2014 山东,18,12 分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域 A,B,乙被划分为两个不相交的区域 C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在
7、C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其他情况记 0 分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为,在 D 上的概率为;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为,在 D 上的概率为.假设共有两次来球且落在 A,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求:3(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和 的分布列与数学期望.解析 (1)记 Ai为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i=0,1,3),则 P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1-=;记 Bi为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得
8、分为 i 分”(i=0,1,3),则 P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1-=.记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上”.由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=+=,所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为.(2)由题意,随机变量 可能的取值为 0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(=0)=P
9、(A0B0)=,P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=+=,P(=2)=P(A1B1)=,P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=+=,P(=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=+=,P(=6)=P(A3B3)=.可得随机变量 的分布列为:012346P所以数学期望 E=0+1+2+3+4+6=.5.(2014 重庆,18,13 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片.(1)求所取 3 张卡片上的
10、数字完全相同的概率;(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与数学期望.(注:若三个数 a,b,c 满足 abc,则称 b 为这三个数的中位数)解析 (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P=.(2)X 的所有可能值为 1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,4P(X=3)=,故 X 的分布列为X123P从而 E(X)=1+2+3=.6.(2014 江西,21,14 分)随机将 1,2,2n(nN*,n2)这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数.A 组最小数为 a1,最大数为 a2;B 组最小数为 b1,最大数为 b2.记 =a2-a1,=
11、b2-b1.(1)当 n=3 时,求 的分布列和数学期望;(2)令 C 表示事件“ 与 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P(C);(3)对(2)中的事件 C,表示 C 的对立事件,判断 P(C)和 P()的大小关系,并说明理由.解析 (1)当 n=3 时, 的所有可能取值为 2,3,4,5.将 6 个正整数平均分成 A,B 两组,不同的分组方法共有=20 种,所以 的分布列为2345PE=2+3+4+5=.(2) 和 恰好相等的所有可能取值为 n-1,n,n+1,2n-2.又 和 恰好相等且等于 n-1 时,不同的分组方法有 2 种; 和 恰好相等且等于 n 时,不同的分组方法有 2
12、 种; 和 恰好相等且等于 n+k(k=1,2,n-2)(n3)时,不同的分组方法有 2 种,所以当 n=2 时,P(C)=,(3)由(2)知当 n=2 时,P()=,因此 P(C)P(),而当 n3 时,P(C)120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为 5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?解析 (1)依题意,p1=P(40120)=0.1.由二项分布,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=+4=0.947 7.(2)记水
13、电站年总利润为 Y(单位:万元).(i)安装 1 台发电机的情形.由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.(ii)安装 2 台发电机的情形.依题意,当 40120 时,三台发电机运行,此时 Y=5 0003=15 000,因此 P(Y=15 000)=P(X120)=p3=0.1,由此得 Y 的分布列如下:Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台.考点二
14、 均值与方差8.(2014 浙江,9,5 分)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m3,n3),从乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 i(i=1,2);(b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2).6则( )A.p1p2,E(1)E(2)C.p1p2,E(1)E(2)D.p1p2,E(1)E(2)答案 A9.(2014 浙江,12,4 分)随机变量 的取值为 0,1,2.若 P(=0)=,E()=1,则 D()= .答案 10.(2014 大纲全国,20,12 分
15、)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率;(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.解析 记 Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2,B 表示事件:甲需使用设备,C 表示事件:丁需使用设备,D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备.(1)D=A1BC+A2B+A2C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=0.52,i=0,1,2,(3 分)所以 P(D)=P(A1BC+A2B+A2C)=P(A1BC
16、)+P(A2B)+P(A2C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6 分)(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(A0)=P()P(A0)P()=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(BA0+A0C+A1)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0
